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1、第1,2章线性空间与线性变换第1页，本讲稿共60页Abouttextbook教材：矩阵分析简明教程，曾祥金，张亮，科学出版社，2010参考文献：矩阵分析，HornRA著，杨奇译，机械工业出版社高等工程数学，于寅，华中理工大学，1995第2页，本讲稿共60页AshorthistorySuchistheadvantageofawell-constructedlanguagethatitssimplifiednotationoftenbecomesthesourseofprofundtheories.-P.S.Laplace这就是结构好的语言的好处，它的简化简化的记法的记法常常是深奥理论的源泉.第3
2、页，本讲稿共60页Ashorthistory4000年前，Babylonians已经会解决22的线性方程组200B.C.九章解决了33的线性方程组自此之后发展缓慢！第4页，本讲稿共60页Ashorthistory：遇到障碍言辞数学符号数学丢番图(DiophantusofAlexandria),约250A.C.代数学之父上帝让他的童年时代占一生的六分之一，又过了一生的十二分之一，他开始长胡子，再过一生的七分之一，上帝为他点燃婚礼的烛光，婚后第五年，赐给他一个儿子。天哪，这真是一个晚生的孩子，孩子活到他父亲一半的年龄时，残酷的命运之神就把他带走了；他花了四年的时间用数的科学抚慰自己的悲伤，之后也就
3、去世了。第5页，本讲稿共60页Ashorthistory：开始发展符号数学韦达(Viete,1540-1603),引入符号笛卡尔(Descartes,1596-1650),解析几何，方法论，我思故我在费马(Fermat,1601-1665),解析几何，数论，微积分，费马猜想牛顿(Newton,1643-1727)莱布尼兹(Leibniz,1646-1716).科学加速发展！第6页，本讲稿共60页Ashorthistory：线性方程组的解1693，Leibniz创造了行列式；1760，Cramer提出Cramer法则；1815，Cauchy(1789-1857)第一次系统定义行列式；1811，G
4、auss(1777-1855)提出高斯消元法；第7页，本讲稿共60页Ashorthistory：matrix，创始人ArthurCayley(1821-1895)17岁入剑桥大学三一学院20岁写了13篇文章，明确一生的研究方向28岁入律师行，做了14年律师，其后入剑桥大学主要贡献：矩阵论，代数不变量，高维几何（相对论的理论基础之一）JamesJosephSylvester(1814-1897)15岁入皇家学院，17岁剑桥大学；曾任保险精算62岁入约翰.霍普金斯大学；创立美国数学杂志（MathematicsMagazine）南丁格尔，喜欢诗歌、发明数学名词第8页，本讲稿共60页矩阵理论论的应用C
5、ayley正在为未来的一代物理学家锻造武器-Tait量子力学的最佳语言Matlab=MatrixLiboratory几乎所有的工程数学、科学计算第9页，本讲稿共60页预备知识：线性代数1.矩阵的运算；逆矩阵；2.线性方程组的Gauss消元；3.矩阵的秩；4.n维向量。第10页，本讲稿共60页第第1章：线性空间与线性变换章：线性空间与线性变换内容内容内容内容：线性空间的一般概念线性空间的一般概念线性空间的一般概念线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系线性变换线性变换线性变换线性变换重点：其中的矩阵
6、处理方法重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法特点特点特点特点：研究代数结构研究代数结构研究代数结构研究代数结构具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有
7、抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。第11页，本讲稿共60页1.1线性空间线性空间(LinearSpaces)一、线性空间的概念一、线性空间的概念线性空间线性空间=集合集合+两种运算（所成完美集合）两种运算（所成完美集合）ExampleR R 3 3=x=x=（x x1 1，x x2 2，x x3 3）T T：x xi i R R=空间中所有向量空间中所有向量空间中所有向量空间中所有向量 定义向量的加法，数与向量的乘积。定义向量的加法，数与向量的乘积。定义向量的加法，数与向量的乘积。定义向量的加法，数与向量的乘积。运算封闭运
8、算封闭运算封闭运算封闭八条运算律成立八条运算律成立八条运算律成立八条运算律成立第12页，本讲稿共60页1.1线性空间线性空间(LinearSpaces)一、线性空间的概念一、线性空间的概念线性空间线性空间=集合集合+两种运算（所成完美集合）两种运算（所成完美集合）Definition:(线性空间或向量空间线性空间或向量空间)要点：要点：要点：要点：集合集合集合集合VV与数域与数域与数域与数域F F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算（运算之后的结果跑不出去运算之后的结果跑不出去运算之后的结果跑不出去运算之后的结果跑不出去）八条运算律
