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1、2003 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学一、选择题：每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1暂缺2 已知x(A2,0),cos x 7244,则tan2x 5724BC247Csin 2D（）247（）3圆锥曲线8sin的准线方程是2cosBcos 2Acos 2Dsin 2（）4等差数列an中，已知a1A48B491,a2 a5 4,an 33，则 n 为3C50D515双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 F1、F2，F1MF2=120，则双曲线的离心率为（）A3B62C63D332x1,x 0,5设函数f(x)1若f(x0)1，则
2、x0的取值范围是,2x 0 xA（1，1）B（1，+）D（，1）（1，+）D2（）C（，2）（0，+）7函数y 2sin x(sin x cosx)的最大值为A12B2 1C2（）8已知圆C:(x a)2(x 2)2 4(a 0)及直线l:x y 3 0.当直线l被C截得的弦长为2 3时，则a=A2B22C2 1D2 1（）9已知圆锥的底面半径为R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A2R2BR94,2CR832Dr（）32210函数f(x)sin x,x322的反函数f1(x)Aarcsin x,x1,1C arcsin x,x1,1Barcsin x,x1,1Darcs
3、in x,x1,111已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P0沿与 AB-1-夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1后，依次反射到CD、DA 和 AB 上的点 P2，P3和 P4（入射角等于反射角）.设 P4的坐标为（x4，0），若1 x4 2，则tan 的取值范围是A（）1，1）3B(,）1 23 3C(,)2 15 2D(,)2 25 312一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4C3 3D6二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上13不等式4
4、x x2 x的解集是14(x212x)9展开式中x的系数是15在平面几何里，有勾股定理：“设ABC 的两边 AB、AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则16如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）已知正四棱柱 A
5、BCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点 E 为 CC1中点，点 F 为 BD1中点.（1）证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线；（2）求点 D1到面 BDE 的距离.18（本小题满分 12 分）9已知复数 z 的辐角为 60，且|z 1|是|z|和|z 2|的等比中项.求|z|.x19（本小题满分 12 分）已知 c0，设 P：函数y c在 R 上单调递减Q：不等式 x+|x-2c|1 的解集为 R.如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20（本小题满分 12 分）-2-在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南(arccos2并以
6、 20km/h 的速度向西偏北)方向 300km 的海面 P 处，1045方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21（本小题满分 14 分）已知常数a 0,在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=4a，O 为 AB 的中点，点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA上移动，且BECFDG，P 为 GE 与 OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离BCCDDA的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22（本小题满分 14 分）设an为常数，且an 3n12a
7、n1(nN)（1）证明对任意n 1,an1n3 (1)n12n(1)n2nan；5（2）假设对任意n 1有an an1，求an的取值范围.-3-2003 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B10.D11.C12.A二、填空题：13(2,414三、解答题：（I）证明：取 BD 中点 M，连结 MC，FM，F 为 BD1中点，FMD1D 且 FM=又 EC=2115S2ABC+S2ACD+S2ADB=2SBCD212D1D12CC1，且 ECMC，四边形 EFMC 是矩形EFCC1又 CM面 DBD1EF面 DB
8、D1BD1面 DBD1，EFBD1故 EF 为 BD1与 CC1的公垂线.（II）解：连结 ED1，有VEDBD1VD1DBE由（I）知 EF面 DBD1，设点 D1到面 BDE 的距离为 d，则 SDBCd=SDBDEF.9 分1AA1=2AB=1.BD BE ED 2,EF 22SDBD11133d 2 2 2,SDBC(2)222222 222 3332故点 D1到平面 BDE 的距离为2 3.3r218 解：设z rcos60 rsin60)，则复数z的实部为.z z r,zz r2由题设|z 1|2|z|z 2|即:(z 1)(z 1)|z|(z 2)(z 2),r2 r 1 r r
9、2 2r 4,整理得r 2r 1 0.解得:r 2 1,r 2 1(舍去).即|z|2 1.192-4-20解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.在时刻：（1）台风中心 P（x,22x 300 20t,y）的坐标为102y 3007 2 202t.102此时台风侵袭的区域是(x x)2(y y)r(t)2,其中r(t)10t 60,若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有2227 222 20t)(300 20t)102102(0 x)2(0 y)2(10t 60)2.即(300(10t 60)2,即t236t 288 0,解得12 t 24答：12 小时后该城市开始受
10、到台风的侵袭.21根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值.按题意有 A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）设BECFDC(0 k 1)BCCDDA由此有 E（2，4ak），F（24k，4a），G（2，4a4ak）直线 OF 的方程为：2ax (2k直线 GE 的方程为：a(2k1)y 01)x y 2a 02从，消去参数 k，得点 P（x,y）坐标满足方程2a整理得x2(y a)2当a11a22当a22x2 y22ay 01时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.21时，点 P 轨迹为椭圆的一部
11、分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长2当a2111时，点 P 到椭圆两个焦点（a2,a),(a2,a)的距离之和为定值2222当a2111时，点 P 到椭圆两个焦点（0，a a2),(0,a a2)的距离之和为定值 2a.222-5-22本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14 分.（1）证法一：（i）当 n=1 时，由已知 a1=12a0，等式成立；（ii）假设当 n=k（k1）等式成立，则ak那么ak113k(1)k12k(1)k2a0,52 3k 2ak 3k3k(1)k12k(1)k2k1a051k13(1)k2k1
12、(1)k12k1a0.5也就是说，当 n=k+1 时，等式也成立.根据（i）和（ii），可知等式对任何 nN，成立.证法二：如果设an 3n12(an1a3n1),用an 3n12an1代入，可解出a 1.5n33所以a 是公比为2，首项为a1的等比数列.n553n33n(1)n12nn1即an(1 2a0)(2)(n N).an(1)n2na0.55523n1(1)n132n1（2）解法一：由an通项公式an an1(1)n32n1a0.53an an1(nN)等价于(1)n1(5a01)()n2(n N).23（i）当 n=2k1，k=1，2，时，式即为(1)2k2(5a01)()2k32
13、1 31即为a0()2k3.5 25式对 k=1，2，都成立，有a01(3)111.5253（ii）当 n=2k，k=1，2，时，式即为即为3(1)2k1(5a01)()2k2.2131a0()2k2.式对 k=1，2，都成立，有5251311a0()212 0.综上，式对任意 nN*，成立，有0 a0.52531故 a0的取值范围为(0,).3解法二：如果an an1（nN*）成立，特别取 n=1，2 有a1a013a0 0.11a2a1 6a0 0.因此0 a0.下面证明当0 a0.时，对任意 nN*，33anan1 0.由 an的通项公式5(anan1)23n1(1)n132n1(1)n532n1a0.（i）当 n=2k1，k=1，2时，5(anan1)23n132n1532n1a022n1 32n1532n1 0（ii）当 n=2k，k=1，2时，5(anan1)23n132n1532n1a0123n1 3 2n1 0.故 a0的取值范围为(0,).3-6-