机械工程控制基础-第3章.ppt

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1、3.1 稳定性分析稳定性分析3.23.2控制系统的瞬态响应分析控制系统的瞬态响应分析3.3 控制系统的误差分析控制系统的误差分析控制系统的稳定性是指控制系统在使它偏离控制系统的稳定性是指控制系统在使它偏离平衡状态平衡状态的扰动作用消失以后的扰动作用消失以后重新恢复到平衡状态的性能。重新恢复到平衡状态的性能。平衡状态平衡状态指的是系统内部的各个变量关于时间的变化率指的是系统内部的各个变量关于时间的变化率（亦即对时间的一阶导数）等于（亦即对时间的一阶导数）等于0的运动状态。对线性定常系统而言，的运动状态。对线性定常系统而言，静止状态是唯一的平衡状态。静止状态是唯一的平衡状态。如果扰动消失以后，经过

2、足够长的时间，如果扰动消失以后，经过足够长的时间，受扰自由运动受扰自由运动最终衰减为最终衰减为0，系统稳定系统稳定。如果扰动消失以后，受扰自由运动不仅不随时间的推移而衰减，如果扰动消失以后，受扰自由运动不仅不随时间的推移而衰减，相反以发散方式变化，从而导致系统运动状态离原平衡状态愈来愈远，相反以发散方式变化，从而导致系统运动状态离原平衡状态愈来愈远，系统不稳定系统不稳定。如果扰动消失以后，经过足够长的时间，系统不是收敛于原平衡状态，如果扰动消失以后，经过足够长的时间，系统不是收敛于原平衡状态，而是收敛于一新的平衡状态或在一新的平衡点附近作有界振荡运动，而是收敛于一新的平衡状态或在一新的平衡点附

3、近作有界振荡运动，系统临界稳定系统临界稳定。3.1 稳定性分析稳定性分析如果不论系统受扰自由运动的初始偏差有多大，扰动消失后，经过足够长如果不论系统受扰自由运动的初始偏差有多大，扰动消失后，经过足够长时间，系统总能以较高的精确度自动恢复到原平衡状态时间，系统总能以较高的精确度自动恢复到原平衡状态大范围稳定大范围稳定。如果当系统受扰自由运动的初始偏差较小时，系统能在扰动消失以后经如果当系统受扰自由运动的初始偏差较小时，系统能在扰动消失以后经足够长的时间自动恢复到原平衡状态，而当受扰自由运动的初始偏差足够长的时间自动恢复到原平衡状态，而当受扰自由运动的初始偏差较大时，系统无法在扰动消失以后自动恢复

4、到原平衡状态较大时，系统无法在扰动消失以后自动恢复到原平衡状态小范围稳定小范围稳定。单摆单摆 倒立摆倒立摆 小球的稳定性小球的稳定性 3.1.1 判定线性系统稳定性的基本准则判定线性系统稳定性的基本准则稳定稳定系统的所有极点都在复平面系统的所有极点都在复平面s的左半部的左半部系统稳定系统稳定如果系统的一个或几个极点位于复平面如果系统的一个或几个极点位于复平面s的虚轴上，其余极点都位于的虚轴上，其余极点都位于s的左半部的左半部系统临界稳定系统临界稳定 只要有一个极点位于复平面只要有一个极点位于复平面s的右半部的右半部系统不稳定系统不稳定不稳定不稳定临界稳定临界稳定 1 系统稳定的充分必要条件系统

5、稳定的充分必要条件假设扰动信号消失瞬时为初始时刻假设扰动信号消失瞬时为初始时刻t=0，该时刻受扰运动的输出量，该时刻受扰运动的输出量及其各阶导数为及其各阶导数为 研究系统受扰自由运动研究系统受扰自由运动证明证明系统自由运动微分方程的一般形式系统自由运动微分方程的一般形式 系统的特征方程系统的特征方程 实数特征根实数特征根共轭复数特征根共轭复数特征根（1）如果）如果 当扰动消失以后，经过足够长的时间，系统受扰自由运动的输出量当扰动消失以后，经过足够长的时间，系统受扰自由运动的输出量衰减为衰减为0系统稳定系统稳定（2）如果）如果常数常数 扰动消失以后，受扰自由运动的输出量最终收敛于一常数扰动消失以