9、八条运算律八条运算律八条运算律（能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）第13页，本讲稿共60页常见的线性空间常见的线性空间F Fn n=X=X=（x x1 1，x x2 2，x xn n）T T：x x F F 运算运算运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量F Fmm n n=A=A=a aij ij mm n n：a a ij ij FF；运算运算运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵
10、的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵R Rmm n n；C Cmm n n。F Fttn n=f(x)=f(x)=a a00+a a1 1x+a a2 2x2+.+a an-1n-1xn-1：a ai i RR运算运算运算运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘CCa a，b b=f=f（x x）：）：）：）：f f（x x）在）在）在）在 a a，b b 上连续上连续上连续上连续 运算运算运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘ExampleExample：V=RV=R+，F=RF=R，a a b b=ab
11、ab，a=aa=a F=RF=R或或或或C C第14页，本讲稿共60页不是线性空间的集合不是线性空间的集合V V=X=X=（x x1 1，x x2 2，1 1）T T：x xi i R R 运算运算运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。攻击。攻击。攻击。第15页，本讲稿共60页线性空间的一般性的观点：线性空间的一般性的观点：线性空间的简单性质（共性）
12、：线性空间的简单性质（共性）：（1）V V中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。（2）V V中任何元素的负元素是惟一的。中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：0=0，k0=0，k=0=0 或或k=0（4）=（1）数数数数0 0向量向量向量向量0 0第16页，本讲稿共60页二、向量组的探讨（二、向量组的探讨（Review)向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：向量向量向量向量 可由可由可由可由 1 1，2 2，s s线性表示线性表示线性表示线性表示;（其工作可由多人合力完成）（其工作可由多人
13、合力完成）（其工作可由多人合力完成）（其工作可由多人合力完成）向量组向量组向量组向量组 1 1，2 2，s s线性无关线性无关线性无关线性无关 任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示要使要使要使要使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,只有系数都为只有系数都为只有系数都为只有系数都为0 0向量组向量组向量组向量组 1 1，2 2，s s线性无关线性无关线性无关线性无关其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量
14、线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示要使要使要使要使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,必须有非零系数必须有非零系数必须有非零系数必须有非零系数第17页，本讲稿共60页二、向量组的探讨（二、向量组的探讨（Review)向量组的极大线性无关组：向量组的极大线性无关组：向量组的极大线性无关组：向量组的极大线性无关组：1 1，2 2，s s为向量组为向量组为向量组为向量组A A的一个部分组的一个部分组的一个部分组的一个部分组（精英组合精英组合精英组合精英组合）满足满足满足满足向量组向量组向量组向量组 1 1，2 2，s s线性无关线性无关线性无关线性无关
15、（彼此工作不可替代彼此工作不可替代彼此工作不可替代彼此工作不可替代）任意任意任意任意A A的向量可以由的向量可以由的向量可以由的向量可以由 1 1，2 2，s s线性表示线性表示线性表示线性表示（公司的任何人的工作可由精英组合完成公司的任何人的工作可由精英组合完成公司的任何人的工作可由精英组合完成公司的任何人的工作可由精英组合完成）向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩(rank)(rank)：最大无关组中向量的个数：最大无关组中向量的个数：最大无关组中向量的个数：最大无关组中向量的个数第18页，本讲稿共60页三、线性空间的基和维数三、线性空间的基和维数抽象的线性空间的元素称之为向量抽象的线
