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1、1专题专题 3232 均值不等式常见应用均值不等式常见应用【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】高考命题中对基本不等式的考查比较灵活，可以说无处不在，重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题，命题形式以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现有时与三角函数、数列、解析几何等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.本专题重点说明应用基本不等式解题的常见类型.1、基本不等式的几个变形：（1）2,0abab a b：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22abab：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222abab，本公式虽然
2、可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围, a bR2、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.3、常见求最值的题目类型（1）构造构造乘积与和为定值
3、的情况（2）已知1axby（a为常数） ，求mn xy的最值，此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：2例如：已知0,0,24xyxyxy，求2xy的最小值解：22211 222228xyxyxyx y所以2224248xyxyxyxy即228 2320xyxy，可解得24 34xy，即min24 34xy注：此类问题还可以通过消元求解：42241xxyxyyx，在
4、代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y 的范围由x承担，所以0,2x 4、高中阶段涉及的几个平均数：设01,2,iain （1）调和平均数：12111nnnHaaa （2）几何平均数：12n nnGa aa （3）代数平均数：12n naaaAn（4）平方平均数：222 12n naaaQn5、均值不等式：nnnnHGAQ，等号成立的条件均为：12naaa 特别的，当2n 时，22GA2abab即基本不等式【经典例题经典例题】例 1.【2019 届辽宁省辽南协作校高三一模】若lglg0ab且ab，则21 ab的取值范围为（ ）A. 2 2,B. 2 2, C. 2 2,33,D. 2 2,
5、33,【答案】A【解析】lglg0ab且ablg0ab ，即1ab .2122 22 2abbaabab，当且仅当22ab时取等号.321 ab的取值范围为2 2,故选 A.例 2.【2019 届云南省曲靖市第一中学 4 月监测卷（七） 】若直线平分圆，则的最小值为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C则（当且仅当，即时取等号）.故选 C例 3.【2019 届北京师范大学附中二模】已知，并且 ， ， 成等差数列，则的最小值为（ ）A. 16 B. 9 C. 5 D. 4【答案】A【解析】 ， ， 成等差数列，.，当且仅当且，即时等号成立.选 A.例 4.【2017 天津，理 12】若,
6、a bR， 0ab ，则4441ab ab的最小值为_.【答案】4 4【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式， （1）22,2a bR abab ，当且仅当ab时取等号；（2）, a bR ，2abab ，当且仅当ab时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等” “作乘法” “1 的妙用”求最值.例 5.已知非零向量 ， ，满足，则的最大值为_.【答案】【解析】分析：详解：因为 ，所以的最大值为.例 6.【2019 届广东省模拟（二） 】已知，展开式的常数项为 ，则的最小值为_【答案】【解析】分析：由题意在二项展开式的通项公式中，令
7、 的幂指数等于零，求得 的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为 ，确定出，再利用基本不等式求得的最小值.详解：展开式的通项公式为，令，得，从而求的，整理得，而，故答案是 .例 7 【2019 届百校联盟高三 TOP20 四月联考】已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为_【答案】5，即所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：例 8.【2019 届北京市北京 19 中十月月考】已知正数, x y满足22,xy则18 yx的最小值为_.【答案】9【点睛】本题考查基本不等式的应用.利用基本不等式求带有限制条件的不等式的最值问题时，要合理配凑，如本题中将18 yx等
8、价变形为18248 2xyxy yxyx，再利用基本不等式的条件（一正、二定、三相等）进行求解.例 9.【2019 届四川省成都市石室中学二诊】已知四面体 ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点 O 到平面 ABC、平面 ACD、平面 ABD、平面 BCD 的距离分别为 ,x, 和 y,则 + 的最小值是_.【答案】 ；6【解析】该几何体为正四面体,体积为.各个面的面积为,所以四面体的体积又可以表示为,化简得,故. 【点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算,考查利用分割法求几何体的体积,考查了方程的思想,考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面体
9、为正四面体,由于正四面体的棱长给出,所以可以计算出正四面体的体积,根据等体积法求得的一个等式,再利用基本不等式求得最小值.例 10.【2019 届湖南省株洲市统一检测二】已知数列的前 项和为，且满足，数列满足，则数列中第_项最小【答案】4【解析】分析：由题可得到数列为等差数列，首项为 1，公差为 1可得 数列满足利用累加求和方法即可得出 可得，利用不等式的性质即可得出时也成立则数列中第 4 项最小即答案为 4.7【精选精练精选精练】1已知二次函数的值域为，则的最小值为( )A. 1 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B故选：B2 【2019 届陕西省咸阳市三模】已知圆的半径为 1， ， ，
10、， 为该圆上四个点，且，则面积的最大值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可详解：如图所示，由知，ABDC 为平行四边形，又 A，B，C，D 四点共圆，ABDC 为矩形，即 BC 为圆的直径，所以当 AD 是圆的直径时，面积的最大. 当 AB=AC 时，ABC 的面积取得最大值为.故答案为：A点睛：本题主要考查向量的平行四边形法则和基本不等式等基础知识.看到，联想到平行四边8形法则，是解题的一个关键.平面向量里高考的高频考点有向量的加法法则、减法法则、平行四边形法则、基底法和坐标法等，要做到心中有数.3设 A
11、、B 分别为双曲线（a0，b0）的左、右顶点，P 是双曲线上不同于 A、B 的一点，直线AP、BP 的斜率分别为 m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉 得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4 【2019 届河北省衡水金卷一模】已知点分别在正方形的边上运动，且，设，若，则的最大值为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C【解析】,又因为, ,当且仅当 x=y 时取等号, ,即的最大值为,故选
12、 C.5 【2019 届贵州省贵阳第一中学月考卷（七） 】实数 ， ， 满足且，则下列关系式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由9综上，可得 .故选 A6 【2019 届浙江省嘉兴市 4 月模拟】已知（） ，则的最小值为（ ）A. B. 9 C. D. 【答案】B7 【2019 届山东省天成大联考第二次】若，且，则的最小值为（ ）A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B【解析】，当且仅当时等号成立，又，即，当且仅当时等号成立，的最小值为 ，故选 B.8在ABCA中, ,a b c分别是角, ,A B C的对边,且2acb,则角B的取值范围是A. 0,6B. ,3 2 C
13、. ,6 2 D. 0,3【答案】D10点睛：本题考查了余弦定理和基本不等式的性质、三角函数的图象与性质等知识点的综合应用，解答中利用题设条件和余弦定理、基本不等式求得1cos2B ，再利用三角函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力9 【2019 届山西省一模】若点 为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】APB=90，由不等式可得故选：B10 【2019 届安徽省宣城市第二次调研】已知函数 2sinf xxx，若正实数, a b满足 210f afb，则14 ab的最小值是_ 【答案】94 2【解析】因为 2cos0,2s
14、infxxfxxxf x ，所以函数 f x为单调递增奇函数，因此由 210f afb，得 211 21 2 ,21,f afbfbab ab 11因此14 ab 142424299294 2babaabababab，当且仅当2ba时取等号. 11已知直线恒过定点 A，则 A 点的坐标为_；若点 A 在直线（，）上，则的最小值为_.【答案】 （2,1） 12.【2019 年天津市十二校二模】已知，二次三项式对于一切实数 恒成立，又，使成立，则的最小值为_【答案】【解析】分析：对于一切实数 恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化为，平方后换元，利用基本不等式可得结果.12令，则（当时，等号成立） ，所以，的最小值为，故的最小值为，故答案为.