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1、三垂线定理及逆定理第1页，本讲稿共12页复习：复习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果如果a ,aAO，思考思考a与与PO的位置关的位置关系如何？系如何？aAPo PO PO是平面是平面是平面是平面 的斜线的斜线的斜线的斜线,OO为斜足为斜足为斜足为斜足;PA PA是平面是平面是平面是平面 的垂线的垂线的垂线的垂线,A,A为垂足为垂足为垂足为垂足;AO是是是是POPO在平面在平面在平面在平面 内的射内的射内的射内的射影影影影.第2页，本讲稿共12页PO 平面PAOaPO 三垂线定理：三垂线定理：三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的
2、一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PAa PAaAOaa平面PAO 第3页，本讲稿共12页 1 1 1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是PO(PO(PO(PO(斜线斜线斜线斜线)、AO(AO(AO(AO(射射射射影影影影)、a(a(a(a(直线直线直线直线)之间的垂直关系。之间的垂直关系。2 2 2 2、a
3、a a a与与与与POPOPOPO可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。3 3 3 3、三垂线定理的实质是平、三垂线定理的实质是平、三垂线定理的实质是平、三垂线定理的实质是平 面的一条斜线和面的一条斜线和面的一条斜线和面的一条斜线和平面内平面内平面内平面内 的一条直线的一条直线的一条直线的一条直线垂直的判定定理。垂直的判定定理。垂直的判定定理。垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：对三垂线定理的说明：对三垂线定理的说明：对三垂线定理的说明：三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 P Pa aA Ao o 第4页，本讲稿共12页例题分析：例题分析
4、：例例例例1 1 1 1、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确 (1)(1)若若a a是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射影，则内的射影，则内的射影，则内的射影，则abababab。()()()()2 2 2 2定理的关键定理的关键定理的关键定理的关键:找一个平面（基准面）找一个平面（基准面）找一个平面（基准面）找一个平面（基准面）强调：强调：强调：强调：1111四线是相对同一个平面而言四线是相对同一个平面而言四线是相对同一个平面而言四线是相对同一个平面而言 (2)(2)(2)(2)若若若若a a a
5、a是平面是平面是平面是平面的斜线，的斜线，的斜线，的斜线，b b b b是平面是平面是平面是平面内的直线，内的直线，内的直线，内的直线，且且b b垂直于垂直于a a在在内的射影，则内的射影，则abab。()()三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 第5页，本讲稿共12页例例2:2:如图如图,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AB=8,BAC=60,AB=8,BAC=60,PCPC平面平面ABC,PC=4,MABC,PC=4,M为为ABAB边上一个动点边上一个动点,求求PMPM的最小值。的最小值。APBCH 由三垂线定理知由三垂线定理知PHABPHAB即点即点M M在在H H
6、时时PMPM最小最小解：作解：作CHABAB于于H H，连，连PHPH在在ABC中，易求得中，易求得CH=2则在则在RTPCH中，中，PH=2即即PMPM的最小值为的最小值为2 2 PC PC平面平面ABCABC第6页，本讲稿共12页 例例例例3 3 3 3、如图，已知正方体、如图，已知正方体、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCD-AABCD-AABCD-AABCD-A1 1 1 1B B B B1 1 1 1C C C C1 1 1 1D D D D1 1 1 1中，连结中，连结中，连结中，连结BDBDBDBD1 1 1 1，ACACACAC，CBCBCBCB1 1 1 1，B B B
7、 B1 1 1 1A A A A，求证：，求证：，求证：，求证：BDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C BDBDBDBD1 1 1 1AC AC AC AC A1D1C1B1ADCBBDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C证明：证明：证明：证明：连结连结连结连结BDBDBDBD，连结连结连结连结A A A A1 1 1 1B B B B三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理ABCDABCDABCDABCD是正方形，是正方形，是正方形，是正方形，ACBDACBDACBDACBD又又又又DDDD
8、DDDD1 1 1 1平面平面平面平面ABCDABCDABCDABCDBDBDBDBD是斜线是斜线是斜线是斜线BDBDBDBD1 1 1 1在平面在平面在平面在平面ABCDABCDABCDABCD上的上的上的上的射影射影射影射影 而而而而A A A A1 1 1 1B B B B是是是是BDBDBDBD1 1 1 1在平面在平面在平面在平面 ABBABBABBABB1 1 1 1A A A A1 1 1 1内的射影内的射影内的射影内的射影 BDBDBDBD1 1 1 1AAAAB B B B1 1 1 1 第7页，本讲稿共12页 关于三垂线定理的应用，关键是找出平面关于三垂线定理的应用，关键是
