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1、高等数学（下）期末试卷参考答案高等数学（下）期末试卷参考答案一、单项选择题（每题分，总计分）一、单项选择题（每题分，总计分）。1、fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的（）。A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。2223、设uln(xyz)，则div(grad u)（）。A.1212；B.；C.；D.22222222222222xyzxyz(xyz)(xyz)3、设D是xoy面上以(1,1),(1,1),(1,1)为顶点的三角形区域，D1是D中在第一象限的部分，则积分(x ycos xsiny
2、)d（）D33 A.2 cos3xsinyd；B.2x3yd；C.4(x3ycos3xsiny)d；D1D1D12224、设为曲面xyR(R0)上的0z1部分，则ex2y2。sin(x2y2)dS（）；B.ResinR；C.4 R；D.2 ResinR2xx5、设二阶线性非齐次方程yp(x)yq(x)yf(x)有三个特解y1x，y2e，y3e，则其通R2R2解为（）。x2xx2x A.xC1eC2e；B.C1xC2eC3e；C.xC1(ee)C2(xe)；D.C1(ee)C2(e二、填空题（每题分，总计分）二、填空题（每题分，总计分）。x2xxx2x2xx)1、函数f(x,y)2xaxxy2y
3、在点(1,1)处取得极值，则常数a_。2、若曲面x2y3z21的切平面平行于平面x4y6z250，则切点坐标为_。3、二重积分0dyyye11x322222dx的值为_。4、设 空 间 立 体所 占 闭 区 域 为xyz1,x0,y0，上 任 一 点 的 体 密 度 是(x,y,z)xyz，则此空间立体的质量为_。5、微分方程yy的通解为_。2xy三、计算题（每题分，总计分）三、计算题（每题分，总计分）。21、已知f(x,y,z)2xy z及点A(2,1,1)、B(3,1,1)，求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。2z2、设z f(x y
4、,xy)具有连续的二阶偏导数，求。xy3、将函数f(x)3展开成x的幂级数，并指出收敛域。22 x xx24、设y y(x)满足方程y3y 2y 2e，且其图形在点(0,1)与曲线y x x 1相切，求函数y(x)。5、计算Lds，其中L是螺旋线x 8cost,y 8sint,z t对应0 t 2的弧段。x2 y2 z2四、计算题（每题分，总计分）四、计算题（每题分，总计分）。1、设a 0，计算极限lim(n123n23n)的值。aaaa2、计算zdv，其中由不等式z x2 y2及1 x2 y2 z2 4所确定。2223、计算axdydz (z a)2dxdyx2 y2 z2，其中为下半球面z
5、 a x y的下侧，a为大于零的常数。4、将函数f(x)x(1 x 1)展开成以 2 为周期的傅立叶级数。5、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分L(y f2(x)x)dx(x2f(x)y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。五、本题分。五、本题分。(1)n可选题 1、对p 0，讨论级数的敛散性。n1n1n p可 选 题 2、设D (x,y)x y1，u(x,y)与v(x,y)在D上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数，22uu vvF v(x,y)i u(x,y)j,G xyi xyj，且 在D的 边 界 曲
6、线L（正 向）上有u(x,y)1,v(x,y)y，证明F Gd D一、单项选择题（每题分，总计分）一、单项选择题（每题分，总计分）。1、；2、；3、；4、；5、二、填空题（每题分，总计分）二、填空题（每题分，总计分）。1、-5；2、(1,2,2)；3、x11(1e1)；4、；5、y Cy68三、计算题（每题分，总计分）三、计算题（每题分，总计分）。21、已知f(x,y,z)2xy z及点A(2,1,1)、B(3,1,1)，求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。解：由条件得fff 2y,2x,2zxyz1 22AB 1,2,2 AB0,cos
