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1、 2003 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一、选择题（本大题共 12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知x(A2,0),cosx 7244,则tg2x 57B24CCsin 2（）247D247（）2圆锥曲线8sin的准线方程是cos2Bcos 2Acos 2Dsin 22x1,x 0,若f(x0)1,则x0的取值范围是3设函数f(x)12x,x 0.A（1，1）B(1，+）D(,1)(1,)D2（）C(,2)(0,)4函数y 2sin x(sin x cosx)的最大值为A12B2 1C2(）225已知圆C:(x a)
2、(x 2)4(a 0)及直线l:x y 3 0.当直线l被C截得的弦长为2 3时，则 a=A2B22C2 1D2 16已知圆锥的底面半径为R，高为 3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A2R22BR2942CR832Dr3227已知方程(x 2x m)(x 2x n)0的四个根组成的一个首项为A1B1的等差数列，则|m n|（）434C12D388已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y x 1与其相交于M、N 两点，MN 中点的横坐标为2,则此双曲线的方程是3（)x2y21A34x2y21B43x2y21C52x2y21D259函数f(x)sin x,x322,的反函
3、数f1(x)（）Aarcsinx,x1,1C arcsin x,x1,1Barcsin x,x1,1Darcsin x,x1,110已知长方形的四个项点A（0，0),B（2，0），C（2,1）和D（0,1），一质点从AB 的中点 P0沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3和 P4（入射解等于反射角），设P4坐标为(x4,0),若1 x4 2,则tg的取值范围是A(,1)D(,)（)13B(,)1 23 3C(,)2 15 22 25 3222C2C32C4Cn11limnn(C1C1C1C1)234n(）A3B13C16D6(）
4、12一个四面体的所有棱长都为2,四个项点在同一球面上,则此球的表面积为A3B4C33D6二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。13(x 219)展开式中x9的系数是.2x14使log2(x)x 1成立的x的取值范围是.15如图，一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。（以数字作答）16下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为具所在棱的中点，能得出l面 MNP的图形的序号是。（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题:本大题共 6 小题，共 74
5、 分.解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）已知复数 z 的辐角为 60，且|z 1|是|z|和|z 2|的等比中项.求|z|。18(本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三形,ACB=90，侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1与A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G。（）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（）求点 A1到平面 AED 的距离。19（本小题满分 12 分）已知c 0.设P：函数y c在 R 上单调递减.Q：不等式x|x 2c|1的解集为 R
6、，如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求c的取值范围.20（本小题满分 12 分)x在某海滨城市附近海面有一台风，据监测,当前台风中心位于城市O(如图）的东偏南(arccos2)方向10300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大。问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21（本小题满分 14 分）已知常数a 0,在矩形 ABCD 中,AB=4，BC=4a，O 为 AB 的中点，点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且BECFDG，P 为 GE 与 OF 的交点（如图）,
7、问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为BCCDDA定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。22（本小题满分 12 分，附加题 4 分)ts（)设an是集合2 2|0 s t,且s,t Z中所有的数从小到大排列成的数列，即a1 3,a2 5,a3 6,a4 9,a510,a612,.将数列an各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表:35691012-（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；(i i）求a100.（）（本小题为附加题,如果解答正确,加 4 分，但全卷总分不超过150 分）rts设bn是集合2 2 2|0 r s t,且r,s,t
8、Z中所有的数都是从小到大排列成的数列,已知bk1160,求k.2003 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题1D2C3D4A5C6B7C8D9D10C11B12A二、填空题132114（-1，0）1572162r rcos60 rsin60)，则复数z的实部为.z z r,zz r2由题设2三、解答题：17 解:设z|z 1|2|z|z 2|即:(z 1)(z 1)|z|(z 2)(z 2),r2 r 1 r r2 2r 4,整理得r2 2r 1 0.解得:r 2 1,r 2 1(舍去).即|z|2 1.18（)解：连结 BG，则 BG 是 BE 在 ABD 的射影,
9、即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC，D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC 平面ABC,CDEF为矩形连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中1EF2 FGFD FD2,EF 1,FD 3.(4分)3126于是ED 2,EG.FC CD 2,AB 2 2,A1B 2 3,EB 3.33sinEBG EG6122.A1B与平面ABD所成的角是arcsin.EB3333（）解:ED AB,ED EF,又EF AB F,ED 面A1AB,又ED 面AED.平面AED 平面A1AB,且面AED面A1AB AE.作A1K AE,垂足
10、为K.A1K 平面AED,即A1K是A1到平面AED的距离.在A1AB1中,A1K A1A A1B122 22 62 6A1到平面AED的距离为.AB1332 319解：函数y cx在 R 上单调递减 0 c 1.不等式x|x 2c|1的解集为R 函数y x|x 2c|在R上恒大于1.2x2c,x 2c,x|x2c|x 2c,2c,1函数y x|x2c|在R上的最小值为2c.不等式|x x2c|1的解集为R 2c 1 c.211如果P正确,且Q不正确,则0 c.如果P不正确,且Q正确,则c 1.所以c的取值范围为(0,1,).2220解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向。在
11、时刻：（1）台风中心 P（x,x 300y)的坐标为102t,2y 3007 2 202t.102 202此时台风侵袭的区域是(x x)2(y y)r(t)2,其中r(t)10t 60,若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭,则有(0 x)2(0 y)2(10t 60)2.即(3002227 222 20t)(300 20t)102102(10t 60)2,即t236t 288 0,解得12 t 24答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.21根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点,使得点 P 到两点距离的和为定值.按题意有 A（2，0），B（2，0)，C（
12、2，4a），D(2，4a）设BECFDC(0 k 1)BCCDDA由此有 E（2，4ak），F（24k，4a）,G（2，4a4ak）直线 OF 的方程为:2ax (2k直线 GE 的方程为：a(2k1)y 01)x y 2a 02从，消去参数 k，得点 P（x，y）坐标满足方程2a整理得x2(y a)2当a121a2当a2x2 y2 2ay 021时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.21时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.2111时，点 P 到椭圆两个焦点（a2,a),(a2,a)的距离之和为定值2。222111时,点 P 到椭圆两个焦点（0，
13、a a2),(0,a a2)的距离之和为定值 2a。222当a2当a222（本小题满分 12 分，附加题 4 分)（）解：（i）第四行 17182024第五行 3334364048（i i）解：设a100 2s0 2t0，只须确定正整数s0,t0.t数列an中小于20的项构成的子集为2t 2s|0 s t t0,其元素个数为C2t0(t01),依题意t0(t01)100.满足等式的最大整数t0为 14，所以取t0t022因为 100C14214.s01,由此解得s0 8,a100 214 2816640.(其中,B 2r 2s 2t|0 r s t(）解：bk1160 210 27 23,令M c B|C 1160现在求 M 的元素个数：c B|c 210 2r3因M c B|c 210c B|210 c 210 27c B|210 27 c 210 27 23.2s 2t|0 r s t 10,其元素个数为C10：cB|210 c 210 27210 2s 2r|0 r s 7.某元素个数为C772:c B|210 27 c 210 27 23 210 27 2r|0 r 3322某元素个数为C10:k C10 C7 C31145.