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1、(完整版)三角形的证明全章复习与巩固-知识讲解(提高)三角形的证明全章复习与巩固（提高）三角形的证明全章复习与巩固（提高）【学习目标】【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明。2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题。3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【知识网络】【要点梳理】【要点梳理】要点一、等腰三角形要点一、等腰三角形1 1。三角形全等的性质及判定。三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等。判定:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2 2。等腰三
2、角形的判定、性质及推论。等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角)判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3 3。等边三角形的性质及判定定理。等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。判定定理:有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。4 4。含。含 3030的直角三角形的边的性质的直角三角形的边的性质定理:在直
3、角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。要点诠释：要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见,因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心,不如边长为 a 的等边三角形他的高是332a，面积是a；含有30的直角三角形揭示了三角形中24边与角的关系,打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础。要点二、直角三角形要点二、直角三角形1.1.勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理(完整版)三角形的证明全章复习与巩固-知识讲解(提高)定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那
4、么这个三角形是直角三角形.2 2。命题与逆命题。命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的;正确的逆命题就是逆定理。3 3。直角三角形全等的判定定理。直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL)要点诠释：要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.直角三角形的全等判定方法，还有 SSS,SAS,ASA,AAS,一共有 5 种判定方法。要点三、线段的垂直平分线要点三、线段的垂直平分线1.1.线段垂直平分线的性质及判定线段垂直
5、平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。2 2。三角形三边的垂直平分线的性质。三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3 3。如何用尺规作图法作线段的垂直平分线。如何用尺规作图法作线段的垂直平分线1分别以线段的两个端点 A、B 为圆心,以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于点 M、N；作直线 MN，则直2线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线。要点诠释：要点诠释：注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；利用线段的垂直平分线
6、定理可解决两条线段的和距离最短问题。要点四、角平分线要点四、角平分线1.1.角平分线的性质及判定定理角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;判定：在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.2.三角形三条角平分线的性质定理三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.3.如何用尺规作图法作出角平分线如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释要点诠释:注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法。遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典
7、型例题】【典型例题】类型一、能证明它们么类型一、能证明它们么1.如图,ACD 和BCE 都是等腰直角三角形，ACD=BCE=90，AE 交 CD 于点 F,BD 分别交 CE、AE于点 G、H试猜测线段 AE 和 BD 的数量和位置关系,并说明理由【思路点拨】由条件可知 CD=AC，BC=CE，且可求得ACE=DCB,所以ACEDCB，即 AE=BD，CAE=CDB;又因为对顶角AFC=DFH，所以DHF=ACD=90，即 AEBD(完整版)三角形的证明全章复习与巩固-知识讲解(提高)【答案与解析】猜测 AE=BD，AEBD；理由如下：ACD=BCE=90,ACD+DCE=BCE+DCE，即A
8、CE=DCB，又ACD 和BCE 都是等腰直角三角形,AC=CD,CE=CB,在ACE 与DCB 中，AC DCACE DCB,EC BCACEDCB（SAS），AE=BD，CAE=CDB;AFC=DFH,FAC+AFC=90，DHF=ACD=90，AEBD故线段 AE 和 BD 的数量相等,位置是垂直关系。【总结升华】主要考查全等三角形的判定,涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点举一反三：举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和 DBE 按图 1 方式摆放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，点E 落在 AB 上,DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F（1)求证：
9、AF+EF=DE;（2）若将图 1 中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角，且 060，其它条件不变,请在图 2 中画出变换后的图形，并直接写出你在（1)中猜想的结论是否仍然成立;（3)若将图 1 中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角，且 60180，其它条件不变，如图 3你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由【答案】（1)证明：连接 BF（如下图 1），ABCDBE(已知），BC=BE，AC=DEACB=DEB=90,BCF=BEF=90BF=BF,RtBFCRtBFECF=EF(完整版)三角形的证明全章复
10、习与巩固-知识讲解(提高)又AF+CF=AC，AF+EF=DE（2）解:画出正确图形如图 2。（1）中的结论 AF+EF=DE 仍然成立；(3）证明：连接 BF，ABCDBE，BC=BE，ACB=DEB=90，BCF 和BEF 是直角三角形，在 RtBCF 和 RtBEF 中，BC BE,BF BFBCFBEF，CF=EF；ABCDBE，AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF类型二、直角三角形类型二、直角三角形2。下列说法正确的说法个数是（）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等,斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，(完整版)三角形的证明全章复习与巩固-知识讲解(提高)两条直角边对应相等
