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1、1专题专题 5353 圆锥曲线的取值范围问题圆锥曲线的取值范围问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.
2、圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通
3、过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围 椭圆（以222210xyabab为例） ，则,xa a ，,yb b 双曲线：（以22221,0xya bab为例） ，则,xa （左支）, a （右支）yR 抛物线：（以220ypx p为例，则0,x（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0 （3）点与椭圆（以222210xyabab为例）位置关系：若点00,xy在椭圆内，则22 00 221xy ab （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（
4、或两个）辅助变量，通过条件可建立起2变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有： 二次函数；“对勾函数”0ayxax； 反比例函数； 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点
5、：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 （2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式） ，一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可【经典例题经典例题】例 1. 【2019 届河南省南阳市第一中学第十八次考】已知 为双曲线上的任意一点，过 分别引其渐近线的平行线，分别交 轴于点，交 轴于点，若恒成立，则双曲线离心率 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B考查双曲线的一条渐近线方程令 x=0，
6、得，令 y=0 得考查双曲线的另一条渐近线方程令 x=0，得，令 y=0 得3据此有恒成立，则恒成立，则即 可得故选 B.例 2.【2019 届湖南省长沙市长郡中学模拟二】已知椭圆 ：与过原点的直线交于 、两点，右焦点为 ，若的面积为，则椭圆 的焦距的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】BAF+AF1=2a，AF+BF=2a，SABF= AFBFsin120=AFBF=4，AFBF=16，4a2=3c2+c2=4c2，2c=a，2c4故选：B点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定
7、值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.例 3.【2019 届山东省日照市校际联考】已知抛物线 ：的焦点为 ，过 的直线交 于 ， 两点，点在第一象限， 为坐标原点，则四边形面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示四边形面积，借助导函数求最值即可.详解：设且,易知，设直线由所以5易知在上为减函数，所以当时，,故选：B.例 4.【2019 届河北省唐山市三模】已知 是抛物线上任意一点， 是圆上任意一点，则的最小值为（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】D，是圆上任意一点，的最小值为，故选 D.例 5.【201
8、9 届安徽省安庆市第一中学热身】已知椭圆与双曲线 有相同的焦点，若点 是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：设椭圆与双曲线中，由题意可得，然后用表示出，得到的表达式，然后结合二次函数的性质即可求出所求的范围6详解：如图，设椭圆与双曲线中，则，设 ，.设则，即故的取值范围为故选 D7点睛：椭圆或双曲线中的离心率问题可转化为间的关系的问题，即根据题意得到间的方程或不等式，然后解方程或不等式可得所求本题中将椭圆和双曲线综合在一起，解题的关键是将转化为的函数求解例 6.【2019 年浙江卷】如图，已知点 P 是 y 轴左侧(
9、不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上（）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；（）若 P 是半椭圆 x2+=1(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围【答案】 （）见解析；（）.【解析】分析: （）设 P,A,B 的纵坐标为，根据中点坐标公式得 PA,PB 的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论， （）由（）可得PAB 面积为，利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.8所以，因此，的面积因为，所以因此，面积的取值范围是例 7.【2019 年北京卷理】已已知抛物线 C：
