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1、1专题专题 2929 常见不等式的解法常见不等式的解法【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等） ；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路.（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：200axbxca 可考虑将左边视为一个二次函数 2fxaxbxc，作出图象，再找出x轴上方的部分即可关键点：图象与x轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴
2、穿根法” ，分为以下步骤：（令关于x的表达式为 fx，不等式为 0fx ）求出 0fx 的根12,x x 在数轴上依次标出根 从数轴的右上方右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根 观察图象， 0fx 寻找x轴上方的部分 0fx 寻找x轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x的表达式称为分式，即为 fx g x的形式（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即 0g x （3）对形如 0fx g x的不等式，可根据符号特征得到只需 ,fxg x 同号即可，所以将分式不等式转化为 00
3、fxg xg x（化商为积） ，进而转化为整式不等式求解24、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用） ；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： fxg x的解集与 fxg x或 fxg x 的解集相同 fxg x的解集与 g xfxg x的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数
4、的角度分析，例如：abacbc，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c） ，将相同的变换视为一个函数，相同的变换视为一个函数，即设 fxxc，则 ,acf abcf b，因为 fxxc为增函数，所以可得： abf af b，即abacbc成立，再例如：0, 0,cacbcabcacbc，可设函数 fxcx，可知0c 时， fx为增函数，0c 时， fx为减函数，即 0,0,cf af babcf af b由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性.增函数增函数不变号，减函数不变号，减函数变号变号 在这种
5、想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：ab，则1 1,a b的关系如何？设 1fxx，可知 fx的单调减区间为 ,0 , 0,，由此可判断出：当, a b 同号时，11abab（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是xya还是log0,1ayx aa，其单调性只与底数a有关：当1a 时，函数均为增函数，当01a时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与 1 的大小，规律如下：31a 时，xy loglog( ,0)xyaaaa xy x y 01a
6、时，xy loglog( ,0)xyaaaa xy x y 进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了（3）对于对数的两个补充 对数能够成立，要求真数大于 0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于 0 这个条件，如当1a 时， 0loglog0aafxfxg xg xfxg x 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1logaa，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题.（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化
7、为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围.即若换元，则先考虑新元的初始范围若换元，则先考虑新元的初始范围（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式解出新元的范围在根据新元的范围解x的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用： fx在, a b单调递增，则 121212,x xa bxxfxfx( (在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设 fx在, a b上连续且单调递
8、增， 00,0xa bfx，则0,xa x时， 0fx ;0,xx b时， 0fx ( (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：4（1） fx g xfx g xfx gx（2） 2fxfx g xfx gx g xgx 4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时
9、多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如： f x的对称轴为1x ，且在1,但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合 f x，不会影响结论） ，得到：距离1x 越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用
10、单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如 f xg x，其中 ,f xg x的图象均可作出.再由 f xg x可知 f x的图象在 g x图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【经典例题经典例题】例 1.解下列一元二次不等式：（1）2340xx （2）2410xx （3）2450xx （4）2430xx【答案】 （1）1,4；（2） ,2323,；（3）R ；（4） , 2727, 【解析】 （1）2340xx410xx 即 234fxxx与x轴的交点为1,4xx 由图象可得满足 0fx 的x的范围为14x 5 不等式的解集为1,4【名师点睛】由（1） （2）我们
11、发现，只要是0a ，开口向上的抛物线与x轴相交，其图象都是类似的，在小大根之间的部分 0fx ，在小大根之外的部分 0fx ，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀 让最高次项系数为正 解 0fx 的方程，若方程有解，则 0fx 的解集为小大根之外， 0fx 的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图象观察即可（4）解：先将最高次项系数变为正数：22430430xxxx方程2430xx的根为42 7272x 6 不等式的解集为 , 2727, 例 2.解下列高次不等式：（1）1230xxx （2） 21230xxx【答案】 （1） 1,23,；（2） 1,22,3.【解析】 （1
