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1、1专题专题 5151 曲线与方程曲线与方程-求轨迹方程求轨迹方程【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为, x y，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘, x y的关系，列
2、出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出, x y的范围2、求点轨迹方程的方法 （1）直接法：从条件中直接寻找到, x y的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点,P x y与某已知曲线00,0F xy上一点00,Q xy存在某种关系，则可根据条件用, x y表示出00,xy，然后代入到Q所在曲线方程中，即可得到关于, x y的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有： 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角圆：若ABAC，则A点在以BC为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标, a
3、 b，半径r 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a，定点距离2c 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的 距离差为常数（小于定点距离） ，则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a，定点距离2c 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p.若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线） ，则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程2（4）参数法：从条件中无法直接找到, x y的联系，但可通过一辅助变量k，分别找到, x y
4、与k的联系，从而得到, x y和k的方程： xf kyg k，即曲线的参数方程，消去参数k后即可得到轨迹方程.【经典例题经典例题】例 1.【2019 届北京石景山区一模】如图，已知线段AB上有一动点D（D异于AB、）,线段CDAB,且满足2CDAD BD（是大于0且不等于1的常数） ，则点C的运动轨迹为（ ）A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分【答案】B例 2.设点 A 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 A 到图形 C 的距离已知点 A（1，0） ，圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆 C 的距离与到点 A 的距离之差为 1 的点的轨迹
5、是（ ）A. 双曲线的一支 B. 椭圆C. 抛物线 D. 射线【答案】D【解析】圆的标准方程为2211xy，如图所示，设圆心坐标为A，满足题意的点为点P，由题意有：11PAPA ，则2PAPAAA，3设2,0B，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线AB.本题选择 D 选项.例 3.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为 ，则点 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B例 4.已知直线ykxm与抛物线22yx交于,A B两点，且OAOBOAOB ，其中O为坐标原点，若OMAB于M，则点M的轨迹方程为（ ）A. 222xy B. 2211xy C. 2211xy D. 2214xy【
6、答案】B4【解析】思路：先处理条件OAOBOAOB 可得由,OA OB 为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形.即OAOB ，设1122,A x yB xy，即12120x xy y，联立直线与抛物线方程并利联立方程：22ykxmyx ，消去x可得：2 22202kyymkyym 122my yk 222 12 1224y ymx xk 2220mm kk，由0km 可得2mk :22lykxmkxkk x，即直线过定点2,0C OMAB即OMCM M的轨迹为以OC为直径的圆则该圆的圆心为1,0，半径1r 轨迹方程为2211xy 答案：B例 5.点 是圆上的动点，定点，线段的垂直平分
7、线与直线的交点为 ，则点 的轨迹方程是_【答案】【解析】由垂直平分线的性质有，所以，又，根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是 C，F 为焦点，以 4 为实轴长的双曲线，所以点 Q 的轨迹方程是.例 6.【2019 届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线l过抛物线C： 24yx的焦点， l与C交于A， B两点，过点A， B分别作C的切线，且交于点P，则点P的轨迹方程为_.5【答案】1x 1y ，故原抛物线 C 相应的点 P 的轨迹方程为x1 ，故答案为x1 .例 7.【2017 课标 II，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：2 212xy上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P
8、 满足2NPNM .(1) 求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线3x 上，且1OP PQ .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 【答案】(1) 222xy.(2)证明略.【解析】6（2）由题意知1,0F .设3,QtP m n,则3,1,33OQtPFmnOQ PFmtn ，,3,OPm nPQm tn .由1OP PQ A得2231mmtnn，又由（1）知222mn，故330mtn.所以0OQ PF A，即OQPF .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线l过 C 的左焦点 F.例 8.已知抛物线 ：的焦点为 F，平
9、行于 x 轴的两条直线分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q两点.（I）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（II）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.【答案】 （I）详见解析；（II）【解析】由题设.设，则，且7.记过两点的直线为 ，则 的方程为. （I）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. 例 9.【2019 届河北衡水金卷】已知焦点为 的的抛物线 ：（）与圆心在坐标原点 ，半径为 的交于 ， 两点，且，其中 ， ，均为正实数.（1）
10、求抛物线 及的方程；（2）设点 为劣弧上任意一点，过 作的切线交抛物线 于 ， 两点，过 ，的直线 ， 均于抛物线 相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点 A 坐标代入方程可得到 m=2,进而得到点 A 的坐标，由点点距得到半径；（2）设，,由直线和曲线相切得到， ：8，同理 ： ，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹.解析：（1）由题意，故。所以抛物线 的方程为.将代入抛物线方程，解得，因此，令，解得，故 ：，同理 ： .则由9解得因直线 ，.则由得，则因此根据点在圆上满足方程，消参得到.例 10：如图所示，点N在