10、=2px 经过点 （1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，求证：为定值【答案】(1) 取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析 【解析】分析：（1）先确定 p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线 l 的斜率的取值范围，最后根据 PA，PB 与 y 轴相交，舍去 k=3， （2）先设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，与抛物线联立，根据韦达定理可得，再由，得，利用9直线 PA，依题意，解得 k0
11、或 0k1又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2） 从而 k-3所以直线 l 斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1） （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由（I）知，直线 PA 的方程为 y2=令 x=0，得点 M 的纵坐标为同理得点 N 的纵坐标为由，得，所以所以为定值例 8.【2019 届山东省潍坊市青州市三模】设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .10（1）求椭圆 的方程;（2）若上存在两点，椭圆 上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.【答案】 （1）；（2）【解析】分析：（）由题
12、意可知及，即可求得 和 的值，求得椭圆的标准方程；（2）讨论直线的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程此时，（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，设的横坐标分别为，则，由可得直线的方程为，联立椭圆 的方程，消去 ，得11综上例 9.【2019 届辽宁省凌源二中三模】设 是坐标原点, 是抛物线的焦点, 是该抛物线上的任意一点，当它与 轴正方向的夹角为 60时,.(1)求抛物线的方程;(2)已知,设 是该抛物线上的任意一点,是 轴上的两个动点,且，当取得最大值时,求的面积.【答案】(1) .(2)4.【解析】分析：（1）设，则由抛物线的定义得，当
13、与 轴正方向的夹角 60时，由，从而可得结果；（2）设，则，所以，则，利用基本不等式、结合三角形面积公式可得结果.详解：（1）设，则由抛物线的定义得.当与 轴正方向的夹角 60时，即.又.12当且仅当时等号成立，此时所以.例 10.【2019 届腾远浙江红卷】如图，直线与抛物线相交于两点， 是抛物线 的焦点，若抛物线 上存在点 ，使点 恰为的重心.（1）求的取值范围；（2）求面积的最大值.【答案】 （1）；（2）.【解析】分析：（1）设，联立方程组，求得，进而利用重心的坐标公式，求得，由题意得不等式组，即可求解；13（2）原点 到直线的距离，利用弦长公式和三角形的面积公式得，设，利用导数得到函
14、数的单调性和最值，即则，且，而，即，代入得，解得，所以的取值范围为.（2）原点 到直线的距离，14则在上递增，在上递减，即在或 处取得最大值，而，所以，所以.【精选精练精选精练】1 【2019 届辽宁省葫芦岛市二模】已知双曲线，若过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A15即为 即有即则即故选 A2 【2019 届河南省郑州市第三次预测】已知 为椭圆上一个动点，过点 作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意设 PA 与 PB 的夹角为，通过解直角三角形求出 PA，PB 的长
15、，由向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简，然后换元后利用基本不等式求出最值详解：如图，由题意设，则，16的取值范围是故选 C3 【2019 届江苏省盐城中学考前热身 2】已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是_【答案】. 【解析】试题分析：利用椭圆的定义、余弦定理、向量的数量积公式，结合基本不等式，即可求出椭圆离心率的取值范围详解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a，=c2，|PF1|PF2|cosF1PF2=c2，由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2=4c2，由得 cosF1PF21，|PF1|PF2
