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1、第二节定积分的几何应用 三、空间立体的体积三、空间立体的体积 1. 已知平行截面面积的已知平行截面面积的 空间立体体积空间立体体积 2. 旋转体的体积旋转体的体积第七章第七章 1. 已知平行截面面积的空间立体体积已知平行截面面积的空间立体体积 设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在在则对应于小区间则对应于小区间xxAVd)(d 因此所求立体体积为因此所求立体体积为( )dbaVA xx 上连续上连续,abd,xxx 的体积元素为的体积元素为()ab xxd)(xAxOab( )A xdV( )A x x例例1解解取坐标系如图取坐标系如图 底
2、圆方程为底圆方程为,222Ryx ,RRx yxo222Ryx xA(x)h三角形边长三角形边长222xRl 高为：高为：223xRh )(321)(22xRhlxA xxAVRRd)( xxRRd)(32022 3334R 2. 旋转体的体积旋转体的体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线称为一条直线旋转一周而成的立体这直线称为旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台情形情形1)(xfy abG1xyoabG1ab)(xfy abG1xyox xdxx xyodxx x( )f xxyoabx x xdxx ( )f xxxyoa
3、bxxd dxxyoab G1 绕绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积取取积积分分变变量量为为x， ,bax 则以则以 f (x) 为高，为高，以以dx 为底的窄边矩形为底的窄边矩形在在,ba上上任任取取小小区区间间d,xxx ， 平面图形平面图形G1 ：由连续曲线：由连续曲线 y = f (x)，直线直线 x = a, x = b 及及 x 轴轴 所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形.绕绕 x 轴旋转而成的圆柱体轴旋转而成的圆柱体的体积便是的体积便是体积元素：体积元素：xxfVxd)(d2 )()(2xfxA 截截面面积积)1 . 2(d)(2xxfVbax )(xfy
4、abG1xyox xdxx xyodxx x( )f xxyoabx x xdxx ( )f xxxyoabxxd dxxyoabG1 绕绕 x 轴轴旋转的旋转体的体积：旋转的旋转体的体积：例例2解解xhRy 直线直线 方程为方程为OP建立坐标系，如图建立坐标系，如图.连接坐标原点连接坐标原点O及点及点P(h, R)的直线，直线的直线，直线x=h 及及 x 轴围成一个直角三角形轴围成一个直角三角形. 将它绕将它绕x 轴旋转一周构成一个底半径为轴旋转一周构成一个底半径为R，高为，高为h的圆锥体，计算该圆锥体的体积的圆锥体，计算该圆锥体的体积.取积分变量为取积分变量为 x， , 0hx xxhRV
5、dd2 圆圆锥锥体体的的体体积积 xxhRVhd)(20 hxhR03223 .32hR 在在, 0h上上任任取取小小区区间间d,xxx ， 以以 dx 为底的窄边矩形绕为底的窄边矩形绕 x 轴旋转而成的圆柱轴旋转而成的圆柱体的体积为体的体积为用用“柱壳法柱壳法”：将旋转体分割成一系将旋转体分割成一系列以列以y轴轴为中心轴的为中心轴的曲顶环柱体曲顶环柱体.,d,baxxx d,xxx 设设相相应应于于的的曲曲顶顶环环柱柱体体很很小小时时，则则当当xdxOy)( xfy abG1圆圆环环柱柱体体VVy ,yV 的的体体积积为为G1 绕绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积x
6、xd x圆圆环环柱柱体体VVy )()d(22xfxxx )()(dd)(22xfxxxfx o(dx).d)(2xxfx 可以证明：可以证明：体积元素体积元素xxfxVyd)(2d G1 绕绕 y 轴旋转的旋转体的体积：轴旋转的旋转体的体积：)2 . 2(d)(2xxfxVbay x)( xfy abG1dxx xoy yx 平平面面图图形形 2G: 由由连连续续曲曲线线)( yx 、 直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边 梯梯形形. yyVdcyd)(2 yyyVdcxd)(2 情形情形2 G2 绕绕 y 轴旋转轴旋转G2 绕绕 x 轴旋转轴旋转)(yx cdyxoy
7、求求摆摆线线)sin(ttax ，)cos1(tay 的的 一一拱拱与与0 y所所围围成成的的图图形形分分别别绕绕x轴轴、y 轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积. 解解(1) 绕绕x轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 xxyVaxd)(220 2022d)cos1()cos1(ttata 20323d)coscos3cos31(tttta.532a 例例3(2) 绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积 yyxVayd)(2202 yyxad)(2201 222dsin)sin(ttatta 022dsin)sin(ttatta 2023dsin)sin(tttta.633a （
