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1、 分析控制性能的主要途径第第5章章 控制系统控制系统稳定分析稳定分析 控制系统正常工作的首要条件是系统稳定。一个不稳定的系统是不能正常工作的，当然更谈不上高质量地工作了。研究系统的稳定性是控制理论的首要问题。经典控制理论对于判定系统是否稳定提供了多种方法，本章着重讨论几种线性定常系统的稳定性判据及其使用。第第5章章 控制系统控制系统稳定分析稳定分析5.1 概述5.1.1 控制系统稳定的基本条件 如果系统在受到扰动作用时将偏离稳定平衡状态，当扰动消除后，系统能够以足够的精度逐渐恢复到原来的稳定平衡状态，则称系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。35.1 概述5.1.1 控制系统稳定的基本条件系统的
2、稳定性还可以分为大范围稳定和小范围稳定两种情况。如图5-2所示，在图(a)中小球偏离稳定点，如果不论偏离多大的范围，小球最终都能回到A 点，即为大范围稳定。定义定义若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移偏差逐渐衰减并趋近于零，具有恢复原平衡状态着时间的推移偏差逐渐衰减并趋近于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定的。的性能，则称该系统是稳定的。4 系统的稳定性是指自动控制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后，经过调节能重新达到平衡状态的性能。即 系统是稳定的 系统是不稳定的。5.1 5.1 概述概述5.1.
3、1 5.1.1 控制系统稳定的基本条件控制系统稳定的基本条件5描述线性系统动态特性的微分方程为 系统稳定性的数学含义是指系统去掉扰动扰动时的动态过程，即当方程右边 为零时（即齐次方程），是否收敛。当时间t时，存在，系统稳定。5.1.2 5.1.2 控制系统稳定的充要条件控制系统稳定的充要条件65.1.2 5.1.2 控制系统稳定的充要条件控制系统稳定的充要条件 线性闭环系统是否稳定，是系统本身的一种特性，与系统输入量无关。因此，假设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲 ，这时系统的输出增量为脉冲响应c(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离平衡状态。若 时，脉冲响应 。对应
4、上式的拉氏变换 特征方程。7因式分解得有n个根，k个实数根，2r个复数根。上式的反拉氏变换，有5.1.2 5.1.2 控制系统稳定的充要条件控制系统稳定的充要条件只有当实数根i，复数根的实部 i 为负值时，有 ，系统稳定。否则系统是不稳定的。8 线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于s平面的左半部。下图给出了s平面上闭环极点（特征根）的位置与稳定性的关系。5.1.2 5.1.2 控制系统稳定的充要条件控制系统稳定的充要条件6个根均在虚轴的左侧，所以该系统是稳定的。系统稳定性的判定方法可总结如下1.1.劳斯劳斯-赫尔维茨（赫尔维茨（Rou
5、th-hurwitzRouth-hurwitz）判据）判据 代数判据方法。根据系统特征方程式判断特征根在s平面的位置。2.2.根轨迹法根轨迹法 图解求特征根的方法。根据系统开环传递函数，以某一参数做出闭环系统的特征根在s平面的轨迹。3.3.奈奎斯特（奈奎斯特（NyquistNyquist）判断）判断 复变函数的方法。根据系统开环的频率特性确定闭环系统的稳定性。4.4.李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法 根据李雅普诺夫函数的特征确定稳定性，适用于线性和非线性系统。11 系统稳定性的判定方法可总结如下直接方法直接方法 求解特征方程式的根。由上述系统稳定性充要条件来判定系统的。求解特征方程式的根。由上述系
6、统稳定性充要条件来判定系统的。当阶次高于4，根的求解就很困难。间接方法间接方法 间接分析方法通常有代数稳定判据法、频域稳定判据法等。间接分析方法通常有代数稳定判据法、频域稳定判据法等。（1）代数稳定性判据，也称劳斯-霍尔维茨稳定性判据；（2）频率稳定性判据，也称奈奎斯特稳定性判据。(3)(3)根轨迹法，特征方程根在s平面的变化轨迹，图解法分析稳定性。频域法分析系统稳定性不仅能分析系统的稳定性，也能方便地分析系统频域法分析系统稳定性不仅能分析系统的稳定性，也能方便地分析系统的相对稳定性。的相对稳定性。12 特征方程的根与方程式的系数有关，所以使系统特征方程具有负实根或负实部的复数根的必要条件是特