16、|=2a23c2，e，|PF1|PF2| （|PF1|+|PF2|）2=a2，2a23c2a2，e，此椭圆离心率的取值范围是.17故答案为：4 【2019 届河南省最后一次模拟】设 是坐标原点, 是抛物线的焦点, 是该抛物线上的任意一点,当与 轴正方向的夹角为时, .(1)求抛物线的方程；(2)已知,设 是该抛物线上的任意一点, 是 轴上的两个动点,且，,当计取得最大大值时，求的面积.【答案】(1)；(2)4.详解：（1）设 ，则由抛物线的定义得.当与 轴正方向的夹角为时, ,即.又 ,所以 .当且仅当时等号成立,此时.18所以 .5 【2019 届河南省南阳市第一中学第十八次考】在平面直角坐
17、标系中，抛物线，直线与 交于两点，.（1）求 的方程；（2）斜率为的直线 过线段的中点，与 交于两点，直线分别交直线于两点，求的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）联立方程组，求得，又由，列出方程求得，即可得到抛物线的标准方程；（2）由（1）可得直线 的方程为，联立方程组，求得，进而得出的坐标，求得的长的表达式，即可求解其最大值.详解：（1）由方程组得， 设，则，直线的方程为，代入，解得，19所以，同理得所以 因为，所以.当时，取得最大值.6.【2019 届安徽省江南十校二模】如图所示，已知抛物线的焦点为 ，是抛物线上第一象限的点，直线 与抛物线相切于点.（1）过作垂直于抛
18、物线的准线于点 ，连接，求证：直线 平分；（2）若，过点且与 垂直的直线交抛物线于另一点 ，分别交 轴、 轴于 、 两点，求的取值范围.【答案】 （1）见解析（2）. 得， ，20直线 的斜率，.又由抛物线定义， 平分；（2）解：当时，的方程：，.，由 ， .7 【2019 届福建省百校冲刺】已知直线 经过抛物线的焦点且与此抛物线交于两点，直线 与抛物线交于两点，且两点在 轴的两侧（1）证明：为定值；（2）求直线 的斜率的取值范围；（3）已知函数在处取得最小值，求线段的中点 到点的距离的最小值（用表示）【答案】 （1）见解析（2）（3）21详解：（1）证明：由题意可得，直线 的斜率存在，故可设
19、 的方程为，联立，得，则为定值；（2）由（1）知，则，即联立得：，两点在 轴的两侧，在处取得最小值，8 【2019 届浙江省教育绿色评价联盟 5 月测试】已知椭圆 ：的左，右焦点分别是，点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接，设的内角平分线交 的长轴于点22（1）求实数的取值范围；（2）求的最大值【答案】 （1）；（2）又， 所以直线的方程分别为： 因为 所以因为，23可得，所以， 因此（2） 所以当且仅当时取到等号另解： 当且仅当时取到最大值所以 9.【2019 届江西省南昌市二模】已知椭圆的两焦点分别是，点在椭圆 上，（1）求椭圆 的方程；（2）设 是 轴上的一点，若椭圆 上存在两点，使
20、得，求以为直径的圆面积的取值范24围【答案】 （）（）【解析】试题分析：（1）根据题意得到，由点点距离可求得 a 值，进而得到椭圆方程；（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，则由得，联立得，由得，整理得由韦达定理得，由，消去得，25由解得，综上：，又因为以为直径的圆面积，所以 的取值范围是.10.【2019 届山东省烟台市高考适应性练习（二） 】已知圆，点， 是圆上一动点，点 在线段上，点 在半径上，且满足.（1）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程； （2）设过点的直线 与轨迹 交于点 （ 不在 轴上） ，垂直于 的直线交 于点，与 轴交于点 ，若，求点横坐标的取值范围.【答案】 （1）
21、（2）详解：（1）由题意知，直线为线段的垂直平分线，所以所以点 的轨迹是以点为焦点，焦距为 4，长轴为 4 的椭圆， ，故点 的轨迹 的方程为 . （2）由题意直线 的斜率存在设为 ,于是直线 的方程为，26设，联立，得于是，即，整理得， ，11.【2019 届四川达州高四模】已知椭圆 ：的左焦点是，椭圆 的离心率为，过点（）作斜率不为 0 的直线 ，交椭圆 于 ， 两点，点，且为定值（1）求椭圆 的方程；（2）求面积的最大值【答案】 （1）；（2）【解析】分析：（1）根据题意可得，又椭圆 的离心率为，得，故椭圆 的标准方程为 （2）先写出 27的表达式然后借助韦达定理要使为定值，则，解得或（
22、舍） ，再利用弦长公式和点到直线的距离表示面积.，要使为定值，则，解得或（舍） ，当时，点 到直线的距离，面积，28当时，面积的最大值为12 【2019 届重庆市綦江区 5 月预测】已知椭圆 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，P 为椭圆 C 上的动点，且满足，面积的最大值为 4.（1）求动点 Q 的轨迹 E 的方程和椭圆 C 的方程.（2）若点 P 不在 x 轴上，过点 F2 作 OP 的平行线交曲线 C 于 M、N 两个不同的点，求面积的最大值.【答案】 （1）,（2）动点轨迹 E 是以 F2（c，0）为圆心，半径为的圆，E 的方程为当点 Q 到12FF的距离为时，最大由题知：即，又故动点 Q 的轨迹 E 的方程为29，=令：t=4+3m2 当时，的最大值为.