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1、1专题专题 5757 排列组合中的常见模型排列组合中的常见模型【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明排列组合中的常见模型的解法.（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果
2、一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排（先分组再排列）：排列数m nA是指从n个元素中取出m个元素，再将这m个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台” ，不相邻元素进行“插空” ，然后再进行各自的排序注：（1）要注意
3、在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序3、错位排列：排列好的n个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n个元素的一个错位排列.例如对于, , ,a b c d，则, , ,d c a b是其中一个错位排列.3 个元素的错位排列有 2 种，4 个元素的错位排列有 9 种，5 个元素的错位排列有 44 种.以上三种情况可作为结论记住4、依次插空：如果在n个元素的排列中有m个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m个元素排好位置，再将nm个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1）5、不同元素分组：将n个不同元素放入m个不
4、同的盒中6、相同元素分组：将n个相同元素放入m个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有1 1m nC 种.解决2此类问题常用的方法是“挡板法” ，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n个元素排成一列，共有1n 个空，使用1m 个“挡板”进入空档处，则可将这n个元素划分为m个区域，刚好对应那m个盒子. 7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色” ，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况） ，先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.【经典例题经典例题】例
5、1.【2017 课标 II，理 6】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有2 4C种方法，然后进行全排列3 3A即可，由乘法原理，不同的安排方式共有23 4336CA种方法. 故选 D.例 2.【重庆市 2019 届三模】山城农业科学研究所将 5 种不同型号的种子分别试种在 5 块并成一排的试验田里，其中两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，
6、则不同的试种方法数为 （ ）A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【答案】B(1)元素相邻的排列问题“捆邦法” ；(2)元素相间的排列问题“插空法” ；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法” ；(4)带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题间接法.例 3.【2019 年理新课标 I 卷】从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）【答案】163点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3 人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题
7、还可以用直接法，分别求出有 1 名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.例 4.【2017 浙江卷 16】从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_中不同的选法（用数字作答）【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为411 843CCC种方法，其中不满足题意的选法有411 643CCC种方法，则满足题意的选法有：411411 843643660CCCCCC种例 5.【2019 年浙江卷】从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共
8、可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法” ；(2)元素相间的排列问题“插空法” ；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法” ；(4)带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题间接法.例 6.【2017 天津，理 14】用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）【答案】 1080 【解析】4134 54541080AC C A 【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法） ，组
9、成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.4例 7.【2019 届浙江省教育绿色评价联盟 5 月考试】有 7 个球，其中红色球 2 个（同色不加区分） ，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各 1 个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2 个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有_种不同的排法（用数字回答） 【答案】408【解析】分析：把红色球看做一个处理，利用分类计数原理结合分步计数原理，由左至右逐一排放，然后求和即可.详解：123456排列方法有：，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合
10、的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步” 、 “是排列还是组合” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.例 8.【2019 届安徽省合肥市三模】如图，给 7 条线段的 5 个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有 4 种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有5A. 24 B. 48 C. 96 D. 120【答案】C例 9.【2019 届四川省成都市第七中学三诊】已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在
11、丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）A. 240 种 B. 360 种 C. 480 种 D. 600 种【答案】C【解析】分析：本题属于有限制条件的排列问题，解题时可按照领导丙的位置分为 6 类，求出每一类的排法后再根据分类加法计数原理求解总的排法详解：用分类讨论的方法解决如图中的 6 个位置，123456当领导丙在位置 1 时，不同的排法有种；当领导丙在位置 2 时，不同的排法有种；当领导丙在位置 3 时，不同的排法有种；当领导丙在位置 4 时，不同的排法有种；当领导丙在位置 5 时，不同的排法有种；6当领导丙在位置 1 时，不同的排法有种由分类加法计数原理可得不同的排法共有 480 种