11、圆224xy上运动，DNx轴，点M在DN的延长线上，且0DMDN （1）求点M的轨迹方恒，并求当为何值时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆 （2）当1 2时，在（1）中所得曲线记为C，已知直线:12xly，P是l上的动点，射线OP（O为坐标原点）交曲线C于点R，又点Q在OP上且满足2OQOPOR，求点Q的轨迹方程设00,M x yN xy 1000,0,DMyDNy DMDN 0yy DNx轴 0xx 0 0001xxxxyyyy由N在224xy上可知：22 004xy，代入可得：设OPtOQ，进而得到,Q x y与11,P x y的联系：11xtxyty ，再寻找,Q R的联系，结合条件2OQ
12、OPOR可知222 22 222OPORxytOQxyOQ，从而用t即可表示出,Q x y与22,R xy的联系（而不用再设字母）：22 222 2xtxyty.所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程，再消去t即可得到Q的轨迹方程解：由（1）可得曲线方程为：2 214xy设1122,P x yR xyQ x y 2OQOPOR设OPtOQ 由线段比例可得：11OPxytOQxy 11xtxyty11由2OQOPOR同理可得：222 22 222OPORxytOQxyOQ 22 222 2xtxyty,P R分别在直线与椭圆上 2 212 121,124xxyy，代入22 1222
13、12,xtxxtxytyyty可得：2 2 2 212 2414txtytxtxtytytxty ，化简可得：Q的轨迹方程为：222440xxyy.【精选精练精选精练】1到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D2 【2019 届江西省新余市二模】斜率为 的直线 过抛物线焦点 ，交抛物线于 ， 两点，点为中点，作，垂足为 ，则下列结论中不正确的是（ ）A. 为定值 B. 为定值 C. 点 的轨迹为圆的一部分 D. 点 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】由题意知抛物线的焦点为，故直线 的方程为，由消去 y 整理得，设，12则，选项 A 中，为定值故 A 正确
14、选项 B 中，为定值，故 B 正确选项 C 中，由消去 k 得，故点 的轨迹不是圆的一部分，所以 C 不正确选项 D 中，由于，直线过定点，所以点 Q 在以为直径的圆上，故 D 正确综上选 C 3 【2019 届江西省监测】已知向量OA ， OB 满足1OAOB ， 0OA OB ， OCOAOB ,R ，若M为AB的中点，并且1MC ，则点, 的轨迹方程是（ ）A. 2211122B. 2 21112C. 22111 D. 22111224如图，在圆228xy上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD， D为垂足. 当点P在圆上运动时，满足PDtMD 2t 的动点M的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率
15、的取值范围（ ）13A. 30,2 B. 10,4C. 1,12D. 3,12 【答案】D【解析】设,M x y，则,P x ty，代入圆的方程 228xty，即222 188xt y，2t ，动点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其中28a ， 2 28bt，则2 288ct， 故而可得222 22881128ctetat ，故23,14e，即3,12e，故选 D.5点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( )A. (x2)2(y1)21 B. (x2)2(y1)24C. (x4)2(y2)24 D. (x2)2(y1)21【答案】D6 【2019 届广西二模】设 为
16、椭圆上任意一点，延长至点 ，使得，则点 的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 14【答案】B【解析】 为椭圆上任意一点,且 A,B 为焦点， ，又，所以点 的轨迹方程为.7ABC 的顶点 A(5,0)，B(5,0)，ABC 的周长为 22,则顶点 C 的轨迹方程是 ( )A. B. C. D. 【答案】D8 【2019 届浙江省镇海中学高三上学期期末】椭圆 M:长轴上的两个顶点为 、 ，点 P 为椭圆 M 上除 、 外的一个动点，若且，则动点 Q 在下列哪种曲线上运动( )A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线【答案】B【解析】设 P（m，n） ，Q（x，y）椭圆 M 的方程为，
17、作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为 A（a，0） ，B（a，0）=（x+a，y） ，=（m+a，n）=0，（x+a） （m+a）+ny=0，可得 m+a= 15此方程对应的图形是焦点在 y 轴上的椭圆，可得动点 Q 的轨迹是一个椭圆，B 项是正确答案故选 B.9.已知椭圆222210 ,xyabMab为椭圆上一动点， 1F为椭圆的左焦点则线段1MF的中点P的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 圆 C. 双曲线的一支 D. 线段【答案】A【解析】设10M acosbsinFc（，）（，），线段1MF的中点22acosc bsinP（，）， 2 2acoscxbsiny ， 22xcycossinab，
18、 16点P的轨迹方程为22222144cxy ab， 线段1MF 的中点P 的轨迹是椭圆故选 A10.过圆 ： 上的点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 .当 在 上运动时，记点的轨迹为 .（1）求 的方程；【答案】 （1）【解析】试题分析：（1）设点坐标， 点坐标，由题意可得 点坐标为满足则点 的轨迹 的方程为11.已知坐标平面上两个定点，动点满足：（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为 ，过点的直线 被 所截得的线段的长为，求直线 的方程【答案】(1)见解析;(2).17【解析】分析：（1）直接利用，列出方程即可求出点 M 的轨迹方程，然后说明轨迹的形状；（2
19、）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线 l 的方程详解：（1） 由得化简得：，轨迹为圆 （2）当直线 的斜率不存在时，直线 符合题意； 当直线 的斜率存在时，设 的方程为：由圆心到直线的距离等于得此时直线 的方程为：.12.已知圆22:25Cxy，直线:120l mxym ， Rm.（1）求证：对Rm，直线l与圆C总有两个不同的交点AB、；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.【答案】(1)见解析(2) M的轨迹方程是2 211224xy，它是一个以12,2为圆心，以1 2为半径的圆试题解析：证明：（1）圆22:25Cxy的圆心为2,0C ，半径为5，18所以圆心C到直线:120l mxym 的距离 2221215 11mmmm .所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设中点为,M x y，所以M的轨迹方程是2 211224xy，它是一个以12,2为圆心，以1 2为半径的圆.