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1、1专题专题 1616 恒成立问题恒成立问题参变分离法参变分离法【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等.1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视
2、为参数） ，可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密” ，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：21logaxx，111axxex等（2）
3、要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值） ，若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值） ，则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x为自变量，其范围设为D， f x为函数；a为参数， g a为其表达式）（1）若 f x的值域为,m M ,xD g af x ，则只需要 ming af xm ,xD g xf x ，则只需要 ming af xm ,xD g af x ，则只需要 max=g af xM ,xD g af x ，则只需要 max=g af xM ,xD g af x ，则只需要
4、 maxg af xM2 ,xD g af x ，则只需要 maxg af xM ,xD g af x ，则只需要 ming af xm ,xD g af x ，则只需要 ming af xm（2）若 f x的值域为,m M ,xD g af x ，则只需要 g am ,xD g af x ，则只需要 g am（注意与（1）中对应情况进行对比） ,xD g af x ，则只需要 g aM，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要 x/k-+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母
5、（通常为 3 个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量） ，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元） ，进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.【经典例题经典例题】例 1 【2019 年（衡水金卷调研卷）三】若存在，不等式成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. 4 D. 【答案】A【解析】设，则3故选例 2.【2019 届河北省邯郸市高三 1 月】
6、已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】最大值,因为当时 令 因此,由因为为偶函数,所以最大值为, ,选 C.例 3 【2019 届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】在上是增函数，在上恒成立故选例 4 【2019 届湖南省张家界市高三三模】若函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；同理由
7、时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选 D.例 5.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法解：，其中只需要，令4（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函【名师点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.例 6【2019 届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，
8、曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】 （1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.试题解析：（1）由可得的定义域为，且，若，则，函数在上单调递增；若，则当时， ，在上单调递增，当时， ，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立.当时， ，即证当时，大于的最大值.又当时， ，综上所述，.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨
9、论最值或恒成立； 讨论参数.本题是利用方法 求得 的范围.例 7【2019 届广东省肇庆市高三三模】已知函数， ，.（）讨论的单调区间；（）若 ,且恒成立. 求的最大值.【答案】 （1）见解析;（2）6.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再对 m 分类讨论，求函数 f(x)的单调区间. (2) 先分离参数，再求的最小值,即得 k 的最大值.5（2）由得，令 ， ， ， ， ，点睛：分离参数是处理参数问题的一种重要方法.处理参数问题，常用的有分离参数和分类讨论，如果分离参数方便，就选分离参数.本题就是分离参数，大大地提高了解题效率，优化了解题.例 8【2019 届新疆乌鲁木齐市高三第三
