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1、平行四边形（提高）【学习目标】.理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；1 .能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解 决四边形的问题.2 .能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算.3 .理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.【要点梳理】【高清课堂平行四边形知识要点】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记 作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相 对的边为对
2、边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有 两条.要点二、平行四边形的性质.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；1 .角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；2 .平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质 可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系 或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应 联系三角形三边的不等关系
3、来解决.要点三、平行四边形的判定1 .两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3 . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5 .对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定 同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边 形”的依据.要点四、三角形的中位线1 .连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2 .定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点
4、诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的L,每个小三角形的面积为原三角形2面积的L4(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离.两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行 线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.(2)平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.1 平行四边形的面
5、积：平行四边形的面积=底*高；等底等高的平行四边形面积相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质【高清课堂 平行四边形 例10】C1、如图，平行四边形ABCD的周长为60cm ,对角线交于0, AA0B的周长比BOC的周长大8cm,求AB, BC的长.AH【答案与解析】解：四边形ABCD是平行四边形.AB=CD, AD = BC, AO = CO, ZJABCD的周长是60.2AB+2BC=60, BP AB+BC=30, 又丁 A0B的周长比ABOC的周长大8.即(A0+0B+AB) - (BO+OC+BC) =AB-BC = 8,由有“ m5 + 50=305 = 19,5C = 11.A
6、 AB, BC的长分别是19。%和Ucm .【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题. 举一反三：【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是NDCB的平分线，F是AB的中点，AB = 6, BC =4.求 AE： EF： FB 的值.【答案】解：ABCD是平行四边形，所以ABCD, ZECD=ZCEB CE为NDCB的角平分线，AZECD=ZECB,AZECB=ZCEB,ABC=BEVBC=4,所以 BE=4VAB = 6, F为AB的中点，所以BF=3，EF=BEBF=1, AE=ABBE = 2AAE： EF： FB = 2： 1： 3.类型二、平行四边形的判定C2、
7、如下图，U7ABCD中，延长AB到E,延长CD到F,使得BE=DF.求证：AC与EF互相平分.【思路点拨】要证明AC、EF互相平分，只需证明AC、EF是某一平行四边形的两条对角 线即可，这样，此题就转化为证明四边形AECF是平行四边形的问题了.【答案与解析】 证明：方法一：连接 AF、CE, DABCD 中，AB = DC, AECF. ZCFE=ZAEF.又 DF=BE, CF=AE,而 EF=FE, ACFEAAEF,， ZCEF=ZAFE, CEAF, 四边形AECF是平行四边形.即AC与EF互相平分.方法二：连接AF、CE,在 DABCD中，DC/AB.DF=BE, CF=AE,CF旦
8、AE, 四边形AECF为平行四边形，即AC、EF互相平分.【总结升华】（1）此题也可直接证COF也AAOE,利用其他的判定方法来证，在此题中，证法二相对来说比拟简单.（2）由于平行四边形的判定方法较多，所以经常出现可用多种方法 证明，此时应选择简单的方法.举一反三:【变式】以锐角AABC的边AC、BC、AB向形外作等边ACI）、等边BCE,作等边AABF,连【答案】证明：在等边AADC和等边AAFR中ZDAC=ZFAB = 60 .，ZDAF=ZCAB.又,: AD=AC, AF=AB. AADFAACB（SAS）.J DF=CB=CE.同理，BACgABFE, J EF=AC=DC. 四边形
9、DCEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.3、在等边三角形ABC中, 别在AC, AB和BC上,试说明:类型三、构造平行四边形，应用性质P 为 AABC 内一点，PDAB, PEBC, PF/AC, D, E, F 分 PD+PF+PE=BA.【答案与解析】解：延长FP交AB于G,延长DP交BC于H, 四边形AGPD, EBHP为平行四边形，APD=AG, PH=BE. ；PDAB, PEBC, PF/AC, ABC 是等边三角形, . ZGEP= ZEGP= ZEPG= ZPHF= ZPFH= ZHPF=60 ，：.AGEP, APHF为等边三角形A PF=PH=BE,
10、PE=GE, PD+PF+PE=AG+BE+GE=AB.【总结升华】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法. 类型四、三角形的中位线 4、如下图，在AABC中，M为BC的中点，AD为NBAC的平分线，BDLAD于D, AB = 12, AC=18,求 MD 的长.【思路点拨】此题中所求线段MD与线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中 点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角 形ABN, D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度.【答案与解析】解：延长BD交AC于点N.AD为/BAC的角平分线，且ADLBN,
11、， NBAD=NNAD, NADB= NADN=90。, 又： AD 为公共边，I. ABD会 AND (ASA) AN=AB=12, BD=DN.; AC=18, NC=AC-AN=18-12 = 6,/ D、M分别为BN、BC的中点，1 , DM = - CN = x 6 = 3.1 2【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的 中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形.举一反三：【高清课堂 平行四边形 例9】【变式】如下图，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将().A.先变大，后变小 B.保持不变C.先变小，后变大 D.无法确定【答案】B； 解：连接AQ. E、F分别是PA、PQ两边的中点， EF是APAQ的中位线，即AQ = 2EF. / Q是CD上的一定点，那么AQ的长度保持不变， 线段EF的长度将保持不变.