8、方法（方法1）xxfxVayd| )(|220 20)sin(d)cos1()sin(2ttatatta 2023d)cos1)(sin(2tttta.633a tu )d()cos1)(sin(223uuuua uuuuad)cos1)(sin(223 023d)cos1(22uua(方法方法2 ) 柱壳法柱壳法xyxad|220 例例4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形 绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积. . 解解取取积积分分变变量量为为y, , 4 , 0 y体积元素为体积元素为: :yQMPMVdd22 yyyd)43()43(22
9、 ,d412yy yyVd41240 .64 (方法方法1)24xy 422xyo3 x Myyyd P Q(方法方法2)取积分变量为取积分变量为 x, .2 , 2 xxxfxVxd)(32223 xxxd)4()3(2222 xxd)4(32222 xxd)4(12220 .64 24xy 42 2xyo3 xxx d x例例5(综合题综合题)所所围围成成，求求及及直直线线线线已已知知曲曲边边三三角角形形由由抛抛物物1, 022 yxxy曲曲边边三三角角形形的的面面积积；)1(；旋旋转转所所成成旋旋转转体体的的体体积积曲曲边边三三角角形形绕绕1)2( y.)3(曲曲边边三三角角形形的的周周
10、长长解解 (1)yyAd2102 .6161103 yxyoxy22 1(2)xxVd)21(2210 xxxd)2221(210 .12 (3),ddyyxx yxsd1d21 yy d12 yysd11021 tytan tttdsecsec2402 21xyoxy22 1xx21 )d(tansec40tt tttttdtansectansec24040 ttdsec403 tttd)1(secsec2240 40403dsecdsec2 tttt40403)tanln(secdsec2 tttt 2111 ss从而周长：从而周长：.2)12ln(22dsec403 tt .2)12ln
11、(223 例例6 (综合题综合题)时，时，过原点，当过原点，当抛物线抛物线设设102 xcbxaxy轴轴所所围围及及线线，又又已已知知该该抛抛物物线线与与直直xxy10 .,31最最小小积积一一周周而而成成的的旋旋转转体体的的体体轴轴旋旋转转使使此此图图形形绕绕，求求图图形形的的面面积积为为Vxcba解解过原点，过原点，由于曲线由于曲线cbxaxy 2所以所以 c = 0,又由题设，知又由题设，知31d)(210 xbxaxS知识点：知识点： 平面图形的面积平面图形的面积 旋转体的体积旋转体的体积 函数的极值、最值函数的极值、最值31d)(210 xbxaxS，即即3123 ba，从而从而)1
12、(32ab xbxaxVd)(1022 于是于是)3215(22baba )1(9431)1(31522aaaa )1(9431)1(315)(22aaaaaV , 0)1(278323152)( aaaaV 由由,45 a得得唯唯一一驻驻点点：01354)( aV又又，23 b.0,23,45时，旋转体的体积最小时，旋转体的体积最小故当故当 cba内容小结内容小结二、旋转体的体积二、旋转体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非坐标轴直线旋转一周绕非坐标轴直线旋转一周备用题备用题例例1-1 一平面
13、经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 , 并与并与底面交成底面交成 角角,222Ryx 解解 如图所示取坐标系如图所示取坐标系, 则圆的方程为则圆的方程为垂直于垂直于x 轴轴 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面积为其面积为 tan)(21)(22xRxA )(RxR 计算该平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .xoRxy RxxRV022dtan)(212 利用对称性利用对称性 3231tan2xxR 0R tan323R xoRxy思考思考 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么
14、 ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积 ? )(yA提示提示: tan2yx 22tan2yRy V R0tan2 yyRyd22 RyR022)(32tan23 tan323R oRxy),(yx计算由椭圆计算由椭圆12222 byax所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转轴旋转而成的椭球体的体积而成的椭球体的体积. 解解 (方法方法1) 利用直角坐标方程利用直角坐标方程)(22axaxaaby 则则xxaabad)(220222 (利用对称性利用对称性) 3222312xxaab 0a234ab aV02xy d2 例例2-1bayxooxybayxoox(方法方法2) 利用椭圆参数方程利