6、后，受扰自由运动的输出量最终收敛于一常数临界稳定。临界稳定。（2）如果）如果受扰自由运动的输出量最终围绕着一常数作有界振荡运动受扰自由运动的输出量最终围绕着一常数作有界振荡运动临界稳定。临界稳定。（3）在系统的特征根中，只要有一个实数特征根为正，或者）在系统的特征根中，只要有一个实数特征根为正，或者只要有一对共轭复数特征根的实部为正，那么必有只要有一对共轭复数特征根的实部为正，那么必有此时系统受扰自由运动的输出量以发散方式变化，系统此时系统受扰自由运动的输出量以发散方式变化，系统运动状态只会离平衡状态愈来愈远运动状态只会离平衡状态愈来愈远不稳定不稳定 线性定常系统稳定的充分必要条件是：线性定常

7、系统稳定的充分必要条件是：所有实数特征根为负、所有共轭复数特征根具有负实部。所有实数特征根为负、所有共轭复数特征根具有负实部。只要有一个为正的实数特征根或实部为正的一对共轭复数特征只要有一个为正的实数特征根或实部为正的一对共轭复数特征不稳定不稳定当除了负实数和实部为负的特征根以外还有等于当除了负实数和实部为负的特征根以外还有等于0的实数特征根的实数特征根或实部为或实部为0的复数特征根时的复数特征根时临界稳定。临界稳定。几何意义几何意义稳定稳定不稳定不稳定临界稳定临界稳定2 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件系统特征方程的各次幂系数具有相同的正负号，且无一系数为系统特征方程的各次幂系数具有相同

8、的正负号，且无一系数为0 3.1.2劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据1 1劳斯表劳斯表假设特征方程假设特征方程 2劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据系统没有右特征根的充分必要条件是：劳斯表的第系统没有右特征根的充分必要条件是：劳斯表的第1列各元素严格同符号。列各元素严格同符号。若第若第1列元素符号出现由正变负或由负变正的情况，则系统必有右特征根，列元素符号出现由正变负或由负变正的情况，则系统必有右特征根，且右特征根的个数恰为第且右特征根的个数恰为第1列元素改变符号的次数。列元素改变符号的次数。有两个特征根位于有两个特征根位于s的右半平面上。系统不稳定的右半平面上。系统不稳定例例+试确定系统稳定的试确定系

9、统稳定的K值范围。值范围。系统的特征方程系统的特征方程 解：解：系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为U(s)Y(s)系统稳定，须使劳斯表的第一列所有元素都为正，即系统稳定，须使劳斯表的第一列所有元素都为正，即K 0 3 3 特殊劳斯表特殊劳斯表（1）某一行第一列元素为）某一行第一列元素为0、其余元素不全为、其余元素不全为0（+）（-）（+）有有2 2个特征根个特征根位于位于 s s 的的右半平面上。右半平面上。系统不稳定系统不稳定例例（2 2）某一行各元素均为）某一行各元素均为0 0例例系统无右特征根系统无右特征根临界稳定临界稳定 辅助方程辅助方程试确定试确定K值范围，使系统的所有特征根都

10、为左根，且最靠近虚轴的值范围，使系统的所有特征根都为左根，且最靠近虚轴的特征根到虚轴的距离不小于特征根到虚轴的距离不小于 参数参数K的取的取值值范范围应围应使系使系统统的所有特征根都在复平面的所有特征根都在复平面S上上这这条直条直线线的左的左边边 进进行行线线性性变换变换 例例K4 0 系统稳定性，系统稳定性，一般指闭环系统的稳定性，一般指闭环系统的稳定性，而不是开环系统的稳定性而不是开环系统的稳定性 u(t)=1(t)3.23.2控制系统的瞬态响应分析控制系统的瞬态响应分析瞬态过程稳态过程在输入量的作用下系统输出量随时间变化的规律称为系统的时间响应在输入量的作用下系统输出量随时间变化的规律称

