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1、第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的性质定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形面积梯形面积解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面
2、积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)近似和近似和.4)取极限取极限.令则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变常代变.得已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为3)近似和近似和.4)取极限取极限.上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积
3、分定义二、定积分定义(P225)任一种分法任取总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:(证明略)例例1.利用定义计算定积分解解:将 0,1 n 等
4、分,分点为取机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注注 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.用定积分表示下列极限:解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据定积分定义可得如下近似计算方法:将 a,b 分成 n 等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k 为常数)证证:=右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,
5、可以永远取 c 为分点,于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 a,b,c 的相对位置任意时,例如则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.若在 a,b 上则证证:推论推论1.若在 a,b 上则机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2.证证:即7.设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.试证:证证:设则在上,有即故即机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使证证:则由性质性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.机动 目录 上页 下页
6、返回 结束 积分中值定理对因例例4.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解解:已知自由落体速度为故所求平均速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:解解:或机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:如何用定积分表示下述极限 提示提示:极限为 0!机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.P233 题33.P233 题8(2),(4)题8(4)解解:设则即机动 目录
7、 上页 下页 返回 结束 作业作业 P233 2(2),4 6(3),(4);7(3);8(1),(5)第二节 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式 第五五章 一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证证:则有机动 目录 上页
8、下页 返回 结束 定理定理1.若说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解解:原式说明 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.确定常数 a,b,c 的值,使解解:原式=c 0,故又由,得例例3.证明在内为单调递增函数.证证:只要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:根据定理 1,故因此得记作定理定理2.函数,则例例4.计算解解:例例5.计算正弦曲线的面积.解解:机动 目录
9、上页 下页 返回 结束 例例6.汽车以每小时 36 km 的速度行驶,速停车,解解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离?内容小结内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼兹公式2.变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业第三节 目录 上页 下页 返回 结束 P240 3;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);12备用题备用题解解:1.设求定积分为常数,设,则故应
10、用积分法定此常数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求解解:的递推公式(n为正整数).由于因此所以其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1.设函数单值函数满足:1)2)在上证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则说明说明:1)当 1 时
11、收敛;p1 时发散.因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为当 p1 时,反常积分发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算反常积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.设而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函
12、 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义注意注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则则可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 下述解法是否正确:,积分收敛例例4.计算反常积分解解:显然瑕点为 a,所以原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.讨论反常积分的收敛性.解解:所以反常积分发散.例例6.
13、证明反常积分证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.当 q1 时所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为当 q 1 时,该广义积分发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.解解:求的无穷间断点,故 I 为反常积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为P256 题 1(1),(2),(7),(8)机动 目录 上页 下页 返回 结束 常积分收敛.注意注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习思考与练习P256 1(4),(5),(6),(9),(10);2;3第五节 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:P256 题2求其最大值.作业作业备用题备用题 试证,并求其值.解解:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束