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1、1专题专题 4545 直线与方程直线与方程【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】高考对直线与方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识，熟练掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视本专题通过例题说明关于直线问题的解法与技巧.（一）直线与方程：1、倾斜角：若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆
2、时针旋转直至与l重合所成的角称为直线l的倾斜角，通常用, , , 表示（1）若直线与x轴平行（或重合） ，则倾斜角为0（2）倾斜角的取值范围0, 2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为tank （1）当2时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）k越大，直线越陡峭（5）斜率k的求法：已知直线上任意两点1122,A x yB xy，则2121yykxx，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关.3、截距：若直线l与坐标轴分别交于
3、 ,0 , 0,ab，则称, a b分别为直线l的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可 0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为 0 的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率） ，另一种是已知两点（两点确定一条直线） ，直线方程的形式与这两种方法有关（1）一点一方向：2 点斜式：已知直线l的斜率k，直线上一点00,P xy，则直线l的方程为：00yyk xx证明：设直线l上任意一点,Q x y，根据斜率计算公式可得：00yykxx，所以直
4、线上的每一点都应满足：00yyk xx，即为直线方程 斜截式：已知直线l的斜率k，纵截距b，则直线l的方程为：ykxb 证明：由纵截距为b可得直线与y轴交点为0,b，从而利用点斜式得：0ybk x 化简可得：ykxb （2）两点确定一条直线： 两点式：已知直线l上的两点1122,A x yB xy，则直线l的方程为：221212yyxx yyxx 截距式：若直线l的横纵截距分别为,0a b ab ，则直线l的方程为：1xy ab证明：从已知截距可得：直线上两点 ,0 , 0,ab，所以0 0bbkaa :01bxyl ybxbxayabaab 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由, x
5、 y的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0AxByC（,A B不同时为 0） ，此形式称为直线的一般式一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）（2）截距式： 截距不全的直线：水平线，竖直线 截距为 0 的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：3（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则
6、需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）（二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直） ，重合如果题目中提到“两条直线” ，则不存在重合的情况，如果只是12, l l，则要考虑重合的情况.2、直线平行的条件（1）斜截式方程：设直线111222:,:lyk xb lyk xb 121212,kk bbll 若直线12, l l的斜率存在，则1212llkk（2）一般式方程：设11112222:0,:0lAxB yClA xB yC
7、，则 当111222ABC ABC时，1l2l 1221ABA B，且1221ACA C和1221BCB C中至少一个成立，则1l2l（此条件适用于所有直线）3、直线垂直的条件：（1）斜截式方程：设直线111222:,:lyk xb lyk xb，则12121llkk （2）一般式方程：设11112222:0,:0lAxB yClA xB yC，则：1212120A AB Bll4、一般式方程平行与垂直判定的规律：可选择与一般式方程0AxByC对应的向量：,aA B ，即有：11111112222222:0,:0,lAxB yCaA BlA xB yCaA B ，从而12,a a 的关系即可代
8、表12, l l的关系，例如：12211212ABA Baall （注意验证是否会出现重合的情况）121212121200A AB Baaaall 4（三）距离问题：1、两点间距离公式：设1122,A x yB xy，则22 1212ABxxyy2、点到直线距离公式：设00, :0P xyl AxByC则点P到直线l的距离0022P lAxByCd AB 3、平行线间的距离：1122:0,:0lAxByClAxByC则12, l l的距离为1222CCd AB （四）对称问题1、中心对称：（1）几何特点：若,A A关于O点中心对称，则O为线段AA的中点（2）解析特征：设00,A xy，,O a
