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1、1121.幂函数的定义一般地,我们把形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中x为自变量,为常数.关于定义的理解:幂的底数是自变量;幂的指数是一个常数,它可以取任意实数;幂值前面的系数是1,否则不是幂函数;幂函数的定义域是使x有意义的所有x的集合,因的不同,定义域也不同.名师点拨名师点拨判断函数是否为幂函数时要根据定义,即x的系数为1,指数位置的为一个常数,且常数项为0,或者经过变形后满足条件的均可.212【做一做1-1】下列函数是幂函数的是()解析:幂函数必须符合y=x(为常数)的形式.答案:D【做一做1-2】若函数y=(k2-k+1)x3是幂函数,则实数k的值是()A.0B.1C.0或1D.k
2、0,且k1解析:由幂函数的定义可知k2-k+1=1,解得k=0或k=1.答案:C312412已知幂函数的图象特征或性质求解析式时,常用待定系数法.判断幂函数y=x的单调性时,通常借助其指数的符号来分析.512答案:B 612答案:C 712答案:二、四 8一、详述幂函数的定义和定义域剖析:(1)幂函数具有严格的形式,形如y=mx,y=(mx),y=x+m,y=(x+m)(以上m均为不等于零的常数)的函数都不是幂函数,二次函数中只有y=x2是幂函数,其他的二次函数都不是幂函数,尤其要区分开y=x0与y=1,要知道y=1是函数,但不是幂函数;y=x0是幂函数.(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函
3、数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.910二、幂函数的图象与性质剖析:(1)幂函数的图象幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都比较困难.主要因为幂函数图象的位置和形状变化复杂,只要指数稍有不同,图象的位置和形状就可能发生很大的变化,所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.考查或作幂函数图象须考虑以下几个方面:定义域:有xR,x0,x0,x0四种情况.奇偶性.单调性:侧重点在第一象限.当指数0时,尤其要注意以(0,0)和(1,1)两点为对角顶点的正方形内部的情况.曲线类型:分直线型、抛物线型、双曲线型和拐线型等情况.11(2)幂函数的性质所有的幂函
4、数在(0,+)都有定义,并且图象都通过点(1,1);若0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间0,+)上是增函数;若1与01还是01,函数y=x在0,+)上的图象都是单调递增的,但在0,1上前者比后者增长得慢,在(1,+)上前者比后者增长得快.14题型一题型二题型三题型四答案:(1)(2)2 15题型一题型二题型三题型四16题型一题型二题型三题型四17题型一题型二题型三题型四【例2】幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.bcdaB.bcadC.abcdD.adc1时,幂指数大的函数的函数值较大,故有bcda.方法二(类比法):当x趋于正无穷时,函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴,类似于典型幂函数y=x-1,故a1.故0c1,0d1.所以a最小,b最大.19题型一题型二题型三题型四方法三(特殊值法):作直线x=2,由图象可知2a2d2c2b,由指数函数的性质可知adc(2)36Thank you for watching!