10、次诊断性测验】设函数， ，其中为非零实数.（1）当时，求的极值；（2）是否存在使得恒成立？若存在，求的取值范围，若不存在请说明理由.【答案】(1)有极大值，无极小值；(2)见解析.试题解析：（1） ， ，当时， ， ，有极大值，无极小值；（2）当时， ， ，设，则，故恒成立，当时， ，由于 ， ，6而，时， ，故取，显然，由上知当时， ， ，综上可知，当时，恒成立.例 9【2019 届黑龙江省大庆市高三第二次检测】已知函数.(I) 当时，求函数的单调区间;(II) 当时，恒成立，求的取值范围.【答案】 （) 单调递增区间为，单调递减区间为.（）.试题解析：（），函数定义域为：令，由可知，42
11、8 0从而有两个不同解.() = 0令，则() = 01=1 21 21 2 0当时，；当时， (0,2)() 0 (2, + )() 0在上单调递增，即在上单调递增，()1， + )()1， + )() (1) = 1 + 27当时，单调递减； (1,0)() 0()有，(0) 0()min 0恒成立，转化为;() ()()= () ()()min 0例 10【2019 届山东天成高三第二次大联考】已知函数，.() = () = 2( )（1）讨论函数的单调性； ()（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围. = 1() () 1, + )【答案】(1)答案见解析；(2).( ,28解析；（
12、1），定义域() = 2=1 2 2( ,0) (0, + )所以.() =22讨论：当时，对或，成立， 0 ( ,0) (0, + )() 0所以函数在区间，上均是单调递增；() = 2( ,0)(0, + )当时，对或，成立， 0()min 0() ()()min ()max【精选精练精选精练】1 【2019 年【衡水金卷】 （三） 】已知函数 f x的导函数为 fx，且满足 32123f xxaxbx， 24fxfx，若函数 6 ln2f xx x恒成立，则实数b的取值范围为（ ）A. 64ln3, B. 5ln5, C. 66ln6, D. 4ln2,【答案】C设 2136ln3g x
13、xxx，则 2229182361892333xxxxxxgxxxx，可知函数 g x在区间0,6内单调递增，在区间6,内单调递减，可知 max666ln6g xg，故实数b的取值范围为66ln6,，故选 C.点睛：本题主要考查利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题2已知函数 f(x)x24xaln x，若函数 f(x)在(1,2
14、)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是( )A. (6，)B. (，16)10C. (，166，)D. (，16)(6，)【答案】C【解析】，因为函数在区间上具有单调性，所以或在上恒成立，() = 2 + 4 + (1,2)() 0() 0(1,2)则有或在上恒成立，所以或在上恒成立，2 + 4 + 02 + 4 + 0(1,2) (22+ 4) (22+ 4)(1,2)令，当时，所以或，所以 的取值范围是() = (22+ 4)1 ()掉“ ” ，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.()()4若函数 f(x)sin xax 为 R 上的减函数，则实数 a 的
15、取值范围是_【答案】(，1【解析】因为是 R 上的减函数，所以恒成立，即，即恒() = + () 0() = + 0 成立，因为，所以，故答案为. 1 1 1( , 15 【2019 年（衡水金卷信息卷）三】已知函数，其中 为实数.()=1 22(2 + 1) + ( 1)（1）若曲线在点处的切线方程为，试求函数的单调区间； = ()(2,(2) = 2()（2）当，且时，若恒有，试求实数 的取值范围. 0,11,22,31 2|(2) (1)| 111，可知.()= (2 + 1)+ 1(2)= 2 (2 + 1)+ = 2 = 1.()= + 1 1 1=2 2 1当，即时，单调递增；2
16、2 0 2() 0()当时，单调递减.1 0()所以时取极小值.所以在上单调递增，在上单调递减； = 0()() 2,0)(0,1又，.( 2)=12+ 3 (1)= ( 2) (1)当时，在的最大值为 = 2() 2,112+ 3（2）由于()= + 0所以函数存在零点 ()13时，.在上，单调递减， 0()所以时取最小值.解得 = ( )()()= ( ) 5【答案】 （1）；（2） 2 0即恒成立，所以 5( (0,1) (3 2) 20 (73,54. 5 3,1) (73,54当时，切线方程为，0= 0 = 2当时，切线方程为.0=8 3 = 98 3 188 3（2）由题意，对任意
17、有恒成立， (3 2) ( 2)15当时， ( ,2) (3 2) 2 (3 2) 2令，则，令得，() =(3 2) 2() =(32 8)( 2)2() = 0 = 0，故此时.() = (0) = 1 1当时，恒成立，故此时. = 2 当时， (2, + ) (3 2) 2 (3 2) 2令， () = 0 =8 316当，存在唯一的整数使得， ( ,2)0(0) (3 2) 20因为最小，且，所以当时，至少有两个整数成立，(83) = 98 3 (3) = 73(4) = 54 54所以当时，没有整数成立，所有. 73 (73,54综上：. 5 3,1) (73,549 【2019 届