7、,cos,cos3 33122 cos,cos,cos 333从而ffff10=coscoscoslxyz3A(2,1,1)A点 A 的梯度方向是l grad f所以方向导数的最大值是2y,2x,2zA2,4,2f22 42 2224 2 6l2z2、设z f(x y,xy)具有连续的二阶偏导数，求。xy解：z f1 yf2,xz f1 xf2yf1f22z zf yf y f212xyyxyyy(f11 xf12)y(f21 xf22)f2 f11(x y)f12 xyf22 f23、将函数f(x)3展开成x的幂级数，并指出收敛域。22 x x3111112 x x21 x2 x1 x2 1
8、 x/2解：nn1(1)xxn(1)n1n1xn2n022n0n0f(x)收敛域为(1,1)。x24、设y y(x)满足方程y3y 2y 2e，且其图形在点(0,1)与曲线y x x 1相切，求函数y(x)。解：由条件知y y(x)满足y(0)1,y(0)12x2x由特征方程r3r 2 0 r11,r2 2,对应齐次方程的通解Y C1e C2e*x*x设特解为y Axe，其中 A 为待定常数，代入方程，得A 2 y 2xex2xx从而得通解y C1e C2e 2xe,代入初始条件得C11,C2 0最后得y(x)(1 2x)e5、计算xLds，其中L是螺旋线x 8cost,y 8sint,z t
9、对应0 t 2的弧段。222x y z解：ds xt2 yt2 zt2dt 65dt20L2dsdt65t65arctan82t288x2 y2 z20658四、计算题（每题分，总计分）四、计算题（每题分，总计分）。1、设a 0，计算极限lim(n123n23n)的值。aaaa解：设s(x)n1nxn(1 x 1)，则原问题转化为求和函数在x a处的值n11而s(x)xnxn1 x(x)x(x)x(xxn1n1n1nnn1xx)x 2(1 x)1 x故所求值为sa 1 2a(a 1)2、计算zdv，其中由不等式z x2 y2及1 x2 y2 z2 4所确定。20212zdv ddrcosr解：
10、04sindr 2sincosdr3dr0142151sin2d2r4208413、计算42axdydz (z a)2dxdyx2 y2 z2，其中为下半球面z a2 x2 y2的下侧，a为大于零的常数。222解：取xoy为xoy面上的圆盘x y a，方向取上侧，则axdydz (z a)2dxdyx2 y2 z212axdydz (z a)dxdya122 axdydz (z a)dxdy axdydz (z a)dxdyaxoyxoy12(2z 3a)dv adxdyaDxy2a1223222 ddrcosr sind3aa aaa0032a111a4344cossindr dr aa4a
11、3aa20224、将函数f(x)x(1 x 1)展开成以 2 为周期的傅立叶级数。解：所给函数在1,1上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以 2 为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在1,1内收敛于函数本身。2(1)n1a0 2xdx 1，an 2xcosnxdx 2，bn 0(n 1,2,)2n001112f(x)22(1)n12cosnx(1 x 1)nn1225、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分L(y f(x)x)dx(x f(x)y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。解：由条件有
12、2x f(x)y yf2(x)x 2xf x2f fxy设z f12 f 21f 2f2xx，则得z21z 2 fxx1 z 1Cx23x代入条件得C 0 f(x)3x，从而原积分变为2223(y f(x)x)dx(x f(x)y)dy(9x y x)dx(3x y)dyLLL9x ydx 3x dy 9(3 x)x 3x dx 27x 12x dx 181123223223五、本题分。五、本题分。(1)n可选题 1、对p 0，讨论级数的敛散性。n1n1n p(1)n解：p1 时级数绝对收敛；p1 时分散。n1n1n p可 选 题 2、设D (x,y)x y1，u(x,y)与v(x,y)在D上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数，22uu vvF v(x,y)i u(x,y)j,G xyi xyj，且 在D的 边 界 曲 线L（正 向）上 有u(x,y)1,v(x,y)y，证明F Gd D证明：F Gd(uDxuy)v(vxvy)udD(vuxuvx)(vuyuvy)dDD(uv)(uv)dxyLuvdxuvdy ydx ydyL d D