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1、1专题专题 1818 恒成立问题恒成立问题最值分析法最值分析法【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法： 分离参数 af x恒成立( maxaf x可)或 af x恒成立（ minaf x即可） ； 数形结合( yf x图象在 yg x 上方即可)； 最值法：讨论最值 min0f x或 max0f x恒成立； 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法-最值分析法.1、最值法的特点：（
2、1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响可能经历分类讨论2、理论基础：设 fx的定义域为D（1）若xD ，均有 fxC（其中C为常数） ，则 maxfxC（2）若xD ，均有 fxC（其中C为常数） ，则 minfxC3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： 观察函数 fx的零点是否便于猜出（注意边界点的值） 缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于
3、单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立） ，缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点” ，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【经典例题经典例题】例 1 【2019 届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在 上的偶函数在上单调递减，若不等式()0, + )对任意恒成
4、立，则实数 的取值范是（ ）( + + 1) + ( 1) 2(1) 1,32A. B. C. D. 1 ,2 + 3 31 ,1 , + )2,【答案】A【解析】 因为定义在 上的偶函数在上递减，所以在上单调递增，()(0, + )()( ,0)若不等式对于上恒成立，( + + 1) + ( 1) 2(1) 1,3则对于上恒成立，2( 1) 2(1) 1,3即对于上恒成立，( 1) (1) 1,3（2）当，即时，在上恒成立，单调递减，1 30 0()故函数最小值为，(1) = 1 1 (1) = ,(3) = 3 3,(3) (1) = 2 3若，即，因为，则最大值为，2 3 0 3 0(3
5、)= 3 3此时，由，求得，1 1 0,(3)= 3 3 21 2 + 3 3综上可得； 3 0只要保证0， ， = 4( 1+ )2 4(22 2+ 22 2 2+ 2) = 42 2 42 + 8 1 + 22 2 0( 1 )21 221 2下面探究（i）式成立的条件，令，当时，() = 1 () = 11 (1) = 0 (0,1)() 0存在使，即，在上单调递减，在上单调递增， 在0 (1,2)(0) = 00=2 00=20()(0,0)(0, + )()处取得最小值 0，(0) = 0 20 5 =2 0 22 0 5= 2(1 0+ 0) 22 5，0， 1 0+ 0 (2,5
6、2)(0) 0(2) = 2 9 0()( 3, 0)(0,2)恒有两解() = 2 1+ 点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解、函数的综合问题，同时注意数形结合思想的应用例 7.【2019 届内蒙古鄂伦春自治旗高三下学期二模（420 模拟） 】已知函数的()= 3 6
7、2+ + (, )图象在与 轴的交点处的切线方程为. = 9 18（1）求的解析式；()（2）若对恒成立，求 的取值范围.21 + 80 () 9 = 3 62+ 12 26设，对恒成立，()= 3 62+ 12 26()= 3(2 4 + 4)= 3( 2)2 0 (1,5)在上单调递增()(1,5)综上， 的取值范围为.9,22)点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可） ； 数形结合( () () () () = ()图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数. = ()() 0()
8、013例 8.【2019 届湖南省益阳市高三 4 月调研】已知函数（， 为自然对数的底数）()=(2 + 1) 3 2 + 1 .（1）讨论函数的单调区间；()（2）当时，恒成立，求实数的最小值. =2 3+ ()【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.(2)-e.(0,2(2 + 1) 3)(2(2 + 1) 3, + )【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行讨论，由可求出函数的增区间，可求出函() 0() 0 (0, + )所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间；()(0, + )当时，令，得； 0() 00 2(2 + 1) 3所以函数的单调递增区间是，()(0,2(2