9、 b，则与A点关于O点中心对称的点,A x y满足：000022 2 2xxaxaxyyybyb2、轴对称（1）几何特点：若若,A A关于直线l轴对称，则l为线段AA的中垂线，即AAl，且AA的中点在l上（2）解析特征：设00,A xy，: lykxb，则与A点关于l轴对称的点,A x y满足：0000122AAyykxxkyyxxkb ，解出,A x y即可（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线l，直线1l关于l的对称直线为 1l 若1ll，则 1l1l，且 1l到对称轴的距离与l到对称轴的距离相等 若1l与l相交于P ，则取1l上一点A，求出关于l的对称点A，则AP即为对称直线 1l5（五）
10、直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系参数不会影响斜率的取值（1）与直线0AxByC平行的直线系方程为：0AxBym（m为参数，且mC）（2）与直线0AxByC垂直的直线系方程为：0BxAym（m为参数）2、过定点的直线：（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为 0 即可（2）已知11112222:0,:0lAxB yClA xB yC（1l与2l不重合） ，则过12, l l交点的直线系方程为：12
11、11122200llAxB yCA xB yC（该直线无法表示2l）3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程【经典例题经典例题】例 1.过点2,Ma和,4N a 的直线的斜率为 1，则实数a的值为（ ）A1 B2 C1 或 4 D1 或 2【答案】A【解析】依题意有41,12aaa例 2.已知直线方程为, 3300sin300cosyx则直线的倾斜角为（ ）A.60 B.30060 或 C.30 D.33030 或【答案】C【解析】由直线方程为, 3
12、300sin300cosyx所以直线的斜率为33 60sin60cos )60sin()60cos( )60360sin()60360cos( 300sin300cos k6因为直线倾斜角的范围)180,0所以倾斜角为30故答案为C.例 3. 坐标平面内有相异两点2(cos ,sin), (0,1)AB，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）A,44B30,44 C30,44 D3,44 【答案】3 4 【解析】22sin1coscos 1,1coscosABk ，且0ABk .设直线的倾斜角为，当01ABk 时，则0tan1 ，所以倾斜角的范围为04 .当10ABk 时，则1tan0 ，
13、所以倾斜角的范围为3 4 .例 4. 直线l过点(4, 1)P，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【答案】1 4yx 或30xy .例 5. 已知直线12:210,:20laxaylxay ，其中aR，则“3a ”是“12ll”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线12ll的充要条件是20300aaaa aa 或3a .故选 A.7例 6.【2019 届四川省南充高级中学高三 9 月检测】已知直线12:210,:20laxaylaxy .若12/ /ll，则实数a的值是（ ）A. 0或3 B. 2或1 C.
14、 0 D. 3【答案】A【解析】12/ /ll，则 12aa a 即230aa 03aa 或 经检验都符合题意故选 A.例 7已知(2,4),(1,1)AB两点，直线l过点(0,2)C且与线段AB相交，直线l的斜率k的取值范围是 .【答案】 1,1 xyl1231234OABCDxyl1231234OABCD例 8. 设直线 l 的方程为12()()0axyaaR(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围【答案】(1)3xy0xy20或.(2)(1，【解析】 (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直
15、线不经过原点时，截距存在且均不为 0，2 1a a a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0xy20或.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，81020aa或1020aa,a1. 综上可知a的取值范围是(1，点睛：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为0的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.例 9.【2019 届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线与直线， 为它们的交点，点为平面内一点.求（1）过点 且与 平行的直线方程；（2）过 点的直线，且 到它的距离为 2 的直线方程.【答案】 （1）（2）或
16、【解析】试题分析：(1)先求，写出直线点斜式方程，整理得解(2)先求两条直线的交点，设出直线方（2），当斜率不存在，则方程为，不合题意当斜率存在，设方程,而,9，或，方程为或.例 10. 已知直线1:30lxy，直线10lxy ：，若直线1l关于直线l的对称直线为2l，求直线2l的方程【答案】50xy.【解析】直线12,l l关于直线l对称，所以1l与2, l l与l间的距离相等由两平行直线间的距离公式得 31122m ，解得5m 或3m （舍去） ，所以直线2l的方程为50xy.法二：由题意知12/ /ll，设直线2:03,1lxymmm ，在直线1l上取点0,3M，设点M关于直线l的对称点