11、为系统的时间响应系统的零状态响应。系统的零状态响应。瞬态过程又称为动态响应或瞬态响应，是系统伴随着输入外作用的变化瞬态过程又称为动态响应或瞬态响应，是系统伴随着输入外作用的变化从一种稳定工作状态过渡到新的稳定工作状态这一时间历程中的响应。从一种稳定工作状态过渡到新的稳定工作状态这一时间历程中的响应。稳态过程又称为稳态响应，是系统在输入信号作用下当时间稳态过程又称为稳态响应，是系统在输入信号作用下当时间t趋于无穷趋于无穷大时的响应。大时的响应。3.2.1 3.2.1 一阶系统的瞬态响应一阶系统的瞬态响应一个负实数极点一个负实数极点 1 1一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型2一阶系统的单位阶跃响

12、应一阶系统的单位阶跃响应瞬态分量瞬态分量 稳态分量稳态分量（1）T愈小，愈小，1/T愈大，极点至虚轴愈远，愈大，极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢瞬态分量衰减愈慢 2一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应（2）误差函数误差函数 稳态响应稳态响应y(T)=0.632 y()（3）T系统响应从系统响应从0上升到稳态值的上升到稳态值的63.2%所历经的时间。所历经的时间。稳态误差稳态误差1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型时间时间常数常数T、阻尼比、阻尼比，无阻尼自然无阻尼自然频频率率n=3.2.23.2.2二阶系统的瞬态响

13、应二阶系统的瞬态响应（1）无阻尼）无阻尼 =0 2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 无阻尼二阶系统的单位阶跃无阻尼二阶系统的单位阶跃响应以等幅振荡的方式变化，响应以等幅振荡的方式变化，等幅振荡的平均值为等幅振荡的平均值为1，振，振荡频率为荡频率为=0 阻尼振荡频率阻尼振荡频率（阻尼自然频率（阻尼自然频率）（2）欠阻尼）欠阻尼（2）欠阻尼）欠阻尼稳态分量稳态分量（1）瞬态分量瞬态分量 阻尼角阻尼角（2）阻尼振荡频率（阻尼自然频率阻尼振荡频率（阻尼自然频率）（3）（4）稳态响应稳态响应 稳态分量稳态分量（1）瞬态分量瞬态分量 阻尼角阻尼角（2）阻尼振荡频率阻尼振荡频率（阻尼自然频率（

14、阻尼自然频率）（3）（4）稳态响应稳态响应 n 愈大，极点至虚轴愈大，极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢瞬态分量衰减愈慢（5）系统响应在许多时间区间内有超调现象存在，但超调幅度愈来愈小，）系统响应在许多时间区间内有超调现象存在，但超调幅度愈来愈小，最终超调现象伴随瞬态响应的振荡幅值趋于最终超调现象伴随瞬态响应的振荡幅值趋于0而消失。而消失。当当时间时间t 时时,振振荡荡幅幅值趋值趋于于0，瞬，瞬态过态过程程结结束，束，稳态过稳态过程开始，程开始，此后此后输输出信号以出信号以稳态值稳态值复复现输现输入信号，因而入信号，因而稳

15、态误稳态误差差为为0（3）临界阻尼）临界阻尼=1瞬态分量瞬态分量 稳态分量稳态分量（3）临界阻尼）临界阻尼=1（4）过阻尼）过阻尼 1瞬态分量瞬态分量 极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢 1=1U (t)=1u(t)y(t)3.2.3 系统的瞬态响应性能指标系统的瞬态响应性能指标1 上升时间上升时间 定定义义 对对于其于其单单位位阶跃阶跃响响应应具有超具有超调调特性的系特性的系统统，单单位位阶跃阶跃响响应应的瞬的瞬态值态值从从0第一次上升到第一次上升到稳态值稳态值的的100%所所经历经历的的时间时

