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1、1专题专题 3030 小题不小小题不小-比较大小比较大小【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.（一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负” ，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为0,1和1,（1）如果底数和真数均在0,1中，或者均在1,中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在0,1中，一个在1,
2、中，那么对数的值为负数例如：30.52log 0.50,log0.30,log 30等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：111 3423 ,4 ,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 111111 43634212121233,44,55，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可
3、优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破” ，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42，进而可估计2log 3是一个 1 点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）nm mnaa（2）logloglogaaaMNMN logloglogaaaMMNN（3）loglog0,1,0n aaNnN aaN 2（4）换底公式：logloglogc a cbba 进而有两个推论：1logloga bba （令cb） loglogmn a
4、anNNm （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用： fx在, a b单调递增，则 121212,x xa bxxfxfx( (在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则：（1） fx g xfx g xfx gx（2） 2fxfx g xfx gx g xgx 3、常见描述单调性的形式（1）导数形式： 0fxfx单调递增； 0fxfx单调递减（2）定义形式： 12120fxfx xx或 12120xxfxfx：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减
5、4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若 f x关
6、于xa轴对称，且, a 单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小3（2）若 f x关于xa轴对称，且, a 单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题经典例题】例 1.【2017 课标 1，理 11】设 x、y、z 为正数，且235xyz，则（ ）A2x 【答案】D【解析】分析：借助于中间值 1 和 0，利用各实数的范围可比较大
7、小.详解：，,， = 2 1 3 (0,1) = 2131，故选 D. 点睛：比较大小常用的方法有：（1）作差法（作商法） ；（2）利用函数单调性比较大小；5（3）借助中间变量比较大小. 例 5.【2019 年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，()=+ = (1 2) = (2)，则有（ ） = (13)A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，()= 1 +22 1()( ,0) 0，时，从而判断出 ，再根据在上减函数，判断出的大小关() 0 0, 31 2 13在上单调递减， ()( ,0)， (1 2), 点睛：本题主要考查对
8、数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ） ；二是利用函数的单调( ,0),(0,1),(1, + )性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用例 6.【2019 届天津市十二校二模】已知定义在 上的函数，则三个数，()=|+ = (7314)6，则 ， ， 之间的大小关系是（ ） = (17)129 5 ) = (1)A. B. C. D. 【答案】C由指数函数的性质可得,由可得0 17314 例 7 【2019 届华大新高考联盟 4 月检测】已知为定义在 上的偶函数，且，当时，()
9、( + 2)= () 0,1，记，则的大小关系为（ ）()= 2+ 1 = (0.56), = (27), = (8),A. B. 【答案】D【解析】()=|(2+ 1 )|() =|(2+ 1 )|=|12+ 1+ |( ) =|(2+ 1+ )|当时，；当时， 02+ 1+ 1 0() =|(2+ 1 )|= (2+ 1 ) = (2+ 1+ )( ) = (2+ 1+ )当时；. 故选 D.例 10.【2019 届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若 、()()( )() 2() 0、 是锐角三角形的三个内角，则（）A. B. () 2 () 2() 2 () 2() 2
10、 0则有 则函数在 上为增函数，（）0，()（0， + ）若 是锐角三角形，则有 即 即有 或 + 2， 2 2 0，故选：D【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数 h（x）并分析其单调性【精选精练精选精练】1.【2019 届北京市海淀区二模】已知，则( ) 0A. B. C. D. 1 1 (12) (12) ( + 1) ( + 1)【答案】D【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果. = 2， = 1详解：因为时， , , , = 2， = 11 【答案】A10故选 A3.【2017 年高考山东卷】若 ab0，且 ab=1，则下列不等式成立的是A.
11、21log2abaabb B. 21log2abababC. 21log2abaabb D. 21log2ababab【答案】B【解析】因为0ab，且1ab ，所以221,01,1,loglog 21,2abababab 12112logabaabaabbb ，所以选 B.4 【2019 届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数 0.220.2 20.2,log,2abc的大小关系正确的是( )A. acb B. abc C. bac D. bca【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知2log0.20， 200.21， 0.221，即01a， 0b ， 1c ，bac，故选 C.
12、5 【2019 届福建省龙岩市 4 月检查】已知定义在 上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，()0, + )12都满足，若，则的大小关系为（ ）()(2) (1)1 2 【答案】A【解析】此题可采用特值法，故可取，此时， (2,3 4) =2 3 = =32 = =1 2，即成立，故选 A. = =3 128.【2019 年 4 月 8 日 每周一测】已知函数 f x为偶函数，当0x 时， 4xf xx，设3log 0.2af， 0.23bf， 1.13cf，则( )A. cab B. abcC. cba D. bac【答案】A【解析】分析：先判断出 f x在0,上为增函数，由奇偶性可得1.
13、13cf 1.13f 33log 0.2log 0.2 ,aff根据对数函数与指数函数的性质得到3log 0.2、0.23、1.13的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.由单调性可得1.10.2 33log 0.23ffbf，cab ，故选 A.9 【2019 届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则 A,B,C 的大小关系是 = 12, = 3 2, = 3 2 12,（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 = 12 32+ 12=2(12+ 4) 3 2， 41，即 AC，2(12+ 4) 3 2 013 = 32 32+ 12= 122(32 4)，1 23 2+ 4=
14、1 + 4CB.本题选择 B 选项.10 【2019 届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知sin0,sin,4asincos,b cossinc，则( )A. abc B. acbC. bac D. cab【答案】D【解析】令0,4， 20sin2， cossin，令 sinxf x在 R 上单调递减，所以sinsincossin,即 ac,又因为 sing xx，在（0,1）上单调递增，所以sinsinsincos,即ab,所以cab，选 D.11.【2019 届天津市 9 校联考】定义在R上的奇函数 f x满足 2f xf x ，当 0,1x时， 21xf x ，设1lna， 2ln5be
15、， 0.11 3c，则（ ）A. f af bf c B. f bf cf aC. f bf af c D. f cf bf a【答案】A14又1lnln2e，且 21xf x 在 0,1上单调递增，1ln 2ff，即 f af b故选：A点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小12.【2019 届重庆市巴蜀中学月考七】已知 f(x)= 3sin(x+ )cos(x+ )+2cos (x+ )-1 2(|3),若 f(0)= 1 2,a=f(),b=f(11-12） ，c=f（53 24） ，则（ ）A. acb B. abc C. cab D. cba【答案】B【解析】 1223122222cosxf xsinx 31222222sinxcosx226sinx15由题意得 10262fsin5353262242464bfsin， abc选 B