16、性空间的元素称之为向量(vector)所有的线性空间中的向量的线性相关性定义所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和和Rn一样：一样：定义形式和向量空间定义形式和向量空间定义形式和向量空间定义形式和向量空间R Rn n中的定义一样。中的定义一样。中的定义一样。中的定义一样。有关性质与定理和有关性质与定理和有关性质与定理和有关性质与定理和R Rn n中的结果一样。中的结果一样。中的结果一样。中的结果一样。因此，要研究线性空间，只需要研究它的最因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组大线性无关组-即为基即为基(basis)第19页，本讲稿共60页三、线性空间的基和维数三、线性空间的基和维
17、数基基(basis)：线性空间的极大无关组；：线性空间的极大无关组；维数维数(dimension)：基中向量的个数；：基中向量的个数；常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：Fn，自然基，自然基e1 1，e2，,en，dimFn n=nRmm n n，自然基，自然基E Eij，dimR Rm n=m n n。Ftt33，自然基自然基1，t，t t2，dimFt3=3CaCa，b，1，x x，x x2，x x3xn-1n-1 Ca,b，dim Ca，b=约定：约定：本书主要研究有限维线性空间。本书主要研究有限维线性空间。第20页，本讲稿共60页四、坐标四、坐标坐标的来历：坐标的来历：设设
18、 1，2，n是空间是空间V的一的一的一的一组基，组基，组基，组基，V,可以由基可以由基 1，2，n唯一唯一线性表示线性表示=x1 1+x2 2+xn n则则x1，x2，xn是是 在基在基 i下的坐标。下的坐标。例例1：求求R2 2中向量中向量在基在基Eij下的坐标。下的坐标。要点：要点：要点：要点：坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标的表达形式坐标的表达形式坐标的表达形式坐标的表达形式第21页，本讲稿共60页例例2设空间设空间Fx4的两组基为：的两组基为：1，x，x2，x3和和1，（，（x-1）1，（，（x-1）2，（，（x-1）3求求f（x）=2+3x+4x2+x3在这两组基
19、下的坐标在这两组基下的坐标。归纳归纳归纳归纳：有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的实际的实际的实际的元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。第22页，本讲稿共60页*例例3设设R2 2中向量组中向量组Ai1讨论讨论Ai的线性相关性的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量
20、表示成极大线性无关组的把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合线性组合.第23页，本讲稿共60页五、基变换和坐标变换五、基变换和坐标变换讨论：讨论：不同的基之间的关系不同的基之间的关系不同的基之间的关系不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系1基变换公式基变换公式设空间中有两组基：设空间中有两组基：过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵C C的性质：的性质：的性质：的性质：C C为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵C C的第的第的第的第i i列是列是列是列是 i i 在基在基在基在
21、基 i i 下的坐标下的坐标下的坐标下的坐标则则过过过过渡渡渡渡矩矩矩矩阵阵阵阵第24页，本讲稿共60页2 2坐标变换公式坐标变换公式已知已知空间中两组基：空间中两组基：满足满足:;讨论讨论X和和Y的关系的关系X=CYX=CY第25页，本讲稿共60页例例已知空间已知空间R中两组基中两组基（I）Eij（II）；）；1.求从基（求从基（I）到基（）到基（II）的过渡矩阵）的过渡矩阵C。2.求向量求向量在基（在基（II）的坐标）的坐标Y。第26页，本讲稿共60页线性空间线性空间V与与Fn的同构的同构坐标关系坐标关系坐标关系坐标关系VFnVV的的的的基基基基 1 1，2 2，。，。，。，。n n 由此
22、建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 V V，XX F Fn n，（）=X=X （1 1+2 2）=（1 1）+（2 2）（k k ）=k=k （）在关系在关系 下，线性空间下，线性空间V和和Fn同构。同构。第27页，本讲稿共60页同构的性质同构的性质定理定理1.3:V中向量中向量 1，2，n线性相线性相关关它们的坐标它们的坐标X1,X2,Xn在在Fn中线中线性相关。性相关。同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。应用应用：借助于空间借助于空间Fn中已经有的结论和方法研中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。究一般线性空间的线性关系。第28页，本讲稿共60页1.1.2 2子
