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1、三垂线定理及逆定理的应用第1页，本讲稿共15页三垂线定理及逆定理的应用三垂线定理及逆定理的应用第2页，本讲稿共15页例一：判断下列命题是否正确例一：判断下列命题是否正确（）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直（）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在平面上的射影。于斜线在平面上的射影。()（）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行。（）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行。()（3）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在平面上的射影互相另一条是这个平面的斜线
2、，则这两条直线在平面上的射影互相垂直。垂直。()错误错误正确正确正确正确第3页，本讲稿共15页ABDCCABD1111例二：在正方体例二：在正方体 中：中：猜想猜想 和和 具有什么特殊的位置关系？能否找到与具有什么特殊的位置关系？能否找到与 具具有这种关系的其他面对角线吗？并简要证明。有这种关系的其他面对角线吗？并简要证明。证明：证明：第4页，本讲稿共15页 变题变题:是是 上一动点，在平面上一动点，在平面 上能否作一条过点上能否作一条过点 的线段与的线段与 垂直垂直？是面是面 内一点，在平面内一点，在平面 上能否作一条过点上能否作一条过点 的线段与的线段与 垂直？垂直？ABCABCD1D11
3、1P.F分析：第一问：显见分析：第一问：显见 过点过点 作作 的平行线即可。第的平行线即可。第二问：找到二问：找到 在面内的射影在面内的射影 ，过点过点 作射影的垂线段即可。作射影的垂线段即可。第5页，本讲稿共15页.EOAPBCD例三：例三：第6页，本讲稿共15页.EOAPBCDF第7页，本讲稿共15页NMPABCD.E 练习：已知，练习：已知，PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在平面，所在平面，M、N分别是分别是AB、PC的中点的中点 求证：求证：MN AB第8页，本讲稿共15页ABDCCABD1111.PO思考：在正方体思考：在正方体 中，中，是是 的中点，的中点，为底面为底面 的中心。
4、的中心。求证：求证：分析：分析：与与 异面，异面，、既可为平面的斜线，也可为平面内既可为平面的斜线，也可为平面内直线。关键在于平面的选择直线。关键在于平面的选择,射影射影的确定。的确定。方法一：以方法一：以 为平面，则为平面，则 是平面的斜线，是平面的斜线，是平面内直线。是平面内直线。由条件可知：由条件可知：平面平面 ，则则 为为 在平面在平面 内的内的射影。根据三垂线定理，问题转化为射影。根据三垂线定理，问题转化为证明证明 即可。即可。第9页，本讲稿共15页ABDCCABD1111.POM方法二：以方法二：以 为平面，为平面，是平面的斜线，是平面的斜线，是平面内直线。是平面内直线。由条件可知
5、：由条件可知：平面平面 ，则则 是是 在平面内的射影，再构造在平面内的射影，再构造出出 平面平面 ，找到，找到 在平在平面内的射影面内的射影 。因此。因此 是是 在在平面平面 内的射影，问题转化内的射影，问题转化为证明为证明 即可。即可。1、不同平面的选择，不同射影的确定，使图形中构造、不同平面的选择，不同射影的确定，使图形中构造“一面四线一面四线”有难有易。有难有易。2、在空间的任一平、在空间的任一平面内，平几的公理、定理仍然成立。在解证立几问题时，灵活运用平几知识是十分重要的。面内，平几的公理、定理仍然成立。在解证立几问题时，灵活运用平几知识是十分重要的。第10页，本讲稿共15页例一：在下
6、列三个命题中，为真命题的共有（例一：在下列三个命题中，为真命题的共有（）1、如果一条直线和一条斜线在这个平面内的射影垂直，则这条直线、如果一条直线和一条斜线在这个平面内的射影垂直，则这条直线和这条斜线垂直和这条斜线垂直 2、如果一条直线和一条斜线垂直，那么这条直线和斜线在这个、如果一条直线和一条斜线垂直，那么这条直线和斜线在这个平面内的射影垂直平面内的射影垂直 3、如果一条直线和一条斜线垂直，也和这条斜线在这个平面内的、如果一条直线和一条斜线垂直，也和这条斜线在这个平面内的射影垂直，那么射影垂直，那么 这条直线在平面内，或者和平面平行这条直线在平面内，或者和平面平行 A.O个个 B.1个个 C
7、.2个个 D.3个个B判断命题的真假，应严格按照三垂线定理及逆定理。判断命题的真假，应严格按照三垂线定理及逆定理。第11页，本讲稿共15页ABCEF()A第12页，本讲稿共15页引入：道路旁有一条河，河对岸有一嘹望塔，高引入：道路旁有一条河，河对岸有一嘹望塔，高10米。利用测角仪和皮尺，米。利用测角仪和皮尺，设计一个合理的方案测出塔顶与道路的距离。设计一个合理的方案测出塔顶与道路的距离。ABlCD分析：将道路、塔、河岸抽象为线段或直线。塔分析：将道路、塔、河岸抽象为线段或直线。塔顶与道路的距离是点顶与道路的距离是点A到到L的垂线段长，关键是垂的垂线段长，关键是垂足的确定。假设足的确定。假设AC
8、是距离，连结是距离，连结BC，由三垂线定，由三垂线定理的逆定理：理的逆定理：BC l。因此要确定垂足。因此要确定垂足C，用测角，用测角仪测定仪测定BC l 即可。问题转化为在即可。问题转化为在Rt ABC中求中求AC.利用工具构造利用工具构造Rt BCD，求出，求出BC，即得，即得AC.第13页，本讲稿共15页ABCDO例二：四面体例二：四面体 中，中，求证：求证：当题中具备了（构造后具备了）定理所需条件当题中具备了（构造后具备了）定理所需条件“一面四线一面四线”可用定理解题。可用定理解题。三垂线定理证明异面垂直，逆定理证明共面垂直。三垂线定理证明异面垂直，逆定理证明共面垂直。分析：分析：AD
9、、BC是两条异面直线。即证两条异面是两条异面直线。即证两条异面直线垂直。根据三垂线定理，只需证明直线垂直。根据三垂线定理，只需证明AD在平面在平面BCD内的射影和内的射影和BC垂直。因此可作垂直。因此可作AO 平面平面BCD于于O点，问题转化为证明点，问题转化为证明OD BC。连结。连结BO、CO，根据三垂线定理的逆定理可证：，根据三垂线定理的逆定理可证：BO CD，CO BD，确定，确定O是是 BCD的垂心，则的垂心，则OD BC得以解决。得以解决。第14页，本讲稿共15页三垂线：反映了三垂线：反映了“一面四线一面四线”的三种垂直关系的三种垂直关系（垂线和平面、平面内的直线和平面的斜线、（垂线和平面、平面内的直线和平面的斜线、平面内的直线和射影）平面内的直线和射影）实质：平面的一条斜线或其射影与平面内的实质：平面的一条斜线或其射影与平面内的一条直线垂直的判定定理。一条直线垂直的判定定理。应用：解决垂直问题和空间图形的度量问题。应用：解决垂直问题和空间图形的度量问题。第15页，本讲稿共15页