16、间在在 时时刻刻 取其中最小取其中最小值值 1一定时一定时对于其单位阶跃响应无超调特性的系统，对于其单位阶跃响应无超调特性的系统，单位阶跃响应的瞬态值从单位阶跃响应的瞬态值从稳态值的稳态值的10%上升到稳态上升到稳态值的值的90%所经历的时间所经历的时间u(t)=1(t)0.10.92 峰值时间峰值时间 定义定义 系统的单位阶跃响应的瞬态值从系统的单位阶跃响应的瞬态值从0上升到上升到第一个峰值所经历的时间第一个峰值所经历的时间 u(t)=1(t)y(tu(t)=1(t)在在 时时刻刻 取其中最小取其中最小值值 y(tu(t)=1(t)1一定时一定时y(tu(t)=1(t)3 最大超调量最大超调

17、量 和最大百分比超调量和最大百分比超调量 系统单位阶跃响应的最大值与稳态值两者之差系统单位阶跃响应的最大值与稳态值两者之差 系统单位阶跃响应的最大值与稳态值二者相对差值的百分数系统单位阶跃响应的最大值与稳态值二者相对差值的百分数 y(tu(t)=1(t)y(t=25%1.5%当当=0.40.8时时 当稳态响应等于当稳态响应等于1时时当稳态响应不等于当稳态响应不等于1时时4 调整时间调整时间 系统的单位阶跃瞬态响应从系统的单位阶跃瞬态响应从0过渡到稳态值的允许误差范围边界过渡到稳态值的允许误差范围边界 且自后不再超出该允许误差范围边界这一响应过程所经历的时间且自后不再超出该允许误差范围边界这一响

18、应过程所经历的时间 稳态值允许误差的百分数稳态值允许误差的百分数 y(t)=1(t)yy(t)=1(t)在在 时时刻刻 取其中最大取其中最大值值 y包络线方程包络线方程包络线方程包络线方程反映了过渡过程的振荡程度和瞬态响应的平稳性及相对稳定性反映了过渡过程的振荡程度和瞬态响应的平稳性及相对稳定性反映瞬态响应时间历程的长短和瞬态响应速度的快慢反映瞬态响应时间历程的长短和瞬态响应速度的快慢也能反映瞬态响应时间历程的长短和瞬态响应速度的快慢也能反映瞬态响应时间历程的长短和瞬态响应速度的快慢有利于提高系统的响应速度而不降低系统的稳定性有利于提高系统的响应速度而不降低系统的稳定性 增大增大不能使系统的相

19、对稳定性和响应速度同时得到改善。不能使系统的相对稳定性和响应速度同时得到改善。在在=0.707附近附近 很小。工程上将很小。工程上将=0.707称为最佳阻尼比称为最佳阻尼比 系统设计，为了兼顾系统的相对稳定性和响应速度两方面的特性，系统设计，为了兼顾系统的相对稳定性和响应速度两方面的特性，通常取通常取=0.40.8。此时，。此时，Mp%=25%1.5%也不过大也不过大讨论讨论例例试确定开环增益试确定开环增益K和常数和常数 k h 使最大百分比超调量等于使最大百分比超调量等于0.2，峰值时间等于，峰值时间等于1秒，并计算秒，并计算解：解：=0.456=3.53f(t)=8.9(N)例例解：解：解

20、：解：=0.6解：解：3.2.4 高阶系统单位阶跃响应的一般规律高阶系统单位阶跃响应的一般规律1 三阶系统单位阶跃响应的一般规律三阶系统单位阶跃响应的一般规律瞬态分量瞬态分量对应于极点对应于极点瞬态分量瞬态分量对应于极点对应于极点（1）极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢 靠近虚轴的极点作用大于远离虚轴的极点靠近虚轴的极点作用大于远离虚轴的极点若若（2）瞬态分量的初值与零点有关）瞬态分量的初值与零点有关 一对负实数零点极点位置重合一对负实数零点极点位置重合若若（2）瞬态分量的初值与零点有关）瞬态分量

