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1、二次根式的知识点汇总二次根式的知识点汇总知识点一：知识点一：二次根式的概念二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中,被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例题例题判断下列代数式中哪些是二次根式？判断下列代数式中哪些是二次根式？，,，（），（）,。巩固巩固1 1、下列各式中、下列各式中,不是二次根式的是（不是二次根式的是（）A A B B C C D D2 2、下列各式中，是二次根式是（、下列各式中，是二次根式是（）。）。(A(A）（B B）(C (C）(D (
2、D）知识点二：取值范围知识点二：取值范围1。二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2。二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。例题例题 1 x1 x 取什么值时，（取什么值时，（）（A A）x x（B)xB)x(C(C）x x（D)xD)x巩固巩固使代数式有意义的取值范围是（使代数式有意义的取值范围是（）A B CA B C D D知识点三：二次根式（知识点三：二次根式（)的非负性的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注:因为二次根式（
3、）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0(），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若,则 a=0，b=0；若，则 a=0,b=0;若，则 a=0，b=0。例题例题已知，则已知，则知识点四：二次根式（知识点四：二次根式（)的性质的性质（)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五知识点五:二次根式的性质二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平
4、方的算术平方根等于这个数的绝对值。注:1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或 0,则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于a 的相反数-a，即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数,即不论 a 取何值,一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0,负实数.但与都是非负数，即，.因而它的运算的结果是有差别的,而2、相同点:当被开方数都是非负数，即时，=；时，无
5、意义，而。知识点七：二次根式的运算知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式，变形为积的形式,再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式(3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）,将被开方数相乘(除）,所得的积（商）仍作积（商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式=(a0，b0）；(b0，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式
6、的乘法公式，都适用于二次根式的运算例题例题 1 1计算计算=例题例题 2 2例题例题 3 3计算计算:（1 1）；（2 2）二次根式同步学习检测（一）二次根式同步学习检测（一）（整章检测（整章检测)（时间时间 9090 分钟分钟 满分满分 100100 分分)一、选择题（共一、选择题（共 1212 分）分）1在根式、中,最简二次根式有（）A1 个B2 个C3 个D4 个2在二次根式，和中，与是同类根式的有(）A2 个B3 个C4 个D5 个3在下列各式中，等号不成立的是（)A-B2x(x0）CaD(x+2+y）(+）+4在下列各式的化简中，化简正确的有(）a5x-4x6a+10A1 个B2 个
7、C3 个D4 个5已知二条线段的长分别为 cm、cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A1cmBcmC5cmD1cm 或 cm6已知 a0，化简：的结果是（）A1 B-1 C0 D2a二、填空题（每题二、填空题（每题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）7的绝对值是_，它的倒数_8当 x_时，是二次根式9当 x_时，有意义，若有意义,则 x_。10当 mn 时，_，当 a_时，11化简_，_。12计算：_13若最简二次根式与是同类二次根式,则 x=_.14把根式根号外的 a 移到根号内，得_。15二次根式与的和是一个二次根式，则正整数的最小值为 ;其和为。16观察下列各式：
8、；则依次第四个式子是；用的等式表达你所观察得到的规律应是。三、解答题（共三、解答题（共 6868 分）分）17（5 分)计算：18（5 分）计算:19(5 分）解方程：20（5 分)解不等式：21（5 分）已知：，求的值22（5 分)化简并求值其中23（5 分）已知实数 a 满足2003a+错误错误!=a，则 a20032的值是多少？24（5 分）已知正数和，有下列命题：(1）若，则1；（2）若，则；（3)若，则3；根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则。25（6 分)阅读下面的解题过程，判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答.已知为实数，化简：解：原式26（6 分）如图，中，求斜边上的高
9、27(8 分)观察下列等式：；;；回答下列问题：(1）利用你观察到的规律,化简：（2）计算：28（8 分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比)为 1：0.6,背水坡坡比为 1：2,大坝高 DE=30 米，坝顶宽 CD=10 米，求大坝的截面的周长。新人教九年级新人教九年级(上）第上）第 2121 章二次根式同步学习检测（二）章二次根式同步学习检测（二）一、选择题1、如果错误错误!是二次根式，则 x 的取值范围是（)A、x5B、x5C、x5D、x52、等式错误错误!=错误错误!错误错误!成立的条件是（）A、x1B、x1012、若实数 x、y 满足 x2+y24x2y+5=0，则
10、错误错误!的值是（)A、1B、错误错误!+错误错误!C、3+2错误错误!D、32错误错误!二、填空题DCAEFB1、要使错误错误!有意义，则 x 的取值范围是.2、若 a+4+错误错误!=0，则 ab=。3、若错误错误!与错误错误!都是二次根式,那么错误错误!+错误错误!=。4、若 y=12x+错误错误!+错误错误!，则(x+y)2003=。5、若错误错误!x1+错误错误!x，化简错误错误!错误错误!=.6、若（a+12)=（a12），则 a=.7、比较大小：3错误错误!2错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!8、若最简根式错误错误!与错误错误!是同类二次根式，则 m=.9、已知错
11、误错误!=2错误错误!,错误错误!=3错误错误!，错误错误!=4错误错误!，请你用含 n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来：。10、若错误错误!的整数部分是 a，小数部分是 b,则 a错误错误!=。11、已知 x=错误错误!错误错误!，则错误错误!=.12、已知 a=错误错误!错误错误!，则化简 a 得.三、计算与化简1、（，3+，2）1+错误错误!+错误错误!2、错误错误!+错误错误!+错误错误!3、（1+错误错误!错误错误!）（1错误错误!+错误错误!）+2错误错误!4、错误错误!+错误错误!错误错误!+错误错误!错误错误!四、先化简再求值1、已知 a=3,b=4，求错误错误!+错误错误!错
12、误错误!的值。2、化简：错误错误!错误错误!取自己喜爱的 a 的值计算。3、当 a=错误错误!，b=错误错误!时，求错误错误!的值。4、当 a=错误错误!时，求错误错误!错误错误!错误错误!的值。五、解答下列各题1、解方程:错误错误!（x1)=错误错误!(x+1）2、解方程组：3、已知直角三角形两直角边长分别为a=错误错误!,b=错误错误!,求斜边的长。【参考答案】【参考答案】同步学习检测同步学习检测(一）一）一、选择题1C2B3C4B5D6B二、填空题78 9，且10m-n，0113,4512 13141561016。,三、解答题171181920211822 232009 2425原式26
13、27（1）；（2）928米同步学习检测同步学习检测(二二)一、选择题1、C2、C3、C4、C5、D6、C7、C8、D9、C10、B11、A12、C二、填空题1、1x32、123、04、15、2x56、07、8、69、错误错误!=n错误错误!（n2 且 n 为整数）10、错误错误!11、错误错误!a12、错误错误!三、计算与化简1、错误错误!错误错误!2、错误错误!+13、4+4错误错误!4、错误错误!错误错误!四、先化简再求值1、错误错误!22、a3、错误错误!4、错误错误!五、解答下列各题1、x=5+2错误错误!2、x=2错误错误!2 y=62错误错误!3、错误错误!4、错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!