7、征方程的各项系数均存在，且都大于零。必要条件1.1.0 系数大于零。系数大于零。2.2.正负号相同。正负号相同。劳斯稳定判据劳斯稳定判据(Routh Criterion)(Routh Criterion)赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据(Hurwitz Criterion)(Hurwitz Criterion)不求特征方程的根，不求特征方程的根，由特征方程式中已知的系数，间接判别出方程的由特征方程式中已知的系数，间接判别出方程的根是否均为具有负实部的复数根或负实根，从而判定系统是否稳定根是否均为具有负实部的复数根或负实根，从而判定系统是否稳定。5.2 代数稳定性判据（代数稳定性判据（Routh
8、劳斯准则）劳斯准则）特征方程将其系数排列成劳斯表将其系数排列成劳斯表5.2 代数稳定性判据代数稳定性判据 5.2.1 劳斯劳斯(Routh)稳定性判据稳定性判据劳斯稳定性判据：劳斯稳定性判据：（1）系统稳定必要条件为系统特征方程式的全部系数大于零，且不缺项；）系统稳定必要条件为系统特征方程式的全部系数大于零，且不缺项；（2）系统稳定充分条件为由系统特征方程式系数组成的劳斯表第一列全部）系统稳定充分条件为由系统特征方程式系数组成的劳斯表第一列全部大于零。大于零。例1 系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解 从系统特征方程看出，它的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。列写劳斯阵列表
9、如下 1 12 6 6 11 0 61/6 6 455/61 0 6 第一列系数均为正实数，故系统稳定。事实上，从因式分解可将特征方程写为其根为-2，-3，均具有负实部，所以系统稳定。(s+2)(s+3)(s2+s+1)=0 例例2 2 已知系统特征方程式为解 列劳斯阵列表 1 2 5 3 1 6 5 9 （各系数均已乘3）-11 15 （各系数均已乘5/2）174 （各系数均已乘11）15 劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第一列系数的符号改变劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第一列系数的符号改变了两次了两次(5(511174)11174)，所以，系统特征方程有两
10、个根的实部为正。，所以，系统特征方程有两个根的实部为正。5.2 代数稳定性判据代数稳定性判据 5.2.1 劳斯劳斯(Routh)稳定性判据稳定性判据（1）劳斯阵列表中某一行元素为零，但该行其余元素不全为零，则在计算下一行元素时，该元素必将趋于无穷，劳斯阵列表的计算将无法进行。这时可用一个很小的正数来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳斯阵列表的其他元素。（2）劳斯阵列表中某一行的元素全部为零，这时可利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯阵列表的下一行，然后继续进行计算。劳斯劳斯(Routh)稳定性判据稳定性判据的两个特殊情况的两个特殊情况例3 设系
11、统特征方程为解解 劳斯阵列表为 由于e 的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚根存在。上述特征方程可因式分解为 有负实根，系统稳定。1 1 2 2 e 2s3+2s2+s+2=0 例4 系统特征方程为 解 劳斯阵列表为 1 16 10 160 辅助多项式 10 +160 0 0 求导数 20 0 构成新行 20s+0 160从上表第一列可以看出，各系数均未变号，所以没有特征从上表第一列可以看出，各系数均未变号，所以没有特征根位于右半平面。由辅助多项式知道根位于右半平面。由辅助多项式知道1010s s 2 2+160160 =0 0有一有一对共轭虚根为对共轭虚根为j j4 4。例5 特
12、征方程式为 解 劳斯阵列表如下：1 3 -4 2 6 -8 辅助多项式 2s4+6s2-8 0 0 0 求导数 8 12 0 构成新行 8s3+12s 3 -8 100/3 -8 劳斯阵列表第一列变号一次，故有一个根在右半平面。由辅助多项式：劳斯阵列表第一列变号一次，故有一个根在右半平面。由辅助多项式：可得可得s1,2=，s3,4=j2，它们均关于原点对称，其中一个根在，它们均关于原点对称，其中一个根在S平平面的右半平面。面的右半平面。2s4+6s2-8=05.2.3 劳斯判据的应用 应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性
