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1、2009 年浙江省普通高校年浙江省普通高校“专升本专升本”联考联考高等数学（二）高等数学（二） 试卷试卷题 号一二三四总 分得 分考试说明：考试说明：1、考试时间为、考试时间为 150 分钟；分钟；2、满分为、满分为 150 分；分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。、密封线左边各项要求填写清楚完整。一一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求求.本题共有本题共有 5 个小题，每小题个小题，每小题 4
2、分，共分，共 2分）分）1.设设的定义域为的定义域为,则函数则函数 f x0,1的定义域是的定义域是1144fxfx ( ) . A0,1.B1 5,4 4 .C1 1,4 4.D1 3,4 42.下列极限存在的是下列极限存在的是 ( ) . Alimsinxxx.B1lim2xx .C21lim 1nnn.D01lim21xx3. （ ）1 cosdx . A1 cosx.Bsinxxc .Ccosxc.Dsin xc4.下列积分中不能直接使用牛顿下列积分中不能直接使用牛顿莱布尼兹公式的是莱布尼兹公式的是 ( ) . A 4 0cot xdx.B 1 011xdxe .C 4 0tan xd
3、x.D 12 01xdxx5.下列级数中发散的是下列级数中发散的是 ( ) . A 1111nnn.B 111111nnnn得分得分阅卷人阅卷人报考学校：_报考专业：_姓名： 准考证号： -密封线- .C 1111nnn.D11nn二二.填空题填空题(只须在横线上直接写出答案只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程不必写出计算过程, 本题共有本题共有 10 个小题，每个小题，每小题小题 4 分分,共共 40 分分)1.若若为常数为常数),则则lim(nnak k2lim_.nna2. 设函数设函数 在点在点处连续处连续, , ,xef xax00 xx0 x 则则._a 3.曲线曲线在横坐标
4、为在横坐标为 1 的点处的切线斜率为的点处的切线斜率为_.arctanyx4. 设函数设函数,则则.xyxe 0_y5. 函数函数在区间在区间上的最大值是上的最大值是.sinyxx0,_6.若若为为的一个原函数，则的一个原函数，则_.2x f x f x 7. sin1_.4dx8. _.aax f xfxdx9.设设,其中其中是连续函数是连续函数,则则 xaxF xf t dtxa f t lim_.xaF x得分得分阅卷人阅卷人10.微分方程微分方程的通解是的通解是_.cot2 sinyyxxx三三.计算题计算题( 本题共有本题共有 10 个小题，每小题个小题，每小题 6 分分,共共 60
5、 分分)1.计算计算202lim.xxxeex解解.2.设曲线设曲线在原点与曲线在原点与曲线相切相切,求求. yf xsinyx2limnnfn解解.3.设函数设函数求求2,1xyx.dy解解.4.设设是由方程是由方程确定的隐函数确定的隐函数,求求. yy xarctan22yxxyedydx解解.得分得分阅卷人阅卷人5.计算计算.1xxedxe解解.6.设设,求求 2 02sincostxu duyt.dydx解解.7.计算计算2.22dxxx解解.8.设设 ， 求求在在上的表达式上的表达式. ,1,xef xx1001xx 1xxf t dt1,1解解.9.求微分方程求微分方程满足初值条件
6、满足初值条件的特解的特解.tan3yxy 02y解解.10.求幂级数求幂级数的收敛域的收敛域.21113nnnx解解.报考学校：_报考专业：_姓名： 准考证号： -密封线-四四.综合题综合题(本题有本题有 3 个小题，共个小题，共 30 分分,其中第其中第 1 题题 14 分，第分，第 2 题题 8 分，第分，第 3 题题 8 分分) 1.求函数求函数的单调区间的单调区间,极值及其图形的凹凸区极值及其图形的凹凸区21xyx间间. (本题本题 14 分分)得分得分阅卷人阅卷人2.已知已知,证明：证明：. (本题本题 8 分分) 01 cosxxt f t dtx 2 01f x dx3.设曲线设
7、曲线与与轴交于点轴交于点,过过点作该曲线的切线点作该曲线的切线,求切线与该曲线求切线与该曲线22yxx yPP及及轴围成的区域绕轴围成的区域绕轴旋转生成的旋转体的体积轴旋转生成的旋转体的体积. (本题本题 8 分分)xx2009 年浙江省普通高校年浙江省普通高校“专升本专升本”联考联考高等数学高等数学(二二) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准一一.选择题选择题 (每小题每小题 4 分分,共共 20 分分)1., 2., 3., 4., 5.DBCAD二二.填空题填空题(每小题每小题 4 分分,共共 40 分分)1., 2. , 3., 4., 5.,k112206., 7., 8., 9.
