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1、1专题专题 1717 恒成立问题恒成立问题数形结合法数形结合法【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法： 分离参数 af x恒成立( maxaf x可)或 af x恒成立（ minaf x即可） ； 数形结合( yf x图象在 yg x 上方即可)； 讨论最值 min0f x或 max0f x恒成立； 讨论参数.1、函数的不等关系与图象特征：（1）若xD ，均有 fxg xfx的图象始终在 g x的下方（2）若xD ，均有 fxg xfx的图象始终在 g x的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角
2、色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动” ，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【经典例题经典例题】例 1 【2019 届浙江省金华十校 4 月模拟】若对任意的，存在实数 ，使 恒成立，则实数 的最大值为_【答案】9【解析】若
3、对任意的， 恒成立，可得：恒成立，令，原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：2(1)当时，原问题等价于存在实数 满足：，故，解得：，则此时；(2)当时，原问题等价于存在实数 满足：，原问题等价于存在实数 满足：，故，解得：，则此时；当时，原问题等价于存在实数 满足：，故，解得：，则此时；综上可得：实数 的最大值为 .点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.例 2.【2019 届一轮训练】已知 log1 2(xy4)4xm3 恒成立，则 x 的取值范围是4_【答案】(，1)(3，)【解析】不等式可化为 m(x
4、1)x24x30 在 0m4 时恒成立令 f(m)m(x1)x24x3.结合二次函数的图象得 00 40ff22430 10xx x 13 11xxxx或或即 x3.故答案为：(，1)(3，)例 5.已知不等式21logaxx在1,2x上恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】12a可得：1log 22aa，综上可得：12a.【名师点睛】 （1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x ）.（3）处理好边界值是否能够取到的问题.例 6.若不等式logsin2 (0,1)axx
5、aa对于任意的0,4x都成立，则实数a的取值范围是_【答案】,14a【解析】本题选择数形结合，可先作出sin2yx在0,4x的图象，a扮演的角色为对数的底数，决5定函数的增减，根据不等关系可得01a，观察图象进一步可得只需4x时，logsin2axx，即logsin21444aa ，所以,14a例 7. 已知函数 21f xxmx，若对任意的,1xm m，都有 0f x 成立，则实数m的取值范围是_【答案】2,02 【名师点睛】本题也可以用最值法求解：若 0f x ，则 max0f x，而 f x是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以 010f mf m，再解出m的范围即可.例 8.
6、已知函数 22 ,1 log,1xxf xx x若直线ym与函数 f x的图象只有一个交点,则实数m的取值范围是_.【答案】0m 或2,m）【解析】作出函数 f(x)的图象如图,m+1m6例 9.已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当0x 时， 2221232f xxaxaa ，若 ,1xR f xf x ，则实数a的取值范围是_【答案】66,66 【解析】 f x是奇函数且在0x 时是分段函数（以22,2aa为界） ，且形式比较复杂，恒成立的不等式 1f xf x较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看，一方面 f x的图象比较容易作出，另一方面1f
7、x 可看作是 f x的图象向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找a满足的条件.先将 f x写为分段函数形式： 2222223,2,2,0xaxaf xa axaxxa ，作出正半轴图象后再根据奇函数特点，关于原点对称作出x负半轴图象. 1f xf x恒成立，意味着 f x的图象向右平移一个单位后，其图象恒在 f x的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移26a个长度，所以可得：2666166aa 7答案：66,66 .例 10【2019 届河南省高三 4 月考试】已知函数.（1）若在处取得极值，求 的值；（2）若在上恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1）；（2）
8、上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.试题解析：（1），在处取到极值，即，.经检验，时，在处取到极小值.（2），令，当时，在上单调递减.又，时，不满足在上恒成立.时，单调递增，.8又，故不满足题意.当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，在上单调递减.又，时，故不满足题意.综上所述，.【精选精练精选精练】1 【2019 届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C2.若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（ 9）A. B. C. D. 【
9、答案】C则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；观察所给的函数图象可知，只有 C 选项符合题意.本题选择 C 选项.3已知函数在区间上是增函数，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】二次函数的对称轴为；该函数在上是增函数；，实数 的取值范围是，故选 B.4. 若| 2p ,不等式212xpxpx 恒成立,则x的取值范围是_【答案】113 2x 或113 2x 【解析】思路：本题中已知p的范围求x的范围，故构造函数时可看作关于p的函数，恒成立不等式变形为 2210xpxx ,设 22122fxxpxxp ,即关于p的一次函数，由图10象可得：无论直线
10、方向如何，若要 0fx ，只需在端点处函数值均大于 0 即可，即 2020ff,解得：113 2x 或113 2x 答案：113 2x 或113 2x 【名师点睛】 （1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数.（2）线段的图象特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧.（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧.5.设aR，若0x 时均有21110axxax，则a _【答案】3 2a 3 2a 答案：3 2a 6.【2019 届二轮训练】当实数 x，y 满足2401
11、0 1xyxyy 时，axy4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_【答案】3,211【解析】要使平面区域在直线4yax 的下方，则只要B在直线上或直线下方即可，即214a ，得302a，综上3 2a ，所以实数a的取值范围是3,2，故答案为3,2.7 【2019 届二轮训练】已知函数 f1(x)|x1|，f2(x)1 3x1，g(x) 12 2fxfx 12 2fxfx ，若 a，b1,5，且当 x1，x2a，b时， 1212g xg xxx0 恒成立，则 ba 的最大值为_【答案】5【解析】15ab ， 且 12 12 120g xg xxxababxx， 恒成立， g x（）在区间ab，上
12、单调第增，函数 1212 12111322fxfxfxfxf xxfxxg x（），（），（）， 121035 0 3fxxg xfxx ，（），当 10x ，） 时， 1g xx （），单调减；当10 313xg xx，时，（）， 单调增；当 35x ，时， 1g xx（），单调递增 05abba，的最大值为50512故答案为 5.8 【2019 届吉林省长春市高三监测（三） 】已知函数，若，则实数 的取值范围是_.【答案】9 【2019 届吉林省长春市高三监测（三） 】已知函数，若，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】当，当，故.故答案为：10当1x 时，不等式1 1xax恒成立，则实
13、数a的最大值是_【答案】3【解析】令 1(1)1f xxxx，则由题意可知 minf xa，1x ， 111112113111f xxxxxxx ，当且仅当111xx ，即2x 时，等号成立， min3f x，从而3a 故实数a的最大值是3故答案为：3.13另法： 1111f xxx 的图象即函数 1f xxx的图象向右、向上均平移 1 单位得到，结合图象可得解.11 【2019 届宁夏银川高三 4 月模拟】已知函数是定义在 上的奇函数，当时，给出以下命题：当时，；函数有 个零点；若关于 的方程有解，则实数的取值范围是；对恒成立，其中，正确命题的序号是_【答案】若方程有解，则，且对恒成立，故错误，正确.故答案为.12函数的定义域为（ 为实数）.（1）若函数在定义域上是减函数，求 的取值范围；（2）若在定义域上恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1）；（2）14【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求 的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立，函数在上单调减， 时，函数取得最小值，即.