23、空间子空间概述：概述：线性空间线性空间V中，向量集合中，向量集合V可以有集可以有集合的运算和关系：合的运算和关系：Wi V，W1 W2，W1 W2，问问题题：这这些些关关系系或或运运算算的的结结果果是是否否仍仍然然为为线性空间线性空间？第29页，本讲稿共60页1、子空间的概念定定义义：设设非非空空集集合合W V，W，如如果果W中中的的元元素素关关于于V中中的的线线性性运运算算为为线线性性空空间间，则称则称W是是V的子空间的子空间。判别方法：判别方法：ImportantTheoremImportantTheoremW是子空间是子空间W对对V的线性运算封闭的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子
24、空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子子子子空空空空间间间间的的的的判判判判别别别别方方方方法法法法可可可可以以以以作作作作为为为为判判判判别别别别线线线线性性性性空空空空间间间间的的的的方方方方法法法法第30页，本讲稿共60页子空间和非子空间的例子：子空间和非子空间的例子：V=x=(x1，x2，0 R 3，是子空间，是子空间V=x=(x1，x2，1 R 3，不是子空间，不是子空间矩阵矩阵A R mn，齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0AX=0的解集：是子空间的解集：是子空间的解集：是子空间的解集：是子空间 S=X X：AX=0AX=0 Rn，非齐次线性方程
25、的解集：非齐次线性方程的解集：不是子空间不是子空间M=X：AX=b第31页，本讲稿共60页重要的子空间：重要的子空间：重要的子空间：重要的子空间：生成子空间生成子空间生成子空间生成子空间 设设设设向向向向量量量量组组组组 1 1，2 2，mm V V，由由由由它它它它们们们们的的的的一一一一切切切切线线线线性组合生成的子空间：性组合生成的子空间：性组合生成的子空间：性组合生成的子空间：SpanSpan 1 1，2 2，mm=L(=L(1 1，2 2，mm)=k k1 1 1 1+k k2 2 2 2+k kmm mm|k ki i 生成子空间的重要的性质：生成子空间的重要的性质：生成子空间的重
26、要的性质：生成子空间的重要的性质：1 1）如如如如果果果果 1 1，2 2，mm线线线线性性性性无无无无关关关关，则则则则其其其其为为为为生生生生成成成成子子子子空空空空间间间间SpanSpan 1 1，2 2，mm 的一组基；的一组基；的一组基；的一组基；2 2）如如如如果果果果 1 1，2 2，r r是是是是向向向向量量量量组组组组 1 1，2 2，mm的的的的最最最最大大大大线线线线性无关组，则性无关组，则性无关组，则性无关组，则SpanSpan 1 1，2 2，mm 1 1，2 2，r r是是是是SpanSpan 1 1，2 2，mm 的一组基的一组基的一组基的一组基第32页，本讲稿共
27、60页2、子空间的子空间的“交空间交空间”与与“和空间和空间”讨讨讨讨论论论论：设设设设WW 1 1 V V，WW2 2 V V，且且且且都都都都是是是是子子子子空空空空间间间间，则则则则WW1 1 WW2 2和和和和WW1 1 WW2 2是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？1.1.（1 1）交空间交空间交空间交空间 交集：交集：交集：交集：WW1 1 WW2 2=WW1 1 而且而且而且而且 WW2 2 V Vn n（F F）WW1 1 WW2 2是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为“交空间交空间交空间交空间”（2 2）和空间）
28、和空间）和空间）和空间和的集合：和的集合：和的集合：和的集合：WW1 1WW2 2=X=X1 1X X2 2 X X1 1 WW1 1，X X2 2 WW2 2，WW1 1 WW22 WW1 1WW2 2WW1 1WW2 2是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为“和空间和空间和空间和空间”，WW1 1 WW2 2不一定是子空间，不一定是子空间，不一定是子空间，不一定是子空间，WW1 1 WW2 2 WW1 1WW2 2 第33页，本讲稿共60页例例设设R3中的子空间中的子空间W1=Le1，W2=Le2 求和空间求和空间求和空间求和空间WW1 1WW2 2。比较：集合比