9、+ 1) 3)14则.()= + 2 + 1 + 1显然在区间上单调递增，且，()(0, + )(1)= 0所以当时，；当时，； (0,1)() 0所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.()(0,1)(1, + )所以，()= (1)= + 0 + 1 1 0解得. 即实数的最小值是. 点睛：此题主要考查函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，以及导数在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是必考题型.利用导数求函数单调区间的一般步骤为：1.确定函数的定义域；2.求函数的导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.写出函数的单调区间.() 0() 0() 0（
10、2）当时，证明： . 2 + 41)构造函数 ，() = 1 2( 1)则 .() = 1 +122 =2 2 + 12 0函数在上是增函数，即.() 1, + )() (1) = 0当时，有，即成立. 1() 02 0() 0() ( +3) = ( 3) 3, 3.若关于 的不等式对恒成立，则 的取值范围是（ () = 3 3() (2 + 2) 3 2 2 3,32 2 3）A. B. C. D. 0,11 23 34, 1 2+3 34( ,0 1, + )【答案】D【解析】函数满足：当时，恒成立，函数为 上的() 0() 0()偶函数，且在上为单调递增函数，且有，0， + )(|)
11、= ()() (2 + 2)恒成立恒成立，只要使得定义域内， 3 2 2 3， 32 2 3|()| |2 + 2|()|max |2 + 2|由，得，即函数的周期，时，( +3) = ( 3)( + 2 3) = ()() = 2 3 3， 3，求导得，该函数过点() = 3 3() = 32 3 = 3( + 1)( 1)18故选 D【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得时，的值域为 还考查了函数恒成立 3， 3() = 3 3 2，2，2 【2019 届（衡水金卷调研卷）三】若存在，不等式成立，则实数的最大值 1,2 +
12、 2 + 3 0为（ ）A. B. C. 4 D. 1 + 3 22 + +3 2 1【答案】A【解析】 2 + 2 + 3 0 2 + +3 设，则()= 2 + +3 ()=2 + 1 32=( + 3)( 1)2当时，单调递减 1 0()存在，成立 1， 2 + +3 ， ()， (1)= 2 +1 + 3()= 2 + +3 (1) () 1 + 3 2故选 .点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础.193 【2019 年高考理科数学原创押题预测卷 01】已
13、知函数，若关于 的不等式在() = () 1上恒成立，则的值为(0 ， + )A. B. C. D. 131 21 3【答案】A，要使恒成立，须使恒成立.即恒成立，()= (e1 ) = 1 e1 () 01 e1 0e1 1 两边取对数得，整理得.令，则，显然当1 ln1 ln +1 1 0()= ln +1 1()= 12时，当时，于是函数在上单调递减，在单调0 1() 0()(0 ， 1)(1 ， + )递增.，,，故选 A()min= (1)= 0() = 0 = 14若函数在区间上单调递增，则 的取值范围是_()= (1, + )【答案】1, + )【解析】分析：求出导函数 f（x）
14、 ，由于函数 f（x）=kxlnx 在区间（1，+）单调递增，可得 f（x）0 在区间（1，+）上恒成立，变量分离求最值即可详解：f（x）=k ，1 函数 f（x）=kxlnx 在区间（1，+）单调递增，f（x）0 在区间（1，+）上恒成立k ，1 而 y= 在区间（1，+）上单调递减，1 k1k 的取值范围是：1，+） 故答案为：1，+） 205函数，若恒成立，则实数 的取值范围是_() = 3 2 + ,() = + 1() ()【答案】 2【点睛】本小题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立,问题,考查利用导数研究函数的单调性,极值和最值等知识.首先根据,对函数进行分离常数,这里主要
15、的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个() ()部分的最值,根据这个最值来求得参数的取值范围.6 【2019 年 4 月浙江省金华十校高考模拟】若对任意的，存在实数 ，使 1,52 2+ + 6恒成立，则实数 的最大值为_( , 0)【答案】9【解析】若对任意的， 恒成立，可得： 1,52 2+ + 6 ( , 0)恒成立，( + )+ 2 ( + )+ 6令，()=( + )+ 2()=( + )+ 6(2)当时， 5, 25()= (5)= 3 5()= (1)= 5 原问题等价于存在实数 满足：， 3 5 5 故，解得：，则此时； 3 5 5 10 21(3)当时，1 0, (1 1
16、) (1, + )【答案】 （1），在单调递减，在单调递增；（2）7. = 1()(0,2)(2, + )而得到，进而求范围即可. ()= (0)详解：(1)的定义域为，处的切线斜率为()(0, + )() =1 22= 22 = () = 22=1 因此切线方程为，即 () =1 ( ) 1 2 =1 ( )又切线过，代入上式解得，(0,4) = 1() = 22可得在单调递减，在单调递增 ()(0,2)(2, + )22（2）时， ，等价于 (1, + )1 1 02() (1 1 ) 0故时，单调递减，时，单调递增 (1,0)() (0, + )() ()= (0)=2(00+ 0+ 2