13、。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。1.稳定裕量的检验 如图所示，令 即把虚轴左移s1。将上式代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴(垂直线s=-s1 )的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量 s 1。s=z-s1 稳定裕量稳定裕量s1 例例6 6 检验特征方程式是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s=-的右边。解 劳斯阵列表为 2 13 10 4 12.2 4 第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。再令s=z-1，代入特征方程式，得即 则新的劳斯阵
14、列表 从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在 直线s=-1（即新座标虚轴）的右边，因此稳定裕量不到1。2.分析系统参数对稳定性的影响 设一单位反馈控制系统如图3-34所示，其闭环传递函数为 系统的特征方程式为 z3 2 -1z2 4 -1z1-1/2z0-1求K的范围，使系统稳定 列写劳斯阵列表：s31 5s2 6 Ks1s0K 若要使系统稳定，其充要条件是劳斯阵列表的第一列均为正数，若要使系统稳定，其充要条件是劳斯阵列表的第一列均为正数，即即 K 0，30-K 0 所以所以0 K 0，即必须T 25系统才能稳定。5.3 5.3 频域频域稳定判据稳定判据 奈奎斯特（Nyquist）稳定
15、判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。281928年,提出著名的奈奎斯特采样定理；1932年,提出著名的奈奎斯特稳定判据；美国有138项专利，涉及电话、电报、图像传输系统等。乃奎斯特（H.Nyquist)美国Bell实验室著名科学家1889197629伯德（H.W.Bode)，19051
16、982，美国Bell实验室著名科学家30 5.3 5.3 频率稳定性判据频率稳定性判据利用开环频率特性曲线来判断闭环系统的稳定性，不仅避免了求取闭环特征根的繁琐，还有利于研究系统的结构和参数的改变对稳定性的影响，同时还能够对带有延迟环节的系统的稳定性作出判别，并且稍加推广可用来研究非线性系统的稳定性。奈奎斯特稳定性判据既可以利用系统开环幅相特性曲线(奈奎斯特曲线，或称称极坐标图)，也可以利用系统开环对数频率特性曲线(伯德图)来判断闭环系统的稳定性。311实根 一阶方程 当变化时，D1(j)端点沿虚轴滑动，其相角相应发生变化。5.3.1 米哈伊洛夫定理米哈伊洛夫定理 5.3 5.3 频率稳定性判
17、据频率稳定性判据D(s)特征方程根只存在三种情况：零根、实根和共扼复根325.3.1 米哈伊洛夫定理米哈伊洛夫定理 5.3 5.3 频率稳定性判据频率稳定性判据特征根为负实根由0时，D1(j)的模增大，转角是逆时针转90正实根时，转角是33共轭复根 二阶方程 当变化时，D2(j)端点沿虚轴滑动，其相角相应发生的变化。5.3.1 米哈伊洛夫定理米哈伊洛夫定理 5.3 5.3 频率稳定性判据频率稳定性判据D(s)特征方程根只存在三种情况：零根、实根和共扼复根345.3.1 米哈伊洛夫定理米哈伊洛夫定理 5.3 5.3 频率稳定性判据频率稳定性判据共轭复根在左平面由0时，D2(j)的模增大，角增量是
18、逆时针转同理 共轭复根在右平面左右共轭复根的增量355.3.1米哈伊洛夫定理米哈伊洛夫定理 5.3 5.3 频率稳定性判据频率稳定性判据D(s)特征方程n 一共有n个根p 个根在右平面q 个在原点（零根）左平面上的根是 n-p-q当由0时，Dn(j)的模增大，角增量若所有的根在左平面若所有的根在左平面，p=0，q=0。当由0时，Dn(j)的角增量稳定注意2p365.3.1米哈伊洛夫定理米哈伊洛夫定理 5.3 5.3 频率稳定性判据频率稳定性判据一共有n=1个根p=0个根在右平面q=0个在原点（零根）左平面上的根是 n-p-q=1稳定一共有n=4个根p=2个根在右平面q=0个在原点（零根）左平面
19、上的根是 n-p-q=237闭环控制系统开环传递函数为闭环传递函数为1.分析控制系统的稳定性时，可令传递函数的分母等于零求得的特征方程的根来确定系统是否稳定。2.将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。5.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据 5.3 5.3 频率稳定性判据频率稳定性判据38复变函数复变函数 称之为辅助函数称之为辅助函数 其中其中 是系统的开环传递函数。是系统的开环传递函数。通常可写成如下形式通常可写成如下形式 式中式中 pipi是系统的开环极点，代入辅助函数式得是系统的开环极点，代入辅助函数式得 辅助函数辅助函数 的零点的零点