29、较：集合比较：集合比较：集合WW1 1 WW2 2和集合和集合和集合和集合WW1 1WW2 2。如果如果如果如果WW1 1=SpanSpan 1 1，2 2，mm，WW2 2=SpanSpan 1 1，2 2，k k，则则则则 WW1 1WW2 2=SpanSpan 1 1，2 2，mm，1 1，2 2，k k 第34页，本讲稿共60页3、维数公式、维数公式子空间的包含关系子空间的包含关系：dimdimWW1 1 WW22 dimdimWWii dimdimWW1 1WW22 dimdimV V。维数定理维数定理：dimdimWW1 1dimdimWW2 2=dimdim（WW1 1WW2 2
30、）dimdim（WW1 1 WW2 2）证明：证明：证明：证明：第35页，本讲稿共60页4、子空间的直和、子空间的直和分析分析：如果如果dim（W1 W2）0，则，则dim（W1W2）dimW1dimW2所以：所以：dim（W1W2）=dimW1dimW2dim（W1 W2）=0W1 W2=0直和的定义直和的定义：若若 dim（W1 W2）=0，则和为直和，则和为直和W=W1W2=W1 W2，第36页，本讲稿共60页子空间的子空间的“和和”为为“直和直和”的充要的充要条件条件：Theorem设设W=W1W2，则下列各条等价：，则下列各条等价：（1）W=W1 W2（2）X W，X=X1X2的表的
31、表是惟一的是惟一的（3）W中零向量的表示是惟一的中零向量的表示是惟一的（4）dimW=dimW1dimW2第37页，本讲稿共60页例例设在设在Rnn中，子空间中，子空间W1=A AT=A，W2=B BT=B，证明证明Rnn=W1 W2。第38页，本讲稿共60页13线性变换线性变换(LinearTransformations)(LinearTransformations)一、一、线性变换的概念线性变换的概念1.1.线性变换的来历；线性变换的来历；线性变换的来历；线性变换的来历；Definition：（i）T是是V上的映射：上的映射：T：VV。(ii)T具有线性性：具有线性性：T（）=T（）T（）
32、(保持加法的三角形法则保持加法的三角形法则保持加法的三角形法则保持加法的三角形法则)T（k）=kT（）(保持比例关系保持比例关系保持比例关系保持比例关系)第39页，本讲稿共60页22线性变换的性质：线性变换的性质：线性变换的性质：线性变换的性质：（i）T T(0 0)=0=0（ii ii）T T()=T T()（iiiiii）T(T(k k1 1 1 1+k k2 2 2 2+k kmm mm)=)=k k1 1T(T(1 1)+)+k k2 2T(T(2 2)+.+)+.+k kmmT(T(mm)3 3线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和
33、零空间设线性变换设线性变换设线性变换设线性变换T T：V VV V，象空间象空间象空间象空间ImIm(T T)=：V V，=T=T()零空间零空间零空间零空间Ker(Ker(T T)=：V V，TT()=0=0定义：定义：定义：定义：TT的秩的秩的秩的秩=dimdimRR（T T）；）；）；）；TT的零度的零度的零度的零度=dim dim N N（T T）线性变换保持线性线性变换保持线性线性变换保持线性线性变换保持线性相关性不变！相关性不变！相关性不变！相关性不变！第40页，本讲稿共60页例例例例(P018)(P018)R Rn n中的变换中的变换中的变换中的变换 T T：设：设：设：设AA
34、R Rnnnn是一个给定的是一个给定的是一个给定的是一个给定的 矩阵，矩阵，矩阵，矩阵，X X R Rn n，T(X)=AXT(X)=AX。(1)T(1)T是线性变换；是线性变换；是线性变换；是线性变换；(2)Ker(T)(2)Ker(T)是是是是AX=0AX=0的解空间；的解空间；的解空间；的解空间；(3)Im(T)=Span(3)Im(T)=Spana a1 1，a a2 2，a ann,其中其中其中其中a ai i是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的列向的列向的列向的列向量；量；量；量；(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n 第41页，本
35、讲稿共60页4 4线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算设设设设T T1 1，T T2 2都都都都是是是是空空空空间间间间V V中中中中的的的的线线线线性性性性变变变变换换换换，常常常常见见见见的的的的用用用用它它它它们们们们构构构构成成成成的的的的新的变换：新的变换：新的变换：新的变换：（i i）T T1 1T T22 V V，（T T1 1T T2 2）（）（）（）（）=T=T1 1（）T T2 2（）（ii ii）T T1 1T T2 2 V V，(T T1 1T T2 2)（）=T=T1 1（T T2 2（）（iiiiii）k kTT V V，（k kT T）（）（）
36、（）（）=k k（T T（）（iviv）若若若若TT1 1是可逆变换，是可逆变换，是可逆变换，是可逆变换，T T1 1 TT1 1()=当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当T T()=。定义定义定义定义第42页，本讲稿共60页二、二、线性变换的矩阵线性变换的矩阵 1 1线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式Purpose:Purpose:将抽象的线性变换与矩阵对应起来将抽象的线性变换与矩阵对应起来将抽象的线性变换与矩阵对应起来将抽象的线性变换与矩阵对应起来T的矩阵的矩阵第43页，本讲稿共60页二、二、线性变换的矩阵线性变换的