9、找出平面关于三垂线定理的应用，关键是找出平面关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面基准面基准面基准面)的垂线。的垂线。的垂线。的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。利用三垂线定理证明利用三垂线定理证明利用三垂线定理证明利用三垂线定理证明abababab的一个程序：一垂、二射、的一个程序：一垂、二射、的一个程序：一垂、二射、的一个程序：一垂、二射、三证。三证。三证。三证。第一、找平面第一、找平面第一、找平面第一、找平面(基
10、准面基准面基准面基准面)及平面垂线及平面垂线及平面垂线及平面垂线 第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时a a a a、b b b b便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与一条斜线。一条斜线。一条斜线。一条斜线。三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线a a a a垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出a a a a与与与与b b b b垂直。垂直。垂直。垂直。第8页，本讲稿共12页反过来反过来,如
11、果如果 a POPO,是否有是否有 aAO?AO?aAPo三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果和这个平面的一如果和这个平面的一条斜线垂直条斜线垂直,那么这条直线和斜线的射影垂那么这条直线和斜线的射影垂直直.第9页，本讲稿共12页 例例例例4 4 4 4 四面体四面体四面体四面体P-ABCP-ABCP-ABCP-ABC中中中中,PABC,PBAC,PABC,PBAC,PABC,PBAC,PABC,PBAC,求证求证求证求证PCABPCABPCABPCAB 解解解解:过过过过P P P P作作作作PHPHPHPH面面面面ABCABCABCABC，连连连连
12、AHAHAHAH延长交延长交延长交延长交BCBCBCBC于于于于E E E E，连，连，连，连BHBHBHBH延长交延长交延长交延长交ACACACAC于于于于F F F FPHPHPHPH平面平面平面平面PBC,PABC,PBC,PABC,PBC,PABC,PBC,PABC,而而而而PAPAPAPA在面在面在面在面ABCABCABCABC内的射影为内的射影为内的射影为内的射影为AH,AH,AH,AH,由由由由三垂线定理的逆定理知三垂线定理的逆定理知三垂线定理的逆定理知三垂线定理的逆定理知BCBCBCBCAHAHAHAH三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理则则则则H H H H为为为为ABC
13、ABCABCABC的垂心的垂心的垂心的垂心同理可证同理可证同理可证同理可证BFACBFACBFACBFACPABCEFGH连连连连CHCHCHCH延长交延长交延长交延长交ABABABAB于于于于G G G G，于是，于是，于是，于是CGABCGABCGABCGAB而而而而CHCHCHCH是是是是PCPCPCPC在面在面在面在面ABCABCABCABC的射影的射影的射影的射影故故故故PCABPCABPCABPCAB第10页，本讲稿共12页请你解决一个实际问题：请你解决一个实际问题：请你解决一个实际问题：请你解决一个实际问题：道旁有一条河，彼岸有电塔道旁有一条河，彼岸有电塔道旁有一条河，彼岸有电塔
14、道旁有一条河，彼岸有电塔ABABABAB，高，高，高，高15m15m15m15m，只有水平测角器和皮尺作测，只有水平测角器和皮尺作测，只有水平测角器和皮尺作测，只有水平测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假设塔基量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假设塔基量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假设塔基量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假设塔基B B B B、道路处于同、道路处于同、道路处于同、道路处于同一水平面）一水平面）一水平面）一水平面）B BA AC C9090D D4545三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第11页，本讲稿共12页 三垂线定理：在平面内的一
15、条直线，如果和这个平面的一条斜三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。小小 结结3333操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤“一垂二射三证一垂二射三证一垂二射三证一垂二射三证”1111定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言2222应用定理关键是找应用定理关键是找应用定理关键是找应用定理关键是找“基准面基准面基准面基准面”三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条如果和这个平面的一条斜线垂直斜线垂直,那么这条直线也和斜线的射影垂直那么这条直线也和斜线的射影垂直.第12页，本讲稿共12页