17、为,Ma b，于是有311031022b a ab ，解得41ab ，即4, 1M10把点4, 1M代入2l的方程，得5m ，所以直线2l的方程为50xy【精选精练精选精练】1.【2019 届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二） 】已知直线的倾斜角为，直线 经过，两点，且直线与 垂直，则实数的值为（ ）A. -2 B. -3 C. -4 D. -52.已知直线1:210lxy 与直线2:0lmxy平行，则实数m的值为 ( )A.1 2B1 2 C.2 D.2 【答案】A【解析】由题意，1 12m，即1 2m ,选 A.3.平行于直线012 yx且与圆522 yx相切的直线的方程是（ ）A05
18、2 yx或052 yx B. 052 yx或052 yx C. 052 yx或052 yx D. 052 yx或052 yx【答案】D4.已知直线:10,0xylabab 在两坐标轴上的截距之和为 4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ）A. 2 2 B. 4 C. 6 D. 2【答案】D11【解析】直线:10,0xylabab在两坐标轴上的截距之和为 4，所以4ab，即142422ababab ，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是2 .5若直线20xay与以3 1A，1 2B，为端点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）A 2 1 ， B 21 ， C.1
19、1 2， D11 2 ，【答案】D【解析】直线20xay过定点2 0C，,所以11(,)( 2,1)(, 1)( ,)2CBCAkkaa ，选 D.6.直线2:10l mxm y 经过点2,1P，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是（ ）A10xy B230xy C30xy D240xy【答案】C【解析】将点2,1P代入得2210,1mmm ，直线方程为10xy ，斜率为1，倾斜角为4.故和其垂直的直线斜率为1，故选 C.7.点(2,0)A，( 2,4)B ，(5,8)C，若线段AB和CD有相同的垂直平分线，则点D的坐标是（ ）（A）(6,7) （B）(7,6)（C）( 5, 4)
20、 （D）( 4, 5)【答案】A8. 如图所示，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )12A210 B6 C33 D25【答案】A【解析】由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(2,0)，则光线所经过的路程为|CD|210故选 A9.若直线l： 1(0,0)xyabab经过点1,2，则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 【答案】32 2【解析】由题意得，截距之和为23232 2a b ba，当且仅当，即时，等号成立
21、，即的最小值为10.已知两直线1:80lmxyn和210lxmy ：2试确定,m n的值，使（1）1l与2l相交于点( , 1)P m ；13（2）1l2l；（3）1l2l，且1l在y轴上的截距为1【答案】 （1）1m，7n；（2）4m，2n或4m，2n；（3）0m，8n.【解析】试题分析：（1）将点1,mp代入两直线方程，解出m和n的值；（2）由1l2l得斜率相等，求出m值，再把直线可能重合的情况排除；（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于1，42mn 或42mn 即4m，2n时或4m，2n时，21/ll（3）当且仅当082mm，即0m时，21ll 又18n，8n即0
22、m，8n时，21ll ，且1l在y轴上的截距为111.【2019 届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线1l的方程为34120xy，求2l的方程，使得：（1）2l与1l平行，且过点1,3；（2）2l与1l垂直，且2l与两坐标轴围成的三角形面积为 4.【答案】 （1）3490xy（2）44 6 33y 14【解析】试题分析：（1）由2l与1l平行可设2:340lxym，再代点1,3得9m .（2）由2l与1l垂直可设2:430lxyn，再得与坐标轴的交点，根据面积公式得1 2 4 3AOBn nS，最后解方程得n试题解析：解：（1）设2:340lxym，2l过点1,3，9m .2l方
23、程为3490xy.4 6n .2l方程为434 60xy或434 60xy.44 6 33y 12已知| m| 1，直线12:1,:1lymxlxmy ， 12ll与相交于点 P，1l交 y 轴于点 A，2l交 x 轴于点 B（1）证明：12ll；（2）用 m 表示四边形 OAPB 的面积 S，并求出 S 的最大值；15（3）设 S= f (m), 求1USS的单调区间.【答案】 （1）见解析；（2）1；（3）在（1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数.【解析】 （1）证明：可把两条直线化为12:10,:10lmxylxmy （3）2 21111USmSm , 又11( ,1,( ,122SU且在是单调递减的函数,而1 1Sm2在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，1USS在（1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数