《2005—数二真题、标准答案与解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2005—数二真题、标准答案与解析.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2005 年考研数学二真题一、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分.把答案填在题中横线上）（1）设y(1sin x)x，则 dy|x=_.3（2）曲线 y1(1 x)2的斜渐近线方程为 _.x_.xdx（3）0(2x2)1 x22 y x ln x满足 y(1)（4）微分方程 xy1的解为 _.9（5）当x（6）设0时，(x)kx2与(x)1,2,3均为 3 维列向量，记矩阵1x arcsin xcosx是等价无穷小，则k=_.A(1,2,3)，B(121，那么 B.3,1 22 43,1 32 93)，如果 A二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题
2、给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数f(x)limn 1x3n，则 f(x)在(n,)内(A)(C)处处可导.(B)(D)恰有一个不可导点 .至少有三个不可导点恰有两个不可导点.（8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，MN 表示“M 的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数（B）F(x)是奇函数(C)F(x)是周期函数(D)F(x)是单调函数f(x)是奇函数.f(x)是偶函数.f(x)是周期函数 .f(x)是单调函数.2（9）设函数 y=y(x)由参数方程确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标
3、是xtyln(1 t)22t,(A)(C)1 ln 23.(B)1 ln 23.88ln 23.D(D)88ln 23.0,（10）设区域D(,)2x yxd4,x0yy，f(x)为 D上的正值连续函数，a,b 为常数，则af(x)b f(y)f(x)(A)f(y)ab.(B)ab2.(C)(ab).(D)a b2.-1-x yx y（11）设函数u(x,y)(xy)(xy)(t)dt,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有222u2u.2u2u.(A)x2u1y22uy 2.（B）x2uy 22ux2(C)（12）设函数f(x)xx y(D)x y.,则ex11(A)x=0,x=1 都是
4、 f(x)的第一类间断点 .（B）x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点 .(C)(D)x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点 .x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 .1（13）设1,2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1，A(12)线性无关的充分必要条件是(A)10.(B)20.(C)0.(D)20.（14）设 A 为 n（n阵，则(A)(C)2）阶可逆矩阵，交换A 的第 1行与第 2 行得矩阵 B,A*,B*分别为 A,B的伴随矩交换 A*的第 1 列与第交换 A*的第 1 列与第2 列得
5、B*.*(B)交换 A的第 1 行与第2 行得B.*(D)交换 A的第 1 行与第2 列得B*.2 行得B*.）三、解答题（本题共9 小题，满分94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤x0（15）（本题满分 11 分）(xt)f(t)dtx0设函数 f(x)连续，且f(0)0，求极限 limx 0.xf(x t)dt（16）（本题满分 11 分）如图，C1和 C2分别是y1(1 ex)和yex的图象，过点(0,1)的曲线 C3是一单调增函数的图象.过2C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和 y轴的直线 lx和 ly.记 C1,C2与 lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与
6、ly所围图形的面积为S2(y).如果总有 S1(x)S2(y)，求曲线 C3的方程x（17）（本题满分 11 分）如图，曲线(y).C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与 l2分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处-2-的切线，其交点为(2,4).设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分0(x23x)f(x)dx.（18）（本题满分 12 分）用变量代换xcost(0t)化 简 微 分 方 程 (1 x2)yxyy 0，并 求 其 满 足yx 01,yx02的特解.（19）（本题满分 12 分）已知函数 f(x)在 0，1上连续，在(0,1)内可导，且 f