37、矩阵总结：总结：V上线性变换的特点分析：上线性变换的特点分析：定义变换定义变换T确定基中向量的象确定基中向量的象T（i）。）。定定义义T（i）确确定定它它在在基基下下 i的的坐坐标标Ai。定义变换定义变换T确定矩阵确定矩阵A=A1，A2，An第44页，本讲稿共60页例例已知已知定义映射定义映射T：(1)证明证明T是是V上的线性变换；上的线性变换；(2)求求V的一组基，并求的一组基，并求T在这组基下的矩阵。在这组基下的矩阵。Step1.确定基中向量的象确定基中向量的象T（i）。）。Step2.确定它在基下确定它在基下 i的坐标的坐标Ai。Step3.确定矩阵确定矩阵A=a1，a2，anKeypo
38、int:Keypoint:第45页，本讲稿共60页2线性变换运算的矩阵对应：线性变换运算的矩阵对应：设设V上上的的线线性性变变换换T1，T2，它它们们在在同同一一组组基基下的矩阵：下的矩阵：T1A1；T2A2（i）（T1T2）（A1A2）（ii）（T1T2）A1A2（iii）（kT）kA（iv）T1A1第46页，本讲稿共60页3不同基下的变换矩阵不同基下的变换矩阵两两组组基基 1，2，,n，1，2，,n，（1 2 n）=（1 2 n）CT（1 2 n）=（1 2 n）AT（1 2 n）=（1 2 n）B同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在
39、不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C1AC123第47页，本讲稿共60页*例例（P025，例例1.4.6）*例例设单位向量设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定，定R3上的线性变换上的线性变换P（x）=x-（x，u）u，1.求求P在自然基在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵。下的变换矩阵。2.求求P在标准正交基在标准正交基u，u2，u3下的变换矩下的变换矩阵。阵。第48页，本讲稿共60页2.1内积与欧氏空间内积与欧氏空间InnerProduct&EuclidianSpacesInnerProduct&EuclidianSpaces内积的作用：内积的作用：
40、研究高维空间中的几何问题研究高维空间中的几何问题。1Example:R3上的内积定义上的内积定义2内积的公理化定义内积的公理化定义Definition：要点：要点 内积内积(，)是二元运算：是二元运算：VVR(，)的公理性质的公理性质(，)是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。讨论讨论(，1 2),(，k)第49页，本讲稿共60页3常见的内积空间：常见的内积空间：Rn；Remark:对对于于同同一一个个线线性性空空间间，可可以以定定义义不不同的内积成为不同的欧氏空间同的内积成为不同的欧氏空间Rmn；第50页，本讲稿共60页4向量的长度向量的长度定义：定义：|=5欧氏空间中向量的夹角：欧氏
41、空间中向量的夹角：定义：定义：0，0，夹角，夹角 定义为：定义为：cos=性质：性质：|k k|=k k|；三角不等式三角不等式三角不等式三角不等式(Cauchy(Cauchy不等式不等式不等式不等式)：，V,V,|(，)|。|和和和和 正交正交正交正交 （，）=0=0 第51页，本讲稿共60页6线性空间的内积及其计算：线性空间的内积及其计算：设设 1，2，,n是是内内积积空空间间V的的基基，V，则有，则有=x1 1x2 2x n n=(1 2 n)X；=y1 1y2 2y n n=(1 2 n)Y(，)=Y HAX，定义内积定义内积在一个基在一个基 1，2，n中定义内积中定义内积定义一个度量
42、矩阵定义一个度量矩阵A。度度量量矩矩阵阵A度量矩阵的性质：度量矩阵的性质：第52页，本讲稿共60页2.2标准正交基标准正交基OrthogonalBasisOrthogonalBasis1正交的向量组：正交的向量组：定义：定义：定义：定义：1 1，2 2，n n为正交组为正交组为正交组为正交组(i i，j j)=0=0性质：性质：性质：性质：不含零向量的正交向量组线性无关。不含零向量的正交向量组线性无关。不含零向量的正交向量组线性无关。不含零向量的正交向量组线性无关。2标准正交基标准正交基基基基基 1 1，22，n n是标准正交基是标准正交基是标准正交基是标准正交基(i，j)=要点要点要点要点：