15、用椭圆参数方程 tbytaxsincos则则xyVad202 2032dsin2 tab22 ab 32 234ab 1 特别当特别当b = a 时时, 就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积.343a )dsin()sin(2022 ttatby例例 3-1 解解体积体积旋转一周所成旋转体的旋转一周所成旋转体的轴轴轴，轴，轴围成的图形分别绕轴围成的图形分别绕与与计算由正旋曲线弧计算由正旋曲线弧yxxxxy, 0,sin (1) 绕绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为轴旋转一周所成旋转体的体积为xxVxdsin02 xxd)2cos1(20 02sin212xx 22 xysin x
16、Oy分别绕分别绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积轴旋转一周所得的旋转体的体积之差之差.这个图形绕这个图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的轴旋转一周所得旋转体的体积可以看成平面图形体积可以看成平面图形 OABC 与与 OBC1CBA(2) 绕绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积轴旋转一周所成旋转体的体积分析分析xysin xOy(方法方法1)10(arcsin yyx)10(arcsin yyxOB 的方程为的方程为) AB 的方程为的方程为)1CBAxysin xOy从而所求的体积为从而所求的体积为yyVxd)arcsin(102 yyd)(arcsin102 yyd)arcsin2(102 y
17、ydarcsin21023 1021023d1|arcsin2yyyyy 1022d12yyy102212y 22 yydarcsin21023 (方法方法2)xysin xOyxxfxVbayd)(2 由公式由公式得得xxxVydsin20 xx cosd20 )dcoscos(200 xxxx)sin(20 x 22 试用定积分求圆试用定积分求圆)()(222bRRbyx 绕绕 x 轴轴oxyRbR上上 半圆为：半圆为：22xRby下下222)(xRb 222)(xRb RV02 xdbR222 解解(方法方法1 ) 利用对称性利用对称性旋转而成的环体体积旋转而成的环体体积 V.例例3-2
18、xyo(方法方法2 ) 用柱壳法用柱壳法 Vdy 2x2 yd RbRbV 4ybyRyd)(22 bR222 注注 上式可变形为上式可变形为2RVb2d2bR 20右右半圆为半圆为,)(22byRx 左左 此式反映了环体微元的另一种取法此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示如图所示). oxyRbRy dd2bRV o设平面图形设平面图形 A 由由xyx222 与与xy 图形图形 A 绕直线绕直线 x2 旋转旋转解解若选若选 x 为积分变量，则为积分变量，则旋转体的体积为旋转体的体积为V 102d)2)(2(2xxxxx 32212 若选若选 y 为积分变量为积分变量, 则则 V 1022
19、d)11(2yy 102d)2(yy 例例4-1所确定所确定 , 求求一周所得旋转体的体积一周所得旋转体的体积 . 21x1yoxy)0(, )()( txxfytV表示表示例例4-2)(xfy 设设在在 x0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数, ,0)0( f且且绕直线绕直线 xt 旋转一周旋转一周证明证明:. )(2)(tftV 证证利用柱壳法利用柱壳法xxfxtVd)()(2d 轴所围图形轴所围图形及及 x所成旋转体体积所成旋转体体积 ,)(xfyoxxxdxtx t则则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20
20、 xxftVtd)(2)(0 )(2tft )(2tft ).(2)(tftV 故故解解例例5-1Dxxyxy平面图形平面图形轴所围成的轴所围成的及及的切线，该切线与曲线的切线，该切线与曲线过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线lnln ；的面积的面积求求AD)1(.)2(VexD体的体积体的体积旋转一周所得旋转旋转一周所得旋转绕直线绕直线求求 ，设切点的横坐标为设切点的横坐标为0)1(x处的切线方程为处的切线方程为在点在点则曲线则曲线)ln,(ln00 xxxy (2003年考研年考研)(1ln000 xxxxy )(1ln000 xxxxy 由于该切线过原点，由于该切线过原点，得得01ln0 x
21、即即ex 0从而切线方程为从而切线方程为xey1 所以平面图形所以平面图形 D 的面积的面积oxy(e,1)1e 10d)(yeyeAy121 e围成的围成的轴及直线轴及直线与与切线切线exxxey 1)2(三角形绕直线三角形绕直线 x=e 旋转一周所得圆锥体旋转一周所得圆锥体的体积为的体积为2131eV 围成的图形绕直线围成的图形绕直线轴及直线轴及直线与与曲线曲线exxxy lnx=e 旋转所得旋转体的体积为旋转所得旋转体的体积为oxy(e,1)1eyeeVyd)(2102 )21221(2 ee于是所得旋转体的体积为于是所得旋转体的体积为21VVV )3125(62 eeoxy(e,1)1e2131eV