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1、平行四边形及其性质(基础)责编：杜少波【学习目标】1 .理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.2 .能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解 决四边形的问题.3 . 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用.4 .掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相 等”.【要点梳理】【高清课堂平行四边形知识要点】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作 “口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四
2、对；相 对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有 两条.知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：(1)平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的 性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形 三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理L两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直
3、线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行 线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2.平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质【高清课堂平行四边形例11】C1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为NDAB、NCBA的平 分线.求证：DF=EC.【答案与解析】证明：在口ABCI)中，CI)AB, ZDFA=ZFAB.又,: AF是NDAB的平分线，ZDAF=ZFAB, ZDAF=ZDFA,； AD=DF.同理可得EC = BC.在口ABCD 中，AD=BC,
4、DF=EC.【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等 提供了条件.举一反三：【高清课堂 平行四边形例12【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF,请你猜想：线段BE 与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.【答案】证明：猜想：BE DF且BE = DF. 四边形ABCD是平行四边形 ACB=AD, CBAD .ZBCE=ZDAF在ABCE和ADAF中CB = AD /BCE = ZDAF CE = AFAABCEADAF BE = DF, NBEC=NDFA BEDF即 BE DF 且 BE=DF.，2. (2014上
5、城区一模)如图，在口ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.(1)求证：AABC也EAD；(2)若 AE 平分NDAB, ZEAC=20 ，求NAED 的度数.【思路点拨】(1)先证明NB二NEAD,然后利用SAS可进行全等的证明；(2)证明4ABE为 等边三角形，可得NBAE=60。，求出NBAC的度数，即可得NAED的度数.【答案与解析】解:(1) 在平行四边形ABCD中，ADBC, BC=AD,AZEAD=ZAEB,又一AB=AE,AZB=ZAEB,AZB=ZEAD,AB = AE在AABC 和EAD 中， ZABC=ZEAD，tBC=ADAAABCAEAD.(2) TAE 平分ND
6、AB,AZBAE=ZDAE,AZBAE=ZAEB=ZB,/. AABE为等边三角形，A ZBAE=60 ,：.ZBAC=ZBAE+ZEAC=80 ,VAABCAEAD, .,.ZAED=ZBAC=80 . 【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题注意掌握 平行四边形的对边平行且相等的性质.3.如图，在口ABCD中，点E, F分别在边DC, AB上，DE=BF,把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B, C分别落在B，C处，线段EC与线段AF交于点G,连接DG, B G. 求证：(1) Z1=Z2；(2) DG=B G.Da_3cBf【思路点拨】(1)根据平行四边形
7、得出DCAB,推出N2二NFEC,由折叠得出NFNFEC二N 2,即可得出答案；(2)求出 EG=B G,推出NDEG=NEGF,由折叠求出NB FG=NEGF,求出 DE二B F,证aDEG Bz FG 即可.【答案与解析】证明:(1) 在平行四边形平行中,DCAB,AZ2=ZFEC,由折叠得：Zl=ZFEC,AZ1=Z2；(2) VZ1=Z2,AEG=GF,.ABDC,AZDEG=ZEGF,由折叠得：EC /Bf F,AZB7 FG=ZEGF,VDE=BF=B, F,ADE=B, F,.-.DEGAB, FG (SAS),ADG=B, G.【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平
8、行线性质，全等三角形的性质和判 定的应用，主要考查学生的推理能力.C4.如图，已知DABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E.求【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB二DC, ABCD,推出NONFBE, ZCDF=ZE,证ACDF BEF,推出BE二DC即可.【答案与解析】证明：F是BC边的中点，ABF=CF, 四边形ABCD是平行四边形， AB=DC, ABCD, AZC=ZFBE, NCDF=NE, VACDF 和 ABEF 中ZC=ZFBE ZCDF=ZECF=BFAACDFABEF (AAS)，ABE=DC,VAB=DC,二AB = BE .【总结升华】本题
9、考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用, 关键是推出ZXCDF丝ABEF.举一反三：【变式】如图，已知在口ABCD中，延长AB,使AB=BF,连接DF,交BC于点E.求证：E是BC的中点.【答案】证明：在DABCD 中，ABCD,且 AB二CD, Z.ZCDF=ZF, ZCBF=ZC,VAB=FB,ADC=FB,AADECAFEB,EC=EB,即E为BC的中点.类型二、平行线的性质定理及其推论Cs. (1)如图1,已知AABC,过点A画一条平分三角形面积的直线；(2)如图2,已知点E, F在11上，点G, H在12上，试说明EGO与FH0面积相 等；【思路点拨】(1)
10、根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可;(2)结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；(3)结合(1)和(2)的结论进行求作.【答案与解析】解：(1)取BC的中点D,过A、D画直线，则直线AD为所求；(2)证明：12,点E, F到12之间的距离都相等，设为h. Saegh GH X h, Safgh - GH X h,2二 SzEGH=S/XFGH，Saegh_Sagoh=Safgh_Sagoh 9EGO的面积等于FHO的面积；(3)解：取BC的中点D,连接MD,过点A作ANMD交BC于点N,过M、N画直 线，则直线MN为所求.【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公
11、式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成 了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等.举一反三：.【变式】(2014秋南京校级期中)有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等.下 面经历探索与应用的过程.探索：已知：如图 1, AI)BC, ABCD.求证：AB=CD.应用此定理进行证明求解.如图3, AD/BC, ACBD, ACE, BD=3.求:如与BC两条线段的和.应用二、已知: 【答案】探索：证明：如图1, 连接AC, VAD#BC, ABCD.ZDAC=ZBCAJ /BAONDCA在aABC和4CDA中，rZBAC=ZDCA, AC=AC ，2ACB = NDACAAABCACDA (ASA),AB = CD；应用一：证明：如图2,作DEAB交BC于点E,VADBC,AB=DEYAB = CD,ADE=CD,AZDEC=ZCVDEAB,Z.ZB-ZDEC,AZB=ZC；应用二、解：如图3,作DFAC交BC的延长线于点F VADBC, AAC=DF AD=CF, VDFAC, A ZBDF=ZBEC,VACBD, .ZBDF=ZBEC=90 , 在RtZXBDF中，由勾股定理得：BF=5, 故 BC+AD=BC+CF=BF=5.