43、是基，是基，是基，是基，两两正交，两两正交，两两正交，两两正交，每一个向量是单位每一个向量是单位每一个向量是单位每一个向量是单位向量向量向量向量第53页，本讲稿共60页标准正交基的优点：标准正交基的优点：度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即A=IA=I =(1 1 2 2 nn)X X，=(1 1 2 2 nn)Y Y，(，)=Y=YHHX X =x x1 1 1 1x x2 2 2 2x x n n n n，x xi i=(，i i)和和和和 正交正交正交正交其坐标其坐标其坐标其坐标 X X和和和和Y Y正交正交正交正交坐坐坐坐标标标标空空
44、空空间间间间Fn的的的的内内内内积积积积标准正交基的存在性：求标准正交基的步骤标准正交基的存在性：求标准正交基的步骤：Step1.Schmidt正交化正交化Step2.标准化标准化第54页，本讲稿共60页例例已知已知(1)证明证明(X,Y)是是V上的内积；上的内积；(2)求求W的一组标准正交基。的一组标准正交基。Keypoint:Keypoint:1.1.找到找到找到找到V V的一组基；的一组基；的一组基；的一组基；2.2.将这组基正交化，单位化将这组基正交化，单位化将这组基正交化，单位化将这组基正交化，单位化第55页，本讲稿共60页“正交补正交补”子空间子空间(i)集合的集合的U的正交集：的
45、正交集：U=V：U，(，)=0(ii)U是是V的子空间的子空间U 是是V子空间子空间(iii)V=U U。U的正交补子空间的正交补子空间第56页，本讲稿共60页四、四、正交变换和酉变换正交变换和酉变换讨论欧氏空间讨论欧氏空间讨论欧氏空间讨论欧氏空间V V中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。11正交变换的定义；正交变换的定义；正交变换的定义；正交变换的定义；22正交变换的充要条件：正交变换的充要条件：正交变换的充要条件：正交变换的充要条件：（Theorem,Theorem,P042P042）T T是内积空间是内积空间是内积空间是内积空间V V上的线性变
46、换，则下列命上的线性变换，则下列命上的线性变换，则下列命上的线性变换，则下列命题等价：题等价：题等价：题等价：T T是正交变换是正交变换是正交变换是正交变换T T保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变T T把把把把V V的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基T T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵3 3正交矩阵的性质正交矩阵的性质正交矩阵的性质正交矩阵的性质正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵C C：C CT TC
47、=IC=I正交矩阵的判定：正交矩阵的判定：正交矩阵的判定：正交矩阵的判定：A A是正交矩阵是正交矩阵是正交矩阵是正交矩阵,每个行（列）向量是单位向量；每个行（列）向量是单位向量；每个行（列）向量是单位向量；每个行（列）向量是单位向量；每两行（列）正交。每两行（列）正交。每两行（列）正交。每两行（列）正交。第57页，本讲稿共60页常见的基本正交变换常见的基本正交变换常见的基本正交变换常见的基本正交变换：平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转几何描述：几何描述：几何描述：几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个 角
48、。角。角。角。变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，R R3 3空间中的镜像变换空间中的镜像变换空间中的镜像变换空间中的镜像变换定义：定义：定义：定义：S S（x x）=x x2 2（x x，u u）u u。变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义空间中的旋转空间中的旋转空间中的旋转空间中的旋转几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的 一根直线一根直线一根直线一根直线L L，旋转一旋转一旋转一旋转一 个个个个 角。角。角。角。变换矩阵变换矩阵变换矩阵
49、变换矩阵第58页，本讲稿共60页五、五、酉空间和酉变换酉空间和酉变换把内积空间中的数域换成复数域把内积空间中的数域换成复数域把内积空间中的数域换成复数域把内积空间中的数域换成复数域C,C,复内积空间复内积空间复内积空间复内积空间(酉空间酉空间酉空间酉空间)11酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；22酉变换和正交变换酉变换和正交变换酉变换和正交变换酉变换和正交变换 33正规变换与正规矩阵的定义；正规变换与正规矩阵的定义；正规变换与正规矩阵的定义；正规变换与正规矩阵的定义；4SchurLema;4SchurLema;5Hermite5Hermite矩阵的性质；矩阵的性质；矩阵的性质；矩阵的性质；66矩阵的奇异值。矩阵的奇异值。矩阵的奇异值。矩阵的奇异值。第59页，本讲稿共60页推荐练习题：第一、二章推荐练习题：第一、二章P026：4；5；6；10；11；13；14P053：2；5；10第60页，本讲稿共60页