20、 等于系统闭环传递函数的极点，即系统特征等于系统闭环传递函数的极点，即系统特征方程方程 的根。因此，如果辅助函数的根。因此，如果辅助函数 的零点都具有负的实部，即都位的零点都具有负的实部，即都位于于S S平面的左半部，系统就是稳定的，否则系统不稳定。平面的左半部，系统就是稳定的，否则系统不稳定。5.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据395.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据当由0时，F(j)的相角变化为40 根据相角的变化，判断系统的稳定性（根在根据相角的变化，判断系统的稳定性（根在s s平面的左平面的左侧或右侧）。与开环有关：侧或右侧）。与开环有关：1.1.开环稳定开环稳定2
21、.2.开环不稳定开环不稳定3.3.开环含有零极点开环含有零极点5.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据当由0时，F(j)的相角变化为41如果开环系统稳定，即开环系统的特征根均在如果开环系统稳定，即开环系统的特征根均在s平面的左半平面的左半平面，根据米哈伊洛夫定理得平面，根据米哈伊洛夫定理得5.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据1.1.开环稳定开环稳定这时如果闭环系统稳定（特征根均在特征根均在s平面的左半平面平面的左半平面），则有42几何意义几何意义5.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据当由0时，F(j)的相角变化为0。F(j)奈奎斯特图不包围原点(不绕原点)，则闭环系统稳
22、定。1.1.开环稳定开环稳定因为 F(s)=1+Gk(s)，所以开环系统Gk(s)的奈奎斯特图不包围 点(-1,j0)，闭环系统稳定。43Dk(s)在s平面的右侧有p个极点，n-p个在左侧。5.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据相角变化量为2.2.开环不稳定开环不稳定闭环系统是稳定的则有44几何意义几何意义5.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据Dk(s)在s平面的右半平面有p个极点。当由0时，F(s)=1+Gk(s)的奈奎斯特曲线绕点（-1，j0）的角度变化为p。系统的闭环稳定。2.2.开环不稳定开环不稳定45 Dk(s)在s平面的原点处，奈奎斯特线起点不在轴上。加辅助线，进行
23、判断。5.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据3.3.开环含有零极点开环含有零极点 辅助线的添加方法是，从奈奎斯特曲线起点（=0）开始，补画一半径为无穷大，逆时针方向旋转的大圆弧作为辅助线，与正实轴相交，并视该辅助线为开环奈奎斯特曲线的组成的部分，即正实轴的交点为开环奈奎斯特曲线的起点。对添加辅助线后的奈奎斯特曲线应用奈奎斯特判据，可判别闭环系统的稳定性。46奈奎斯特轨迹在奈奎斯特轨迹在G(j)H(j)G(j)H(j)平面上的映射关系：平面上的映射关系：当奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的z个零点和p个极点时，在G(j)H(j)平面内的映射围线 G(j)H(j)(开环频率特性)，必定顺时针
24、包围(-1，j0)点N次，且 Nz-p。475.5.4 4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据利用开环频率特性G(j)H(j)判别系统闭环稳定性。（1）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性G(j)H(j)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定的。（2）当开环系统不稳定时，若有P个开环极点在s右半平面时，只有当G(j)H(j)逆时针包围（-1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。48解释：解释：(1)开环稳定情况：G(j)H(j)不包围（-1，j0）点=奈氏轨迹不包围F(s)的零点=没有闭环极点在s右半平面=闭环稳定(2)开环不稳定情况：G(j)H(j)逆时针包围（-1，j0）点p 次=奈氏轨迹