8、, 10.2 ln2xsin14xc0 af a2sinxcx三三.计算题计算题(每小题每小题 6 分分,共共 60 分分)1.解解.原式原式= 3 分分0lim2xxxeex= 6 分分0lim1.2xxxee2.解解.由条件推得由条件推得， 00,11ff2 分分于是于是 12202limlim 220nnffnnfnn5 分分 = 6 分分 2 02.f注：若按下述方法：注：若按下述方法： 原式原式 1122002 lim2 lim2.1xxf xfxx解答者，只给解答者，只给 4 分分.3.解解. ， 222322211111xxxyxx5 分分 . 322 1+dxdyx6 分分4.
9、解解.取对数取对数 ， 221lnarctan2yxyx2 分分 两边求导数两边求导数 ， 22221 22121xyyy xyxyxyx5 分分整理得整理得 .xyyxy6 分分（第（第 1 页，共页，共 3 页）页）5.解解. 原式原式= 11xxdee3 分分 ln 1.xec6 分分6.解法解法 1. 解法解法 1. dydydtdxdxdt3 分分 222 sin2 .sintttt 6 分分解法解法 2.因为因为 22sin,2 sindxt dt dytt dt 4 分分 故故 2 .dytdx 6 分分7.解解.原式原式 2111dxx3 分分= tan 1arcx5 分分=
10、.6 分分8 解解. 当当时时, 10 x 1;xtxxe dtee2 分分当当时时, 01x 0 2 1 01311.22xtxe dtt dtxe 5 分分 故故 2,131,22xeexxe 1001.xx 6 分分9.解法解法 1. 分离变量分离变量,得到得到 cot.3dyxdxy 2 分分积分得到积分得到ln 3ln sinyxc 或或 ， 3 sincycxR R4 分分代入初值条件代入初值条件,得到得到.于是特解为于是特解为02y3c 33.sinyx6 分分解法解法 2. 解法解法 2.由由其中其中 ,p x dxp x dxyeq x edxc，得到，得到 13,tanta
11、np xq xxx 3 sincycxR R4 分分代入初值条件代入初值条件,得到得到.于是特解为于是特解为 02y3c 33.sinyx6 分分（第（第 2 页，共页，共 3 页）页）10. 解解.由由,可知可知121121321131limlim3nnnnnnnnxaxax 收敛半径收敛半径, 3R 4 分分又当又当时时,对应数项级数的一般项为对应数项级数的一般项为,级数均发散级数均发散,3x 13 故该级数的收敛域为故该级数的收敛域为. 3, 36 分分 四四.综合题综合题(第第 1 小题小题 14 分分,第第 2、3 小题各小题各 8 分分, 共共 30 分分)1.解解.定义域定义域及
12、及,00, 34232, ,xxyyxx 令令得驻点得驻点, 0,y 12x 5 分分 令令得得, 0,y 23x 6 分分x, 3 33, 222,000, y0y0y291410 分分函数的单调增加区间为函数的单调增加区间为单调减少区间为单调减少区间为与与在在处处,2,0 , 2 0,.2x 有极小值有极小值.其图形的凹区间为其图形的凹区间为及及,凸区间为凸区间为 143,00, 3 . 14 分分2.证明证明.两边对两边对求导求导,得得x 0sin ,xf t dtx4 分分 再对再对求导，得求导，得 x cos ,f xx6 分分 从而证得从而证得 22 0 0cos1.f t dtxdx8 分分 3.解解.点处该曲线的切线方程为点处该曲线的切线方程为,P2yx且与且与轴的交于点轴的交于点 x2,0A 2 分分曲线与曲线与轴交点轴交点和和,因此区域由直线因此区域由直线和和及曲线弧及曲线弧x1,0B 2,0CPAAB所围成所围成. PB4 分分该区域绕该区域绕旋转生成的旋转体的体积旋转生成的旋转体的体积x . 022 18292330Vxxdx8 分分注：若计算由直线注：若计算由直线与与及曲线弧及曲线弧所围成所围成，从而，从而PAACPC 222 081362315Vxxdx者得者得 6 分分. （第（第 3 页，共页，共 3 页）页）