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1、第1章矩阵的初等变换与线性方程组2次1第1页，本讲稿共38页 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。2第2页，本讲稿共38页 线性代数作为独立的分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作九章算术方程中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代
2、的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在1819世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。3第3页，本讲稿共38页 向量概念的引入，形成了向量空间的概念。线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。许多经济学、工程学、物理、化学等领域的大型线性问题的计算使得线性代数成为
3、应用最广泛的数学学科之一。4第4页，本讲稿共38页第一章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换1.3 解线性方程组的的消元法1.2 矩阵及初等变换1.1 若干典型问题5第5页，本讲稿共38页今有30000美元投资给三个投资公司A，B，C，投资给这三个公司的(平均)年利润率分别为12、15、22。投资者投资目标是(平均)年总利润为6000美元，投资者要求投给公司B的资金是投给公司A的2倍。为了达到这个投资目标与要求，应当投资每个公司各多少美元?解 设投资于公司A，B，C的资金分别为问题1（投资问题）6第6页，本讲稿共38页问题：（1）如何判别（*）是否有解？若有解，解是否唯一？（2）如何解（*）？
4、（3）当（*）有无穷多解时，其解如何表示？（*）问题2.线性方程组的一般理论7第7页，本讲稿共38页 问题3 航线连接问题 四个城市间的单向航线如图：1234 可简单地用一个数表来表示：8第8页，本讲稿共38页 问题4 Fibonacci数列(兔子繁殖问题）Fibonacci数列满足递推关系式：其中 利用矩阵的对角化方法，可以得到该数列一般项的显示表达式。问题5 二次曲面的图形线性代数的最基本研究对象线性方程组线性代数研究中的最基本工具矩阵线性代数研究的非常有用的方法矩阵的初等变换9第9页，本讲稿共38页 矩阵诞生于矩阵诞生于1919世纪，晚于行列式约一百年。从表世纪，晚于行列式约一百年。从表
5、面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这种号；但是，正是这种“结构好的语言的好处，它的简结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深奥理论的源泉。洁的记法常常是深奥理论的源泉。”(P.S.Laplace)”(P.S.Laplace)进入进入2020世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，作为研究课题已寿终正寝。成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的随着电子计算机的发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研究进入一个新的发
6、展阶段。展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。2 矩阵及其初等变换10第10页，本讲稿共38页定义定义 为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。11第1 1页，本讲稿共38页(1)11的矩阵可以理解为一个数。(2)行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。(3)只有一行的矩阵称为行矩阵或 n 维行向量。称为列矩阵或 m 维列向量。(4)只有一列的矩阵12第12页，本讲稿共38页(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O。(6)矩阵(约定未写出的元素全为零)称为单位矩阵。(7)矩阵称为对角矩阵。记作13第13页，本讲稿共38页定义定义设，如果(此时称A与B是同
7、型矩阵同型矩阵)且则称 A A 与与 B B 相等相等，记作 A=B。问：与 相等吗？14第14页，本讲稿共38页(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种初等行变换初等行变换(1)交换矩阵的某两行，记为(2)以不等于的数乘矩阵的某一行，记为记为类似定义三种初等列变换初等列变换以上六种变换统称为矩阵的初等变换初等变换定义定义15第15页，本讲稿共38页定义定义行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵及行最简行最简(阶梯阶梯)形矩阵形矩阵(行最简形就是所谓的最简单的“代表”)书P.5-定义4行阶梯形矩阵16第16页，本讲稿共38页行最简阶梯形矩阵（3）台阶左下方元素
8、全为零；（1）每个台阶上只有一行；（2）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行最简阶梯形(1)(2)(3)+(4)台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。17第17页，本讲稿共38页 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。书P6-定理1.1.1定理定理 例118第18页，本讲稿共38页化阶梯形：从上到下，从左到右化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。化最简形：从下向上，从右到左。19第19页，本讲稿共38页练习 将下列矩
9、阵用初等行变换化为阶梯形矩阵,再化为行最简阶梯形矩阵20第20页，本讲稿共38页矩阵的初等行变换是可逆的矩阵的初等行变换是可逆的,其逆变换仍为初等变换其逆变换仍为初等变换,且且变换类型相同变换类型相同初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换21第21页，本讲稿共38页如果,则称 A A 与与 B B 相抵相抵(也称等等价价)定义定义矩阵的相抵关系是不是一个等价关系?(等价关系)在一个集合 S 中如果有一种关系 R 满足(1)自反性：aRa;(2)对称性：aRb bRa;(3)传递性：aRb,bRc aRc。则称 R 为 S 的一个等价关系 等价关系。定义定义作业 P7 3 4 课后思考 P7
10、 5 622第22页，本讲稿共38页第一章解线性方程组的削元法与矩阵的初等变换1.3 解线性方程组的削元法1.2 矩阵及其初等变换1.1 若干典型问题第23页，本讲稿共38页（*）线性方程组记一.线性方程组的矩阵形式24第24页，本讲稿共38页（*）（1）若，则称（*）为非齐次线性方程组;（2）若，则称（*）为齐次线性方程组.25第25页，本讲稿共38页例1 线性方程组（*）系数矩阵增广矩阵记26第26页，本讲稿共38页引例 用加减消元法解方程组27第27页，本讲稿共38页28第28页，本讲稿共38页29第29页，本讲稿共38页30第30页，本讲稿共38页例2求解非齐次线性方程组解解 对增广矩
11、阵用行变换化阶梯形最后一行对应的方程是：0=20=2,所以无解。31第31页，本讲稿共38页解方程组例3第一步 第一步:把增广矩阵用行变换化阶梯形,判断是否有解;若有解,继续化为行最简阶梯形矩阵。32第32页，本讲稿共38页第二步 第二步：写出等价的(独立的)方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为自由变量。第三步 第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。令通解33第33页，本讲稿共38页思考 利用矩阵解线性非齐次方程组的步骤.祥见教材第12页.练习 解方程组34第34页，本讲稿共38页例4求解齐次线性方程组解解对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形:35第35页，本讲稿共38页写出等价方程组并移项:36第36页，本讲稿共38页令写出参数形式的通解,再改写为向量形式:通解其中 为任意实数。37第37页，本讲稿共38页思考 利用矩阵解线性齐次方程组的步骤.祥见教材第14页.练习 解方程组作业 P16 1(1)(4);2课后思考 P16 3;438第38页，本讲稿共38页