25、顺时针包围F(s)的p个极点=奈氏轨迹不包围F(s)的任何零点=没有闭环极点在s右半平面=闭环稳定s右半平面没有F(s)的极点 s右半平面有右半平面有p个个F(s)的极点的极点 p个开环极点49逆包围一次逆包围2次不包围不包围 稳定性分析示意图 50例例 开环为一阶系统，利用奈奎斯特稳定判据判别系统的闭环开环为一阶系统，利用奈奎斯特稳定判据判别系统的闭环稳定性。稳定性。(1),开环稳定，p=0；1K(2)画开环系统的极坐标图无论K取何值，均不包围-1，j0点，闭环系统稳定。只要K1，逆时针包围-1，j0点一次，闭环系统稳定。K1，逆时针包围(-1，j0)一次，闭环稳定。K0时，试确定闭环系统稳
26、定时时，试确定闭环系统稳定时K的取值范围？的取值范围？（相位交界频率）（相位交界频率）方法一：方法一：即，当即，当K0时，试确定闭环系统稳定时时，试确定闭环系统稳定时K的取值范围？的取值范围？方法二：劳斯判据方法二：劳斯判据785.4 系统的相对系统的相对稳定稳定性性系统稳定的程度。稳定性进行定量分析。在设计控制系统时，为了使系统能够可靠地工作，不仅要求系统稳定，而且还希望系统有足够的稳定裕度。开环奈奎斯特曲线离点（-1，j0)越远，则其闭环系统的稳定性越高；反之，其闭环系统的稳定性越低。这就是所谓的系统的相对稳定性，79 一、相对稳定性 在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的
27、更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。例如，图 5-14（a）和（b）所示的两个最小相位系统的开环频率特性曲线（实线）没有包围 点，由奈氏判据知它们都是稳定的系统，但图 5-14（a）所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 A 距离 点较远，图 5-14（b）所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 B 距离 点较近。假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来增加了百分之五十，则图5-14（a）中的A点移动到A 点，仍在 点右侧，系统还是稳定的；而图5-
28、14(b)中的B点则移到 点的左侧（B点），系统便不稳定了。可见，前者较能适应系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。5.4 系统的相对系统的相对稳定稳定性性80图5-14 系统的相对稳定性81 通通常常用用稳稳定定裕裕度度来来衡衡量量系系统统的的相相对对稳稳定定性性或或系系统统的的稳稳定定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。图5-14 最小相位系统的稳定裕度82所谓相角裕度是指幅值穿越频率所对应的相移 与1800角的差值，即 对于最小相位系统，如果相角裕度 ，系统是稳定的（图5-14a），且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度 ，系统则不
29、稳定（图 5-53（b）。当 时，系统的开环频率特性曲线穿过 点，系统处于临界稳定状态。相角裕度的含义 使系统达到稳定的临界状态时的开环频率特性的相角 减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。1.相角裕度 如图514所示，我们把GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率 称为幅值穿越频率或剪切频率，它满足832.幅值裕度 如图5-14所示，我们把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交点频率称为相位穿越频率 ，显然它应满足 所谓幅值裕度Kg是指相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，即 对于最小相位系统，当幅值裕度Kg1(），系统是稳定的(图5-15(a)，且Kg值愈大
30、,系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度 ，(),系统则不稳定(图5-15(b)。当Kg=1时，系统的开环频率特性曲线穿过 点。是临界稳定状态。可见，求出系统的幅值裕度 Kg 后，便可根据 Kg值的大小来分析最小相位系统的稳定性和稳定程度。84幅值裕度的含义幅值裕度的含义 使系统到达稳定的临界状态时的开环频率特性的幅值使系统到达稳定的临界状态时的开环频率特性的幅值 增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍数。倍数。幅值裕度也可以用分贝数来表示，分贝因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不稳定。这里要