17、)0 1由可得 ()= (0) =20(0 4) + 0+ 20 1= 2(0 2) (7,8)故 的最大值为 7点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为() 0() 0，若恒成立；() ()() ().8已知函数，.()= 1 R23（1）讨论函数的单调区间；()（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数 的取值范围.() = 1 (0, + )() 2【答案】(1) 当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间 0()(0, + ) 0()是，单调递增
18、区间是;(2) .(0,1 )(1 , + ) 1 12详解：（1）在区间上， ，(0, + )()= 1 = 1 当时， 恒成立， 在区间上单调递减； 0() 0()= 0 =1 在区间上，函数单调递减，(0,1 )() 0()综上所述：当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间； 0()(0, + )当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 0()(0,1 )(1 , + )（2）因为函数在处取得极值， () = 1所以，解得，经检验可知满足题意(1)= 0 = 1由已知，即，() 2 1 ln 2即对恒成立，1 +1 ln (0, + )令，()= 1 +1 ln则，()=121 ln2=l
19、n 22易得在上单调递减，在上单调递增，()(0,22, + )所以，即.()min= (2)= 1 12 1 12点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：24（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若() 0() 0恒成立，转化为;() ()() ()9已知全集, . = = | 2+ 3 2 0 = |2 | 1| 1(1)求集合； (2)函数 ，对一切，恒成立，求实数 的取值范围.() = , () = 2 () ()【答案】 （1）（2） =(1,2 2 + 1，结合导函数研究函数的单调性可得的最小值为.
20、 则.() = +2 1()( 2) = 2 2 + 1试题解析：（1）求解一元二次不等式可得，求解分式绝对值不等式可得， =1,2 = 1,1)(1,3. =(1,2(2) 由得对一切 恒成立.() () 2 1,2对一切 恒成立. +2 1 1,2令， ，() = +2 1() =1 22= 22在上单调递减，在上单调递增； ()(1， 2)()(2，2)的最小值为. . ()( 2) = 2 2 + 110 【2019 届【衡水金卷】 】已知函数，其中 为常数，是自然对数的底() = + () = = 2.71828数.（1）设，若函数在区间上有极值点，求实数 的取值范围；() = ()
21、()()1,（2）证明：当时，恒成立. = 11 () 0即.(1) ()故若函数在上有极值点，()1,只需(1) = 1 + 0, (1) = 1 + 0当时， ( 2, + )() 1 + 2综上，当时，. = 11 (3 2) 20 (73,54. 5 3,1) (73,54试题解析：当时，切线方程为.0=8 3 = 98 3 188 3（2）由题意，对任意有恒成立， (3 2) ( 2)当时， ( ,2) (3 2) 2 (3 2) 2令，则，令得，() =(3 2) 2() =(32 8)( 2)2() = 0 = 028，故此时.综上：.() = (83) = 98 3 98 31
22、 98 3（3）因为，即，() 54所以当时，没有整数成立，所有. 73 (73,54综上：. 5 3,1) (73,5412已知函数，其中 ()= (4 4 + ) ( 4,4)（1）判断并证明函数的奇偶性；()（2）判断并证明函数在上的单调性；()( 4,4)（3）是否存在这样的负实数 ，使对一切恒成立，若存在，试求出 取值的( ) + (2 2) 0 集合；若不存在，说明理由【答案】 （1）奇函数；（2）在上的减函数；（3）存在这样的 k 其范围为.()( 4,4) 2 1【解析】试题分析：（1）已知函数的定义域关于原点对称，再证明，所以函数是奇函数；( )= ()()（2）用定义证明函
23、数在上单调递减的步骤：设值作差、变形判断符号得出结论；（3）由（1）( 4,4)（2）得，不等式可变形为，从而得( ) + (2 2) 0( ) (2 2)= (2 2)到不等式组，解得 . 0 4 4 4 2 2 4 2 2 2 130在上的减函数； ()( 4,4)（3）是上的减函数 ( ) (2 2)= (2 2)( 4,4)对恒成立 0 4 4 4 2 2 4 2 2 由对恒成立得： 2 2 对恒成立 2 2 令 = 2 =1 4( 1 2)2， 1,1, 2,14， 2 2 1由对恒成立得： 4 4 3 3由对恒成立得： 4 2 2 4 2 2即综上所得： 2 1所以存在这样的 k 其范围为 2 1考点：函数的奇偶性、单调性和最值.