12、故选 C例 10.【2019 届甘肃省西北师范大学附属中学冲刺诊断】第十九届西北医疗器械展览将于 2019 年 5 月 18至 20 日在兰州举行,现将 5 名志愿者分配到 3 个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ ）A. 540 B. 300 C. 180 D. 150【答案】D由分类计数原理得，共有种不同的分法，故选 D点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步” 、 “
13、是排列还是组合” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式【精选精练精选精练】1.【2019 届湖南省长沙市长郡中学模拟卷（二） 】 中国诗词大会亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定将进酒 、 山居秋暝 、 望岳 、 送杜少府之任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求将进酒与望岳相邻，且将进酒排在望岳的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）A. 144
14、种 B. 48 种 C. 36 种 D. 72 种【答案】C7【解析】分析：采取“捆绑法” 、 “插空法” ，利用分步计数乘法原理可得结果.详解：将将进酒与望岳捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有种排法，再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在 个空里（最后一个空不排） ，有种排法，则后六场的排法有种，故选 C.2.【2019 届贵州省凯里市第一中学高四模】集合，从集合中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？A. 52 B. 58 C. 64 D. 70【答案】B【解析】分析：分别从集合 A，B 取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案详解：故选：B.3.【山东省烟台市
15、 2019 年春季高考一模】有 名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】D将这个整体与其余 人全排列，有种情况，则甲、乙两人必须站在一起的排法共有种排法，故选 D点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步” 、 “是排列还是组合” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难
16、则反”的思维方式84.【2019 届浙江省宁波市 5 月模拟】若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】C【解析】分析：直接按照乘法分步原理解答.详解：点睛：（1）本题主要考查排列组合计数原理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力.解答排列组合时，要思路清晰，排组分清.（2）解答本题时，要注意审题， “有公共顶点的两个格子颜色不同” ，如 C 和 D 有公共的顶点，所以颜色不能相同.5.【2019 届福建省泉州市 5 月检查】李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的 7 天假期中，到
17、“东亚文化之都-泉州” “二日游” ，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有A. 16 种 B. 18 种 C. 20 种 D. 24 种 【答案】C【解析】分析：根据分类计数原理， “东亚文化之都泉州” “二日游” ，任意相邻两天组合一起，一共有 6 种情况，如，分两种情况讨论即可详情：任意相邻两天组合一起，一共有 6 种情况，如，若李雷选或，则韩梅梅有 4 种选择，选若李雷选或或或，则韩梅梅有 3 种选择，9故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有 2（4+6）=20，故答案为：C.6 【腾远 2019 年浙江卷红卷】北京两会期间，有甲、乙、丙、丁、戊 位国家部委领导
18、人要去 个分会场发言（每个分会场至少 人） ，其中甲和乙要求不再同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）.【答案】30【解析】分析：由题意甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一分会场，所以有“”和“”两种分点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步” 、 “是排列还是组合” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考
19、虑“正难则反”的思维方式7 【2019 届湖南省益阳市 5 月 18 日统考】现有 8 本杂志，其中有 3 本是完全相同的文学杂志，还有 5 本是互不相同的数学杂志，从这 8 本里选取 3 本，则不同选法的种数为_【答案】26【解析】分析：从选取的数学杂志的本数入手讨论即可.详解：若选取的三本书没有数学杂志，有 1 种选法若选取的三本书有 1 本数学杂志，有种选法若选取的三本书有 2 本数学杂志，有种选法10若选取的三本书有 1 本数学杂志，有种选法故不同选法的种数为 26.8 【2019 届浙江省杭州市第二次检测】盒子里有完全相同的 6 个球，每次至少取出 1 个球(取出不放回)，取完为止，
20、则共有_种不同的取法（用数字作答） 【答案】3292019 年 6 月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的 8 名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各 2 名.若将这 8 名同学分成甲乙两个小组,每组 4 名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自于同一年级的分组方式共有_种【答案】24【解析】分析：首先要明确该题应该分类讨论，第一类是大一的两名同学在乙组，第二类是大一的两名同学不在乙组，利用组合知识，求得相应的数，之后应用分类加法计数原理，求得结果，问题得以解决.详解：根据题意，第一类
21、：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两个为种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为种，故有种；第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为种，这时共有种；根据分类计数原理得，共有种不同的分组方式.10 【2019 届山东省烟台市高考适应性练习（一） 】上合组织峰会将于 2019 年 6 月在青岛召开，组委会预备在会议期间将这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作.若要求必须在同一组，且每组至少 2 人，则不同分配方法的种数为_【答案】8.【解析】分析：AB 捆绑在一起，分两
22、类，一类是 A、B 两人在一组，另三人在一组，一类是 A、B 再加另一11人在一组，另一组只有 2 人，还要注意有两个地点是不同的.详解：由题意不同的分配方法为，故答案为 8.11 【2019 届天津市河东区二模】一共有 5 名同学参加我的中国梦演讲比赛，3 名女生和 2 名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有_种 （用数字作答）【答案】36.12 【2019 届天津市部分区质量调查（二） 】天津大学某学院欲安排 4 名毕业生到某外资企业的三个部门实习，要求每个部门至少安排 1 人，其中甲大学生不能安排到 部门工作的方法有_种（用数字作答）.【答案】24【解析】分析：根据题意，设 4 名毕业生为甲、，分 2 种情况讨论：，甲单独一人分配到 或部门，甲和其他人一起分配到 或 部门，由加法原理计算可得答案详解：根据题意，设 4 名毕业生为甲、，分 2 种情况讨论： ，甲单独一人分配到 或 部门，则甲有 2 种情况，将分成 2 组，有种分组方法，再将 2 组全排列，分配到其他 2 个部门，有种情况，12