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1、二次函数二次函数基础回顾基础回顾 什么叫函数什么叫函数?在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量x x、y y，当变量，当变量x x在在某个范围内取一个确定的值，另一个变量某个范围内取一个确定的值，另一个变量y y总总有唯一的值与它对应。有唯一的值与它对应。这样的两个变量之间的关系我们把它叫做这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。函数关系。对于上述变量对于上述变量x x、y y，我们把，我们把y y叫叫x x的函数。的函数。x x叫自变量，叫自变量，y y叫应变量。叫应变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二次函数二次函数变变量量之之间间的的关关系系函函数数一次函数一次函
2、数反比例函数反比例函数y=kx+b(k0)正比例函数正比例函数y=kx(k0)y=k/x(k0)节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？会与某种函数有联系吗？抛物线型桥拱抛物线型桥拱奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球二次函数的基本概念 正方体六个面是全等正方体六个面是全等的正方形的正方形,设正方形棱设正方形棱长为长为 x,x,表面积为表面积为 y,y,则则 y y 关于关于x x 的关系式为的关系式为.问题问题1:1:y=6xy=6x2 2 此式表示了正方体的表面积此式表示了正方体的表面积y y与棱
3、长与棱长x x之间的关系之间的关系,对于对于x x的每一的每一个值个值,y,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y y是是x x的的函数函数.此式表示了多边形的对角线数此式表示了多边形的对角线数d d与与 边数边数n n之间的关之间的关系系,对于对于n n的每一个值的每一个值,d,d都有一个对应值都有一个对应值,即即d d是是n n的函数的函数.多边形的对角线数多边形的对角线数 d d 与边数与边数 n n 有什么关有什么关系？系？n n边形有个顶点边形有个顶点,从从一个顶点出发一个顶点出发,连接与这点不连接与这点不相邻的各顶点相邻的各顶点,可作条可作条对角线对角线.因此因此,n,n边形的对角
4、线边形的对角线总数总数 d=d=.n n(n(n3)3)问题问题2:2:n(nn(n3)3)1 12 2即即:某工厂一种产品现在的年产量是某工厂一种产品现在的年产量是2020件件,计划计划今后两年增加产量今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加如果每年都比上一年的产量增加x x倍倍,那么两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y y将随计划所定的将随计划所定的x x的的值而确定值而确定,y,y与与x x之间的关系怎样表示之间的关系怎样表示?问题问题3:3:这种产品的原产量是这种产品的原产量是2020件件,一年后的产量一年后的产量是是 件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是 件
5、件,即两年后的产量为即两年后的产量为:.y=20(1+x)y=20(1+x)2 220(1+x)20(1+x)2 220(1+x)20(1+x)y=20 xy=20 x2 2+40 x+20+40 x+20 此式表示了两年后的产量此式表示了两年后的产量y y与计划增产的倍与计划增产的倍数数x x之间的关系之间的关系,对于对于x x的每一个值的每一个值,y,y都有一个对都有一个对应值应值,即即y y是是x x的函数的函数.即即:y=6xy=6x2 2y=20 xy=20 x2 2+40 x+20+40 x+20观察下列函数有什么共同点观察下列函数有什么共同点:一般地一般地,形如形如 的函数的函数
6、,叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,x,x是自变量是自变量,a a,b b,c c分别是函数表达式分别是函数表达式的的二次项系数二次项系数、一次项系数一次项系数和和常数项常数项.y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 函数都是用自变量函数都是用自变量的二次式表示的的二次式表示的.(a,b,c都是常数都是常数,且且a0)一般地一般地,形如形如的函数的函数,叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项和常数项.(1)(1)等号左边是函数等号左边是函数y y，右边是关于
7、自变量，右边是关于自变量x x的的 (3)(3)等式右边的最高次数为等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，可以没有一次项和常数项，但但 .注意注意:(2)a,b,c(2)a,b,c为常数，且为常数，且(4)(4)自变量自变量x x的取值范围是的取值范围是 整式整式a0.a0.2 2任意实数任意实数y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)不能没有二次项不能没有二次项 1、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项数、常数项（1）y=-x2+58x-112（2）y=x22、指出下列函数y
8、=ax+bx+c中的中的a、b、c（1）y=-3x2-x-1（3）y=x(1+x)（2）y=5x2-6例例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数分别指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项。常数项。(1)y=3(x1)+1 (2)y=x+(3)s=32t (4)y=(x+3)x (5)y=x (6)v=8 r1x_x1_解解:(1)y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:3-64(2)y=x+1x_不是二
9、次函数不是二次函数.(3)s=3-2t是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:-203(4)y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即即y=6x+9不是二次函数不是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:800 不是二次函数不是二次函数.(5)y=-xx1_(6)v=8 r 是二次函数是二次函数.二次函数的一般形式二次函数的一般形式:二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b b0 0时，时，y yaxax2 2c c当当c c0 0时，时，y yaxax2 2bxbx当当b b0 0，c c0 0时，时，y yaxax2