31、指出的是，系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅角裕度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅角裕度。这从图5-15（a）和（b）所示的两个系统可以得到直观的说明，图5-15（a）所示系统的幅值裕度大，但相角裕度小；相反，图5-15（b）所示系统的相角裕度大，但幅值裕度小，这两个系统的相对稳定性都不好。对于一般系统，通常要求相角裕度 =300600，幅值裕度 （6分贝）。85较小较大、gKga)(图5-15 稳定裕度的比较较小较大、Kgbg)(86 通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标图法和伯德图法。下面通过实例进行说明。（一）解析法 根据系统的开环频率的开环频率特性，
32、由式（5-124）和式（5-125）求出 相角裕度；由式（5-126）和式（5-127）求出幅值裕度，如果幅值裕度用分贝数表示，则由式（5-128）求出。例 5-9 已知最小相位系统的开环传递函数为 试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。解 系统的开环频率特性为其幅频特性和相频特性分别是87由式（5-124）令 ，得由式（5-125）得由式（5126），令 得由式（5127）得88（二）极坐标图法 在GH平面上作出系统的开环频率特性的极坐标图，并作一单位圆，由单位圆与开环频率特性的交点与坐标原点的连线与负实轴的夹角求出相角裕度 ；由开环频率特性与负轴交点处的幅值 的倒数得到幅值裕度Kg。极坐标图
33、在上例中，先作出系统的开环频率特性曲线如图 5-55所示，作单位圆交开环频率特性曲线于A点，连接 OA，射线OA与负实轴的夹 角即为系统的相角裕度 。开环频率特性曲线与负实轴的交点坐标为 由此得到系统的幅值裕度 89（三）伯德图法 画出系统的伯德图，由开环对数幅频特性与零分贝线（即 轴）的交点频率 ，求出对应的相频特性与1800线的相移量，即为相角裕度 。当 对应的相频特性位于 1800 线上方时，；反之，当 对应的相频特性位于1800 线下方时，。然后，由相频率特性与-1800线的交点频率 ,求出对应幅频特性与零分 贝线的差值，即为幅值裕度Kg的 分贝数。当 对应的幅频特性 位于零分贝线下方
34、时，反之，当 对应的幅频特性位 于零分贝线上方时，。例59的伯德图如图5-56所示。从图中，可直接得到幅值穿越频率 ,相角穿越频率 ，相角裕度 ，幅值裕度 。例题Bode图90 比较上述三种解法不难发现：解析法解析法 比较精确，但计算步骤复杂，而且对于三阶以上的高阶系统，用解析法是很困难的。图解法图解法 以极坐标图和伯德图为基础的图解法，避免了繁锁的计算，具有简便、直观的优点，对于高阶系统尤为方便。不过图解法是一种近似方法，所得结果有一定误差，误差的大小视作图的准确性而定。伯德图法和极坐标法虽然都是图解法，但前者不仅可直接从伯德图上获得相角裕度 和幅值裕度 ，而且还可直接得到相应的幅值穿越频率
35、 和相位穿频率 。同时伯德图较极坐标图方便，因此在工程实践中得到更为广泛的应用。91 四、稳定裕度与系统的稳定性 前面我们已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。下面我们通过两个示例进一步说明。例5-10 已知最小相位系统的开环传递函数为试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。解 该系统的开环频率特性的极坐标图分别如图5-57（a）（当 时）和 图5-57（b）（当 时）所示。由 图5-57（a）可知，当 时，系统的相角裕度 ，由图5-57（b）可知，当 时，系统的相角裕度 。系统的幅值裕度用解析法求解如下：系统的幅频特性和相频特性分别为92图5-57 例5-10极坐标图令 ,则
36、有 ，故 或 对应S平面的坐标原点，舍去。，由此求出系统的幅值裕度为 可见，当 ，则 时，该系统不稳定；时，该系统是稳定的，结论与例5-8应用奈氏判据的结果一致。93例例5-115-11 已知非最小相位系统的开环传递函数为试分析该系统的稳定性及其与系统稳定裕度之间的关系。解 在一定的K值条件下，系统的开环频率特性如图5-58所示。由于该系统有一个为于右半部S平面的开环极点 ，奈氏曲线逆时针包围 点一周（N=1），根据奈氏判据，该系统为稳定系统。图5-58 例5-11极坐标图但由图解法求出该系统的相角裕度 ，幅值裕度Kg1作为判别非最小相位系统稳定性的依据是不可靠的。从上面示例可以看出，对于非最小相位系统，不能简单地用系统的相角裕度和幅值裕度的大小来判断系统的稳定性。但对于最小相位系统以相角裕度和幅值裕度Kg1（或 K(dB)0）作为系统稳定的充要条件是可靠的。End94作业：作业：95