11、的两个直角三角形全等，一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 A。1 B。2 C。3 D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C。【解析】A、三个角相等，只能判定相似;故本选项错误；B、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确;C、两条直角边对应相等的两个直角三角形,符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形,首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”,可判断两个直角三角形全等；故
12、本选项正确;所以，正确的说法个数是 3 个故选 C【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角这个隐含的已知条件3.（2016南开区一模)问题背景:在ABC 中,AB、BC、AC 三边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点ABC(即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处）,如图所示这样不需求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积(1）请你将ABC 的面积直接填写在横线上；(2）若ABC 三
13、边的长分别为出这三角形的面积为【思路点拨】（1）是直角边长为 1，2 的直角三角形的斜边;是直角边长为 1，3 的直角三角形的斜边；、2(m0，n0，且 mn），运用构图法可求是直角边长为 2,3 的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n 的直角三角形的斜边；直角边长为3m,2n 的直角三角形的斜边；直角边长为 2m，2n 的直角三角形的斜边同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得【答案与解析】解：（1）SABC=33122313=；（2）构造ABC 如图所示，(完整版)三角形的证明全章复习
14、与巩固-知识讲解(提高)SABC=3m4nm4n3m2n2m2n=5mn故答案为：(1）3；（2）5mn【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用,利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形,利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答类型三、线段垂直平分线类型三、线段垂直平分线4.如图，在锐角ABC 中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高,AD、CE 相交于 F,BF 的中点为 P，AC 的中点为 Q，连接 PQ、DE（1）求证：直线 PQ 是线段 DE 的垂直平分线；（2）如果ABC 是钝角三角形,BAC90,那么上述结论是否成立
15、?请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明【思路点拨】（1）只需证明点 P、Q 都在线段 DE 的垂直平分线上即可即证 P、Q 分别到 D、E 的距离相等故连接 PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；(2）根据题意，画出图形;结合图形,改写原题【答案与解析】（1)证明：连接 PD、PE、QD、QECEAB,P 是 BF 的中点，BEF 是直角三角形，且 PE 是 RtBEF 斜边的中线，1PE=BF2又ADBC，BDF 是直角三角形，且 PD 是 RtBDF 斜边的中线，1PD=BF=PE，2点 P 在线段 DE 的垂直平分线上同理可证，QD、Q
16、E 分别是 RtADC 和 RtAEC 斜边上的中线，1QD=AC=QE，2点 Q 也在线段 DE 的垂直平分线上直线 PQ 垂直平分线段 DE(完整版)三角形的证明全章复习与巩固-知识讲解(提高)(2）当ABC 为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立如图,ABC 是钝角三角形，BAC90原题改写为：如图，在钝角ABC 中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，DA 与 CE 的延长线交于点 F，BF的中点为 P，AC 的中点为 Q，连接 PQ、DE求证：直线 PQ 垂直且平分线段 DE证明:连接 PD，PE,QD,QE,则 PD、PE 分别是 RtBDF 和 RtBEF 的中线,11PD=
17、BF，PE=BF，22PD=PE,点 P 在线段 DE 的垂直平分线上同理可证 QD=QE，点 Q 在线段 DE 的垂直平分线上直线 PQ 垂直平分线段 DE【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性,但难度不是很大举一反三举一反三:【变式】在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 BC 的延长线于 M，A=40 度(1)求M 的度数；（2）若将A 的度数改为 80，其余条件不变，再求M 的大小；(3）你发现了怎样的规律？试证明；（4)将(1)中的A 改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立,应
18、怎样修改【答案】（1）B=1（180-A）=702M=20(完整版)三角形的证明全章复习与巩固-知识讲解(提高)(2）同理得M=40（3）规律是：M 的大小为A 大小的一半，证明：设A=,1则有B=(180）211M=90-(180-)=。22（4)不成立。此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半类型四、角平分线5.如图，ABC 中，A=60，ACB 的平分线 CD 和ABC 的平分线 BE 交于点 G求证：GE=GD【思路点拨】连接 AG,过点 G 作 GMAB 于 M,GNAC 于 N，GFBC 于 F由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG
19、是CAB 的平分线；在四边形AMGN 中，易得NGM=180-60=120；在BCG中，根据三角形内角和定理，可得CGB=120，即EGD=120，EGN=DGM，证明 RtEGNRtDGM(AAS）即可得证 GE=GM【答案与解析】解：连接 AG,过点 G 作 GMAB 于 M，GNAC 于 N，GFBC 于 FA=60,ACB+ABC=120,CD,BE 是角平分线,BCG+CBG=1202=60，CGB=EGD=120，G 是ACB 平分线上一点，GN=GF，同理，GF=GM，GN=GM，AG 是CAB 的平分线,GAM=GAN=30，NGM=NGA+AGM=60+60=120，EGD=
20、NGM=120,EGN=DGM，又GN=GM，RtEGNRtDGM（AAS），GE=GD(完整版)三角形的证明全章复习与巩固-知识讲解(提高)【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键举一反三：举一反三：【变式】（2015 春澧县期末）如图:在ABC 中，C=90AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，F 在 AC上，BD=DF；证明：(1）CF=EB（2）AB=AF+2EB【答案】证明:（1）AD 是BAC 的平分线，DEAB，DCAC，DE=DC,在 RtDCF 和 RtDEB 中，RtCDFRtEBD（HL)CF=EB;（2）AD 是BAC 的平分线，DEAB，DCAC,CD=DE在ADC 与ADE 中，ADCADE（HL），AC=AE，AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB