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1、两个随机变量的函数的概率分布第1页，本讲稿共52页5.1 5.1 离散型随机变量的函数的概率分布离散型随机变量的函数的概率分布已知随机变量已知随机变量(X,Y)的概率分布的概率分布,g(x,y)为已知的二元函数为已知的二元函数,转化为转化为(X,Y)的事件的事件问题方法求求 Z=g(X,Y)的概率分布的概率分布第2页，本讲稿共52页例例1 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.得得因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以所以解解第3页，本讲稿共52页可得可得所以所以第4页，本讲稿共52页例例2 2 设二
2、维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率分布为的概率分布为X Y pij-1 1 2-1 0求：求：的概率分布的概率分布第5页，本讲稿共52页解解 根据根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：的联合分布可得如下表格：P X+Y X-Y X Y Y/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0第6页，本讲稿共52页故得故得PX+Y-2 -1 0 1 2PX-Y-1 0 1 2 3第7页，本讲稿共52页PX Y-2 -1 0 1 PY/X-1 -1/2
3、 0 1第8页，本讲稿共52页1.设设 X B(n1,p),Y B(n2,p),且独立，且独立，具有可加性的两个离散分布：2.设设 X (1),Y (2),且独立，且独立，则则 X+Y B(n1+n2,p)则则 X+Y (教材教材P86例例5.2)（习题课教程（习题课教程P383例例18）第9页，本讲稿共52页X (1),Y (2),则则Z=X+Y 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,Poisson分布可加性的证明分布可加性的证明第10页，本讲稿共52页结论：结论：第11页，本讲稿共52页5.2 5.2 连续型随机变量的函数的概率分布连续型随机变量的函数的概率分布 1.Z=X+Y 的概率分布
4、的概率分布第12页，本讲稿共52页由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为由于由于X 与与Y 对称对称,当当 X,Y 独立时独立时,这两个公式称之为这两个公式称之为卷积公式。卷积公式。注意：注意：被积函数变元之和被积函数变元之和x+(z-x)=(z-y)+y=z第13页，本讲稿共52页(教材教材P87P87例例5.3)5.3)例例3 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从标都服从标准正态分布准正态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.第14页，本讲稿共52页得得第15页，本讲稿共52页说明：说明：有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合仍的正态随机
5、变量的线性组合仍然服从正态分布然服从正态分布,即正态分布具有可加性即正态分布具有可加性.例如，设例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布也具有正态分布.第16页，本讲稿共52页为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:解法一解法一由卷积公式由卷积公式也即也即（教材（教材P88P88例例5.45.4）第17页，本讲稿共52页为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的
6、区域 也即也即于是于是第18页，本讲稿共52页解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发x+y=z当当z 0 时，时，1yx1第19页，本讲稿共52页当当0 z 1 时，时，yx11x+y=zzz第20页，本讲稿共52页x+y=z当当1 z 2 时时，z-11yx1zz第21页，本讲稿共52页1yx1x+y=z22当当2 z 时，时，(书P90例5.5、P92例5.6）第22页，本讲稿共52页例例 已知已知(X,Y)的联合的联合 概率密度概率密度为为Z=X+Y,求求 f Z(z)解解 （图形定限法图形定限法）由公式（由公式（1）考虑被积函数取非零值的区域考虑被积函数取非零值的区域第23页，本讲
7、稿共52页zxz=xz=2xx=112当当 z 2,zzzz当当 0 z 1,当当 1 z 2,f Z(z)=0第24页，本讲稿共52页这比用分布函数做简便。这比用分布函数做简便。第25页，本讲稿共52页解解课堂练习：课堂练习：第26页，本讲稿共52页第27页，本讲稿共52页此时此时第28页，本讲稿共52页2.2.极值分布极值分布的分布函数的分布函数则有则有第29页，本讲稿共52页故有故有第30页，本讲稿共52页推广：推广：第31页，本讲稿共52页第32页，本讲稿共52页若若 X与与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量相互独立同分布且为连续型随机变量,X的的分布密度为分布密度为f(x),则则M
8、与与N的分布密度为的分布密度为 上述结论可以推广到上述结论可以推广到n维情形维情形,即若设随机变量即若设随机变量 相互独立同分布相互独立同分布,令令 第33页，本讲稿共52页它们的概率密度函数分别为它们的概率密度函数分别为则它们的分布函数分别为则它们的分布函数分别为 第34页，本讲稿共52页 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具相互独立且具有相同分布函数有相同分布函数F(x)时时,常称常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研
9、究极值分布具有重要的作用和实用价值的作用和实用价值.第35页，本讲稿共52页例例6 设设X,Y独立同分布独立同分布,PX=i=1/3,i=1,2,3,求求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布律的分布律.解解 第36页，本讲稿共52页类似可得类似可得N的分布率为的分布率为 N 1 2 3 P 5/9 1/3 1/9 M 1 2 3 P 1/9 1/3 5/9 从而从而M的分布律为的分布律为第37页，本讲稿共52页 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为于是于是解解课堂练习：课堂练习：第38页，本讲稿共52
10、页第39页，本讲稿共52页例例7 7（教材（教材9393例例5.75.7）第40页，本讲稿共52页解解第41页，本讲稿共52页第42页，本讲稿共52页第43页，本讲稿共52页第44页，本讲稿共52页附附:平方和的分布平方和的分布 Z=X 2+Y 2设设(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度 为为 f(x,y)，则则第45页，本讲稿共52页例如，例如，X N(0,1),Y N(0,1),X,Y 相相 互独立，互独立，Z=X 2+Y 2,则则自由度为自由度为2的的 2分布分布称为称为第46页，本讲稿共52页解解 设设 的分布函数为的分布函数为 ，当当 时，有时，有（教材（教材P95P95例例5.85.8）第47页，本讲稿共52页第48页，本讲稿共52页当当 时，时，.综上综上从而得到从而得到 Z 的密度为的密度为第49页，本讲稿共52页课堂练习：课堂练习：（书（书P100P100第第1515题）题）解：由例解：由例5.8求解过程可知求解过程可知第50页，本讲稿共52页小结小结1.1.离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律第51页，本讲稿共52页2.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布第52页，本讲稿共52页