21、的初值与零点有关 一对共轭复数零点极点位置重合一对共轭复数零点极点位置重合D 0 位置重合的一对零、极点对瞬态响应的作用相互完全抵消，位置重合的一对零、极点对瞬态响应的作用相互完全抵消，因此，由它们构成的传递函数因子称为系统的零、极相消因子因此，由它们构成的传递函数因子称为系统的零、极相消因子 若若一对负实数零点极点位置相邻一对负实数零点极点位置相邻作用很小，可忽略作用很小，可忽略若若一对共轭复数零点极点位置相邻一对共轭复数零点极点位置相邻D 0 作用很小，可忽略作用很小，可忽略位置非常靠近的一对零、极点对瞬态响应的作用位置非常靠近的一对零、极点对瞬态响应的作用近似相互抵消，这样的一对零、极点

22、称为偶极子近似相互抵消，这样的一对零、极点称为偶极子 如果距离虚轴最近的极点（一对共轭复数或一个实数）周围没有零点，如果距离虚轴最近的极点（一对共轭复数或一个实数）周围没有零点，且其它极点到虚轴的距离是该极点到虚轴的距离的且其它极点到虚轴的距离是该极点到虚轴的距离的5倍以上，那么与倍以上，那么与该极点对应的瞬态分量，不仅其初值的绝对值较大而且衰减速度也该极点对应的瞬态分量，不仅其初值的绝对值较大而且衰减速度也最慢，对瞬态响应的影响最大，起着决定性的支配作用。这样的极点最慢，对瞬态响应的影响最大，起着决定性的支配作用。这样的极点称为闭环主导极点称为闭环主导极点 2 系统的闭环主导极点系统的闭环主

23、导极点共轭复数闭环主导极点共轭复数闭环主导极点实数闭环主导极点实数闭环主导极点当高阶系统存在一对共轭复数闭环主导极点时，其动态特性当高阶系统存在一对共轭复数闭环主导极点时，其动态特性就类似于二阶系统的动态特性。就类似于二阶系统的动态特性。2 系统的闭环主导极点系统的闭环主导极点如果高阶系统存在一个负实数闭环主导极点，则其动态特性如果高阶系统存在一个负实数闭环主导极点，则其动态特性就类似于一阶系统的动态特性。就类似于一阶系统的动态特性。控制系统的性能控制系统的性能 动态性能动态性能稳态性能稳态性能 稳态误差稳态误差 3.3 控制系统的误差分析控制系统的误差分析3.3.1 有关稳态误差的基本概念有

24、关稳态误差的基本概念1 偏差偏差e(t)和误差和误差(t)偏差偏差误差误差期望输出量与输入量二者间成线性比例关系期望输出量与输入量二者间成线性比例关系 误差和偏差二者成正比关系误差和偏差二者成正比关系 2 稳态误差稳态误差 输入形式输入形式结构形式结构形式3.3.2 典型控制信号作用下系统的稳态误差典型控制信号作用下系统的稳态误差1系统类型系统类型K 开环增益开环增益 令令为系统开环中含有的积分环节数为系统开环中含有的积分环节数2100型系统型系统型系统III！系统类型系统类型(type)与系统的阶数与系统的阶数(order)的区别的区别2典型控制信号作用下系统的稳态误差和稳态误差系数典型控制

25、信号作用下系统的稳态误差和稳态误差系数（1）稳态位置误差）稳态位置误差 稳态位置误差系数稳态位置误差系数令令2典型控制信号作用下系统的稳态误差和稳态误差系数典型控制信号作用下系统的稳态误差和稳态误差系数（1）稳态位置误差）稳态位置误差 稳态位置误差系数稳态位置误差系数0型系统型系统 型及更高型型及更高型（2）稳态速度误差）稳态速度误差 稳态速度误差系数稳态速度误差系数令令稳态速度误差系数稳态速度误差系数0型系统型系统 型型型及更高型型及更高型稳态加速度误差系数稳态加速度误差系数（3）稳态加速度误差）稳态加速度误差 令令稳态加速度误差系数稳态加速度误差系数0型和型和型型型型 型及更高型型及更高型