10、 2y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)思考：思考：2.二次函数的一般式二次函数的一般式yax2bxc（a0）与一元二次方）与一元二次方程程axbxc0（a0）有什么）有什么联系和区别？联系和区别？驶向胜利的彼岸联系联系(1)等式一边都是等式一边都是ax2bxc且且 a 0(2)方程方程ax2bxc=0可以看成是可以看成是函数函数y=ax2bxc中中y=0时得到的时得到的.区别区别:前者是函数前者是函数.后者是方程后者是方程.等式另一等式另一边前者是边前者是y,后者是后者是0知识运用知识运用m22m-1=2 m+1 0 m=3例2:
11、m取何值时，取何值时，函数函数y=(m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？是二次函数？解解:由题意得由题意得例例2.y=(m+3)x2.y=(m+3)xmm2 27 7m取什么值时取什么值时,此函数是二次函数此函数是二次函数?看谁算得快看谁算得快!1.函数函数 是二次函数，是二次函数，求求m的值。的值。2 一农民用一农民用一农民用一农民用40m40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为XmXm，菜园的面
12、积为，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为YmYm2 2，求求求求y y与与与与x x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当当当当x=12mx=12m时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。x xmm y m y m2 2 x xmm （40-2x 40-2x）mm解：解：解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得：Y=x(40-2x)即：即：Y=-2x2+40 x(0 x20)当当x12m时，菜园的面积为：时，菜园
13、的面积为：Y=-2x2+40 x-2122+4012 192（m2）练习练习:1.1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积写出它的表面积 s s 与半径与半径 r r 之间的关系式之间的关系式,是函数关系吗？是哪种函是函数关系吗？是哪种函数？数？2.n2.n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛每两队之间进行一场比赛,写写出比赛的场次数出比赛的场次数 mm与球队数与球队数 n n 之间的关系式之间的关系式.3.3.函数函数 y=(my=(mn)xn)x2 2+mx+n+mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是()()(A)m,n(A)m,n是常数
14、是常数,且且m0 (B)m,nm0 (B)m,n是常数是常数,且且n0 n0 (C)m,n(C)m,n是常数是常数,且且mn (D)m,nmn (D)m,n为任何实数为任何实数 你认为今天这节课最需要掌握的你认为今天这节课最需要掌握的是是 _。驶向胜利的彼岸回味无穷回味无穷小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数.其中其中,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分别分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项是函数表达式的二次项
15、系数、一次项系数和常数项.y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式:(1)y=ax(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0).2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最高次数的最高次数是二次是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.1
16、、将进货单价为、将进货单价为40元的商品按元的商品按50元卖出时元卖出时,就就能卖出能卖出500个个,已知这种商品每涨已知这种商品每涨1元元,其销售量其销售量就会减少就会减少10个个,设售价定为设售价定为X元元(x50)时的利时的利润为润为Y元。试求出元。试求出Y与与X的函数关系式，并按的函数关系式，并按所求的函数关系式计算出售定价为所求的函数关系式计算出售定价为80元时所元时所得利润得利润、二次函数、二次函数 当当x=0时，时，y=-2；当当y=-2时，时，x=0，求，求y=2时，时，x的值。的值。课后巩固课后巩固如果函数如果函数y=+kx+1是二次函数是二次函数,则则k的值一定是的值一定是
17、_如果函数如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数是二次函数,则则k的值一定是的值一定是_ 00或或3如果函数如果函数y=(k-3)+kx+1 (x0)是一次是一次 函数函数,则则k的值一定是的值一定是_3或或1或或2拓展与提高拓展与提高例例4.已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函函 数值为数值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这个二次函数的解析式求这个二次函数的解析式 例例4.4.某果园有某果园有100100棵橙子树，每一棵树平均结棵橙子树，每一棵树平均结600600个橙子个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量现准备多种
18、一些橙子树以提高产量,但是如果多种树但是如果多种树,那那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据根据经验估计经验估计,每多种一棵树每多种一棵树,平均每棵树就会少结平均每棵树就会少结5 5个橙子个橙子.(1)(1)问题中有那些变量问题中有那些变量?(2)(2)假设果园增种假设果园增种x x棵橙子树棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子那么果园共有多少棵橙子树树?这时平均每棵树结多少个橙子这时平均每棵树结多少个橙子?(3)(3)如果果园橙子的总产量为如果果园橙子的总产量为y y个个,那么请你写出那么请你写出y y与与x x之之 间的关系式间的关系式.果园共有果园共有(100+x)(100+x)棵树棵树,平均每棵树结平均每棵树结(600(6005x)5x)个橙子个橙子y=(100+x)(600y=(100+x)(6005x)=5x)=5x5x+100 x+60000+100 x+60000