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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么同济大学数学系同济大学数学系 2009-3-222009-3-22第第1 1章章 线性空间与线线性空间与线性变换性变换武汉理工大学理学院武汉理工大学理学院在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.1线性空间的基本概念线性空间的基本概念2定义定义：设：设F 是复数的一个非空集合，若满足是复数的一个非空集合，若满足1 1）F中包含中包含0 0和和1 1；2 2）F对数的四则运算封闭对数的四则运算封闭则称集合则称集合F是一个是一个数
2、域数域（field）例子：例子：本教程所见数域都是实数域本教程所见数域都是实数域R或者是复数域或者是复数域C在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么线性空间的定义线性空间的定义3定义：设定义：设V 是一个非空集合，是一个非空集合，F 为数域，为数域，a a,b b,g g V,对于任意的对于任意的a a,b b V,总有唯一的元素总有唯一的元素g g V与之对应，与之对应，称称 g g 为为a a 与与b b 的和，的和，记作记作 g g=a a+b b，且，且在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费
3、，也许你认为浪费这一点点算不了什么4对于任意的对于任意的 l l F 及任意的及任意的a a V ，总有唯一的元素总有唯一的元素d d V 与之对应，与之对应，称称d d 为为l l与与a a 的积，记作的积，记作 d d=lala，且，且则则称称V为数域为数域F上的线性空间，上的线性空间，称称V的元素为向量，的元素为向量，称满足称满足(1)-(4)的和为加法，的和为加法，满足满足(5)-(8)的积为数乘。的积为数乘。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5定义加法：定义加法：例例1.实数域上全体实数域上全体n 维向量的集合维向
4、量的集合定义数乘：定义数乘：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2 2 实数域实数域R上的全体上的全体m n矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成和数乘运算构成R上的线性空间，记作上的线性空间，记作Rmn Rm n是一个线性空间。是一个线性空间。6在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对于多项式的加法、数乘多项式构成对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。线性空间。7例例3 3 次数小于次数小于n 的多项式的全体，记作的多项式的全体，记作 Px
5、n在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对于多项式的加法和乘数运算不构成对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间线性空间n-1次多项式的全体次多项式的全体001+=aaxaxaxQn-1n-1n-1nL例例4 4.对运算不封闭对运算不封闭xQn8在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例5 5在区间在区间a,b上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的上的线性空间，记作线性空间
6、，记作Ca,b。9 Ca,b是一个线性空间。是一个线性空间。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例6 6 正实数的全体正实数的全体R+，在其中定义加法及乘数，在其中定义加法及乘数运算为运算为验证验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间10在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么有有对任何对任何中存在零元素中存在零元素,1)3(+RaR使使有负元素有负元素,)4(1+-+RaRa证明证明11在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象
7、。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么所以所以对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间12在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么线性空间的性质线性空间的性质（1）V V中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。（2）V V中任何元素的负元素是惟一的。中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定义定义:设设V 是一个线性空间，是一个线性空间，a a1,a a2,
8、a anV 若若(1)a a1,a a2,a an线性无关，线性无关，(2)a aV,a a 可由可由a a1,a a2,a an线性表示，线性表示，a a=x1a a1+x2a a2+xna an则称则称a a1,a a2,a an为为V 的一组基，的一组基，称称x1,x2,xn为为a a 在基在基a a1,a a2,a an下的坐标，下的坐标，称称n为为V 的维数，记作的维数，记作dimV=n。14维数，基与坐标维数，基与坐标在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么15例例1 设设则则是实数域是实数域 R 上的线性空间。上的线
9、性空间。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么16自然基自然基在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么17例例2设设下的坐下的坐标标。求求a a=(1,0,-1)T在在基基为为R3的一组基，的一组基，在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么18在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么19例例3求求中的元素中的元素，在基，在基下的坐下的坐标标
10、。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么20解：解：设设在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么21在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定理定理:设设aa1 1,aa2 2,aar r(1(1 r r nn)是是n维线性空间维线性空间V 中中的的r个线性无关的向量，个线性无关的向量，则存在则存在V V 中中n-rn-r个向量个向量aar+1r+1,aann 使得使得aa1 1,aar r ,aar+
11、1r+1,aann 成为成为V V 的基的基.基的基的扩张扩张定理定理在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么基基变换变换与坐与坐标变换标变换定义定义:设设V 是一个线性空间，是一个线性空间，a a1,a a2,a anV b b1,b b2,b bnV 为为V 的两组基，若的两组基，若【基基变换变换公式公式】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么的的则则 P 称称为为由基由基到基到基【基基变换变换公式公式】转转移矩移矩阵阵（或（或过过渡矩渡矩阵阵），其中），其中在
12、日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么25例例3设设是是中的两中的两组组基，求由基基，求由基到基到基的的转转移矩移矩阵阵P P；在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么26基基变换变换公式公式P 是由基是由基到基到基的的转转移矩移矩阵阵P在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定理定理:设设V 是线性空间是线性空间，a a1,a a2,a an,b b1,b b2,b bn 是是V 的两组基，的两组基，P
13、 是由基是由基a a1,a a2,a an到到b b1,b b2,b bn 的的过过渡矩渡矩阵阵，则则是由是由x 到到y 的坐的坐标变换标变换公式，其中公式，其中在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么28在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2929例例4设设是是中的两中的两组组基，基，下的坐下的坐标标在在基基下的坐下的坐标标。向量是向量是，求，求 在在基基在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么30