26、 须校正，否则不稳定须校正，否则不稳定例例00型含型含0型含型含0 0型型 输入类型开环传递函数积分环节数开环传递函数积分环节数系统的无差度系统的无差度 无差度大于输入最高幂数无差度大于输入最高幂数 无差度等于输入最高幂数无差度等于输入最高幂数 无差度小于输入最高幂数无差度小于输入最高幂数 系统的无差度系统的无差度 积分环节数大于输入信号最高幂数积分环节数大于输入信号最高幂数 积分环节数小于输入信号最高幂数积分环节数小于输入信号最高幂数 积分环节数等于输入信号最高幂数积分环节数等于输入信号最高幂数 积分环节数等于输入信号最高幂数积分环节数等于输入信号最高幂数 3.3.3有扰动外作用时系统的稳态

27、误差有扰动外作用时系统的稳态误差给定稳态误差给定稳态误差3.3.3有扰动外作用时系统的稳态误差有扰动外作用时系统的稳态误差扰动误差传递函数扰动误差传递函数 扰动稳态误差扰动稳态误差 总稳态误差总稳态误差 例例某单位反馈控制系统开环传函为：某单位反馈控制系统开环传函为：，试确，试确定使系统在单位斜坡信号输入时稳态误差小于定使系统在单位斜坡信号输入时稳态误差小于0.10.1的的K K的范围。的范围。关于扰动稳态误差的无差度关于扰动稳态误差的无差度积分环节数大于扰动信号最高幂数积分环节数大于扰动信号最高幂数 积分环节数积分环节数积分环节数等于扰动信号最高幂数积分环节数等于扰动信号最高幂数 积分环节数

28、小于扰动信号最高幂数积分环节数小于扰动信号最高幂数 系统对扰动信号的无差度系统对扰动信号的无差度 增大系增大系统统的无差度？的无差度？无差度高于无差度高于2的系的系统统很很难稳难稳定，故一般系定，故一般系统统的无差度不超的无差度不超过过2。增大开增大开环环增益增益K？讨论讨论积分环节置于开环通路上什么位置更理想？积分环节置于开环通路上什么位置更理想？有利于减小系有利于减小系统统的的稳态误稳态误差差能有效减小能有效减小稳态误稳态误差，差，K值值的增大同的增大同时时会使系会使系统统的相的相对稳对稳定性下降，定性下降，故故K值值的增大也将受到的增大也将受到稳稳定性要求的限制。定性要求的限制。将开环通

29、路上的串联积分环节尽量放在前向通路上扰动信号将开环通路上的串联积分环节尽量放在前向通路上扰动信号作用点之前，对系统给定输入信号无差度无影响，却能增大作用点之前，对系统给定输入信号无差度无影响，却能增大系统对扰动信号的无差度，从而不影响给定稳态误差，却能系统对扰动信号的无差度，从而不影响给定稳态误差，却能减小扰动稳态误差。减小扰动稳态误差。线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件本章重点及要求本章重点及要求 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据3.1 稳定性分析稳定性分析一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼

30、二阶系统的单位阶跃响应在在 时刻时刻 在在 时刻时刻 当稳态响应不等于当稳态响应不等于1时时在在 时刻时刻 系统的闭环主导极点系统的闭环主导极点 系统极点与瞬态响应间的关系及零点对瞬态响应的影响系统极点与瞬态响应间的关系及零点对瞬态响应的影响 瞬态响应指标瞬态响应指标3.23.2控制系统的瞬态响应分析控制系统的瞬态响应分析稳态位置稳态位置，速度和加速度误差的定义及计算方法速度和加速度误差的定义及计算方法 给定信号和扰动信号的无差度及其意义给定信号和扰动信号的无差度及其意义给定稳态误差和扰动稳态误差的概念及计算方法给定稳态误差和扰动稳态误差的概念及计算方法 开环增益开环增益,型别与稳态误差的关系型别与稳态误差的关系 3.3 控制系统的误差分析控制系统的误差分析