18、河南省焦作市高三第四次模拟】已知 22xf xmxemR.（）若 g xfx，讨论 g x的单调性；（）当 f x在 1,1f处的切线与223ye x平行时，关于x的不等式 0f xax在0,1上恒成立，求a的取值范围.【答案】 （） g x在ln ,m 上单调递减，在,lnm上单调递增.（）,21ae .17立，设 2xeF xxx，利用导数求得函数 F x的单调性与最值，即可得到实数a的取值范围 试题解析：（）因为 22xg xfxmxe，所以 2xgxme，当0m 时， 0gx ，所以 g x在R上单调递减，当0m 时，令 0gx ，得lnxm，令 0gx ，得lnxm，所以 g x在l
19、n ,m 上单调递减，在,lnm上单调递增.（）由（）得 122fme，由2222mee，得1m ，不等式 0f xax即220xxeax，得2xeaxx在0,1上恒成立.设 2xeF xxx，则 2222xxxeexFxx.设 222xxh xxeex，则 222221xxxxhxxeeexx e，在区间0,1上， 0hx ，则函数 h x递增，所以 11h xh ，所以在区间0,1上， 0Fx ，函数 F x递减.当0x 时， F x ，而 121Fe，所以 21,F xe，因为 aF x在0,1上恒成立，所以,21ae .10 【2019 届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】函数 xf x
20、xelnxax.(1)若函数 yf x在点 1,1f处的切线与直线211yex平行,求实数a的值；(2)若函数 f x在1,上单调递增,求实数a的取值范围；(3)在(1)的条件下,求 f x的最小值.【答案】(1) 1a ；(2) 21ae；(3)1.18单调性，即可求出 ming x，从而可得实数a的取值范围；（3）根据（1）的条件，利用导数研究函数的单调性，可推出 0fx恒成立，从而 fx在0，上递增，结合零点存在性定理，即可求得 f x的最小值.试题解析：（1）函数 xf xxelnxax 11,(0)xfxxea xx函数 yf x在点 1,1f处的切线与直线211yex平行 1212
21、1feae1a （2）由题意，需 110xfxxeax在1，）恒成立，即11xaxex在1，）恒成立.令 11xg xxex，则 2120xgxxex.又 10,1 0ffe01,1xe使得 00fx，此时001xex1900,xx时 0,fxf x递减， 0,xx时 0,fxf x递增 00000000min 011lnln1x xf xf xx exxxxxe点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 0f x 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 min0f x，若 0f x 恒成立，转化为 max0f x
22、;（3）若 f xg x恒成立，可转化为 minmaxf xg x.11 【2019 届江西省高三监测】已知函数 lnf xx.（1）若函数 21 2g xf xaxx有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程 1f xm x， mZ有实数解，求整数m的最大值.【答案】(1) 2a ;(2)0.【解析】试题分析：（1）函数 21 2g xf xaxx有两个极值点等价于 21yxaxgxx有两个可变零点，即方程210xax 有两个不等的正实数根,（2）方程ln1xm x,即ln 1xmx,记函数 ln 1xh xx,(0)x ，问题转化为直线ym与 ln 1xh xx的交点情况.20
23、(2)方程ln1xm x,即ln 1xmx,记函数 ln 1xh xx,(0)x ， 21ln1xxxh x x, 令 1lnxxxx (0)x , 2110xxx , x单调递减, 2 2 2222110,0 11eh eh e e eee , 存在2 0,xe e,使得 00h x,即0 0 01lnxxx, 当00,xx, 0h x, h x递增, 0,0xxh x, h x递减, 0 2max 00ln11 1,1xh xxxee,即 maxmh x,mZ, 故0m ,整数m的最大值为0. 12【2019 届山东高三天成大联考第二次】已知函数，.() = () = 2( )（1）讨论函
24、数的单调性；()（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围. = 1() () 1, + )【答案】(1)答案见解析；(2).( ,2【解析】试题分析：（1）对函数求导研究函数的单调性，通过导函数的正负得到原函数的单调区间；（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，令，() () 1, + ) 2 0 1, + )() = 2对这个函数求导研究函数的单调性，使得最值大于 0 即可.解析；（1），定义域() = 2=1 2 2( ,0) (0, + )所以.() =22讨论：21当时，函数是常函数，无单调性. = 0() =1 2（2）若，对任意恒成立，即对任意恒成立. = 1() () 1, + ) 2 0 1, + )令，则.() = 2( 1)() =1 2 ( ) 2(2)2=1 242=1 22=2 22讨论：当，即时，且不恒为 0， 22 0() 0()所以函数在区间单调递增.() = 21， + )又，所以对任意恒成立.(1) = 1 1 2 1= 0() 0 1, + )故符合题意 2综上实数的取值范围是.( ,2点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立() 0()min 0() ()()min ()max