14、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么31定义定义:设设V 是数域是数域F上的线性空间，上的线性空间，W 是是V 的非空子集，的非空子集，若对于若对于V 中的加法和数乘二种运算，中的加法和数乘二种运算，W 是数域是数域F 上的线性空间，则称上的线性空间，则称W 是是V 的子空间。的子空间。定理定理:设设V 是数域是数域F上的线性空间，上的线性空间，W 是是V 的非空子集，的非空子集，若若W 对于对于V 中的加法和数乘二种运算封闭中的加法和数乘二种运算封闭，即，即则称则称W 是是V 的子空间。的子空间。1.2子空间与维数定理子空间
15、与维数定理在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么32例例1.实数域上实数域上n 维向量的集合维向量的集合例例2.设设A为为m n 矩阵，矩阵，向量的集合向量的集合在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例3.设设V 是数域是数域F上的线性空间，上的线性空间，V 的子空间的子空间,记作记作在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么则则定理定理:设设V 是是F上的线性空间，上的线性空间，在日常生活中，随处都
16、可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么为为W1与与W2 的和，记作的和，记作W1+W2定义定义:设设W1,W2 是线性空间是线性空间V 的子空间，称集合的子空间，称集合称集合称集合为为W1与与W2 的交，记作的交，记作W1W2在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定理定理:设设W1,W2 是线性空间是线性空间V 的子空间，则的子空间，则W1+W2与与W1W2都是都是V 的子空间。的子空间。称称W1+W2为为W1与与W2 的和空间，的和空间，称称W1W2为为W1与与W2 的积空间。的积
17、空间。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4.线性空间线性空间R3的子空间的子空间求求Rx+Ry，Rx+Rxy和和RxRxy。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例题 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定理定理(维数公式维数公式):设设V1,V2 是线性空间是线性空间V 的子空间，
18、则的子空间，则维维数公式数公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例5设设V1,V2 是是n维线性空间维线性空间V 的子空间，若的子空间，若则则V1,V2 中必有非零的公共向量。中必有非零的公共向量。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么子空间的直和子空间的直和定义：设定义：设V1,V2 是线性空间是线性空间V 的子空间，若对每个向量的子空间，若对每个向量a V1+V2都有唯一的分解式都有唯一的分解式则称则称V1与与V2 的和的和V1+V2是直和，记作是直和，
19、记作V1 V2。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1.线性空间线性空间R3的子空间的子空间求求Rx Ry，Rx Ryz。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定理：设定理：设V1,V2 是线性空间是线性空间V 的子空间，则下列命题等价的子空间，则下列命题等价(2)向量向量0的分解式是唯一的；的分解式是唯一的；(4)V1的一组基与的一组基与V2 的一组基的的一组基的简单并简单并是是V1+V2的基；的基；(1)V1与与V2 的和的和V1+V2是直和是直和;(3
20、)V1V2=0;(5)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.设设在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定理：设定理：设U 是线性空间是线性空间V 的子空间，则存在的子空间，则存在V 的的子空间子空间W，使得，使得V=U W。称称W 是是U在在V中的直和补。中的直和补。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.3线性空间的同构线性空间的同构在日常生
21、活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么同构的性质同构的性质同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。定理：数域定理：数域F上两个有限维线性空间同构的充上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数分必要条件是他们有相同的维数.应用：借助于空间应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法可中已经有的结论和方法可以研究一般线性空间的线性关系。以研究一般线性空间的线性关系。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.4线性变换线性变换定义定义 设设V为线性空间，为线性空间
22、，V上的变换上的变换T:VV 若满足若满足则称则称 T 为为V上的线性变换。上的线性变换。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1.设设T 为为R2上的线性变换，上的线性变换，T:R2R2T(a)=a（如图）（如图）T 把向量把向量a 绕原点逆时针绕原点逆时针旋转旋转q q角度变换为角度变换为a。xyOaa q q称称T为旋转为旋转变换。变换。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.设设T 为为R3上的线性变换，上的线性变换，T:R3R3在日常生活中，随
23、处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例3.设设T 为为 上的线性变换，上的线性变换，其中矩阵其中矩阵A是是n阶方阵阶方阵.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么线性变换的性质：设线性变换的性质：设T是是V上的线性变换，则上的线性变换，则在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么线性变换的矩阵线性变换的矩阵定义定义 设设 T 为为V上的线性变换，上的线性变换，a a1,a a2,a an为为 V的基的基在日常生活中，
24、随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么A 称称为为T 在基在基a a1,a a2,a an下的矩下的矩阵阵.55A在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么线性变换的核与像线性变换的核与像56在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1.设设T 为为上的上的线线性性变换变换，求求T 在基在基下的矩下的矩阵阵.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：解
25、：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.设设T 为为R3上的上的变换变换，下的矩下的矩阵阵.(2)求求T 在基在基(1)证证明：明：T 为为R3上的上的线线性性变换变换；(3)求T 的象和核在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例例例 已知已知已知已知线线线线性空性空性空性空间间间间定义映射定义映射定义映射定义映射 T T：(1)(1)证明证明证明证明
26、T T是是是是V V上的线性变换；上的线性变换；上的线性变换；上的线性变换；(2)(2)求求求求V V的一组基，使得的一组基，使得的一组基，使得的一组基，使得T T在这组基下的矩阵为对角阵。在这组基下的矩阵为对角阵。在这组基下的矩阵为对角阵。在这组基下的矩阵为对角阵。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么不变子空间不变子空间定义定义:设设V 是线性空间是线性空间，W是是V 的子空间，的子空间，T 是是V上的上的线性变换线性变换，若，若 a W,都有都有T(a)W,则称则称W是是V的的T不变不变空间。空间。例例设设T 是线性空间是线性空间V上的上的线性变换，则线性变换，则 ImT,KerT 是是T 不变不变空间；空间；