12、）解： 123fxxxx则 0fx 的根1231,2,3xxx 作图可得：12x 或3x 不等式的解集为 1,23,【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为 0fx 的部分，下方为 0fx 的部分.以例 2（1）为例，当3x 时，每一个因式均大于 0，从而整个 fx的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时数轴右上方开始的原因，因为此
13、时 fx的符号一定为正）的符号一定为正） ，当经过3x 时，3x 由正变负，而其余的式子符号未变，所以 fx的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时， fx的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的图象的“穿根引线穿根引线”的实质是的实质是 fx在经历每一个根时，在经历每一个根时，式子符号的交替变化式子符号的交替变化. .7例 3.解不等式：（1）2113x x（2）221xx（3）21612x xx【答案】 （1）,34,；（2） 1,01,；（3）3,4.【解析】 （1）212111033xx xx 430404330xxxxxx或3x （3）思路
14、：观察发现分母22612330xxx很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了解：2 21612612xxxxxx 27120340xxxx 34x 不等式的解集为3,4 【名师点睛】分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变） ，通常是通过移项，通分，将其转化为 0fx g x再进行求解例 4.解不等式：（1）23xxx （2）125xx （3）2120xx【答案】 （1）0,2；（2）3,2；（3）1,1.【解析】解：（1）方法一：8所解不等式可转化为2 2234033023xxxxo
15、r xxxxxxxxx 02x 方法二：观察到若要使得不等式23xxx成立，则300xx，进而2xx内部恒为正数，绝对值直接去掉，即只需解23xxx即可.解得02x不等式的解集为0,2 （2）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论令两个绝对值分别为零，解得：2,1xx ，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论1x 不等式变为1252xxx 12x 21x 时，不等式变为12535xx 21x 时不等式均成立2x 不等式变为1253xxx 32x 23311xx 不等式的解集为1,1 【名师点睛】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段
16、范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.例 5.解不等式) 1(log)52(logxxaa.【答案】当1a时，解集为4|xx；当10 a时，解集为425| xx.9【解析】试题分析：借助题设条件运用对数函数单调性转化分析求解.例 6.【2019 届上海市徐汇区二模】函数的定义域为_() = (3 2)【答案】(0, + )【解析】由题意，根据对数函数的概念及其定义域可得，即，由指数函数与3 2 03 21= 3的图
17、象可知，如图所示，当时，恒成立，所以正确答案为.2= 2 03 2(0， + )例 7 【2019 届广东佛山市检测二】若使得10101017n 成立的最小整数44n ，则使得4171010m成立的最小整数m _【答案】1810【解析】解指数不等式10101017n ，可利用取对数的方法求解，再由题意估计出17lg10的范围，同样用取对数的方法解不等式17410m得4 17lg10m ，由刚才的10lg17的范围，得出4 17lg10的范围，从而可得要求的最小整数m.解：由10101017n 得10lg1017n ，1044lg1017 ， 1043lg1017 ，即101710lg44104
18、3， 1724176 171010lg10，即4171817lg10，由17410m得17lg410m， 4 17lg10m ，18m ，即最小整数m为 18，故答案为 18.点睛：解指数不等式一般采用两边取对数的方程，化指数不等式为一般的多项式不等式，从而求解.例 8.【2019 届天津市部分区高三上学期期末】已知函数 2xf x ，且 2log2fmf，则实数m的取值范围为（ ）A. 4, B. 10,4C. 1,4,4D. 10,4,4【答案】D点睛：11解答本题的关键是利用函数的性质将问题进行合理的转化，由于函数 f x为偶函数，故其图象关于 y 轴对称，因此可根据所给出的函数值的大小
19、，将问题转化成自变量到对称轴的距离的大小的问题，然后根据不等式的相关知识解决例 9.【2019 年 5 月 2019 届高三第三次全国大联考】已知定义在上的函数满足，其(0, + )()() () ( 2018)(2)A. B. C. D. (0,2018)(2018, + )(2020, + )(2018,2020)【答案】D例 10.【2019 届安徽省六安市毛坦厂中学四月模拟】已知是定义在区间上的函数，是的导()(1 2, + )()()函数，且，则不等式的解集是（ ）()2 ()( 1 2)(e2)= 1(e2)1 2)()2 ()( 1 2)()(2) = 1即可.详解：引入函数，则
20、 ()=() 2( 1 2)()=()2 ()1 2 22212，=()2 () 22=()2 ()22( 1 2) ()2 ()( 1 2) ()2 () 0( 1 2)又，函数在区间上单调递增， 1 2, 22 0 () 0, ()=() 2(1 2, + )故不等式的解集是，故选 D.(2)0(0,1)值范围为（ ）A. B. C. D. ( ,72( ,1( ,72)( ,1)【答案】B【解析】由题得在（0,1）上恒成立，设， 1 34 A. B. C. D. (2 3,1)(2 3,3 4)(3 4,1)(0,2 3)【答案】C【解析】根据对数函数的性质，由，可得，由，得，综上，的取
21、23 12 33 43 4()( 1)(e2)= 2(e) 1() 1 2的解集为（ ）(2)2 2+1 2A. B. ( , 1)(1, + )C. D. ( , 1)(1, + )( 1,1)【答案】D17且，所以的解集为，(1)= (1)1 21 2= 0() 21 2 0 1即，即 所以不等式的解集为，故选 D.2 1 1 1(2)2 2+1 2( 1,1)11.设函数 22,0,0xx xf xxx，若 2ff a，则实数a的取值范围是_【答案】, 2【解析】通过数形结合处理， f x的图象如图所示，令 tf a，则先解 2f t ，由图可得：2t 即 2f a ，再由图可知2a 12.现定义一种运算“”：对任意实数ba,， 1,1,baababba设)3()2()(2xxxxf，若函数kxfxg)()(的图象与x轴恰有三个公共点，则实数k的取值范围是_【答案】21 ,【解析】18【方法点晴】本题主要考查了新定义下函数解析式的求解、函数的图象的应用及函数的零点与方程根的关系， 着重考查了学生对新定义的接受与应用能力及分段的图象的应用和数形结合的思想方法，本题的解答中，利用函数新定义得到函数 f x的解析式，作出函数 f x的图象，把方程的根转化为函数图象与yk的交点，得到实数k的取值范围