7、(0)=0,f(1)=1.（I）存在证明：(0,1),使得 f()1；（II）存在两个不同的点,(0,1)，使得 f()f()1.（20）（本题满分 10 分）已知函数z=f(x,y)的 全 微 分 dz2xdx2 ydy，并 且 f(1,1,)=2.求 f(x,y)在椭圆域D(x,y)x2y21上的最大值和最小值.4（21）（本题满分 9 分）计算二重积分x2y2Dd，其中D(x,y)0 x1,01y 1.（22）（本题满分9 分）确定常 数a,使向量组1 (1,1,a)T,2 (1,a,1)T,3(a,1,1)T可由向量 组性表示.1 (1,1,a)T,2(2,a,4)T,3(2,a,a)
8、T线性表示，但向量组1,2,3不能由向量组1,线23（23）（本题满分9 分）123已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵 B246（k 为常数），且 AB=O,求36k线性方程组Ax=0 的通解.-3-2005 年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分.把答案填在题中横线上）（1）设y(1sin x)x，则 dyx=dx.【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一：y(1sin x)x=ex ln(1sin x)，于是yex ln(1sin x)ln(1s
9、in x)xcos x，1sin x从而dy=y()dxdx.x方法二：两边取对数，ln yx ln(1 sin x)，对 x 求导，得1yln(1sin x)x cos x，y1sin x于是 y(1 sin x)xln(1 sin x)xcos x，故1sin xdy=y()dxdx.x3（2）曲线y(1x)2的斜渐近线方程为3x.yx2【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可3【详解】因为 a=limf(x)lim(1x)21,xxxx x33(1 x)2x2blim f(x)axlim32，xxx于是所求斜渐近线方程为yx3.2（3）1xdx.0(2x2)1x24【分
10、析】作三角代换求积分即可 .【详解】令 xsin t，则1xdx2sin t cost0(2 x2)1x2dt0 (2sin2 t)costd cost=2arctan(cos)2.401cos2 t0.-4-（4）微分方程 xy2 yx ln x满足 y(1)11的解为 y x ln x1 x.939【分析】直接套用一阶线性微分方程yP(x)yQ(x)的通解公式：P(x)dxP(x)dxye Q(x)edx C，再由初始条件确定任意常数即可 .【详解】原方程等价为y2yln x，x2 dx2 dx于是通解为xx12yeln x edx C x2x ln xdxC1=x ln x1xC1，39
11、x211由 y(1)1得 C=0，故所求解为y x ln x x.939（5）当x0时，(x)kx2与(x)1x arcsin xcosx是等价无穷小，则k=【分析】题设相当于已知lim(x)1，由此确定 k 即可.x 0(x)【详解】由题设，lim(x)cosxx 0(x)lim1 x arcsin x2x0kxx arcsin x1cos x=limx0kx2(1 x arcsinxcos x)=1lim x arcsin x 1 cos x31，得 k3.2kx0 x24k4（6）设1,2,3均为 3 维列向量，记矩阵A (,21,2,3)，B(123 1243,13293)，如果 A
12、1，那么 B2 .【分析】将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可【详解】由题设，有B (,12312243,132 93)3.4-5-.11 114 9=(1,2,3)123，111B A 12149于是有3 12 2.二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数f(x)limn 1x3 n，则 f(x)在(n,)内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点.【分析】先求出 f(x)的表达式，再讨论
13、其可导情形 .C【详解】当 x1时，f()xlimnn13nx1；当 x1时，f(x)limn 111；n313当 x1时，f(x)lim x(13n1)nx .nxx3,x1,x3,1,即 f(x)1x1,可见 f(x)仅在 x=1时不可导，故应选(C).x0 x1.（8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，M(B)(C)(D)N 表示“M 的充分必要条件是N”，则必有F(x)是偶函数F(x)是周期函数F(x)是单调函数f(x)是奇函数.f(x)是偶函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是周期函数 .f(x)是单调函数.A.【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找
14、到答案【详解】方法一：任一原函数可表示为F(x)f(t)dtC，且F(x)f(x).当 F(x)为 偶 函 数 时，有F(x)F(x)，于是F(x)(1)F(x)，即x0f(x)f(x)，也 即f(x)f(x)，可 见 f(x)为 奇 函 数；反 过 来，若 f(x)为奇函数，则f(t)dt为 偶 函 数，从 而F(x)x0f(t)dt C为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除(B)、(C);令 f(x)=x,则取 F(x)=1x2,排除(D);故应选(A).2（9）设函数 y=y(x)由参数方程xt22t,确定，则曲线y=y(x)在 x=3 处
15、的法线与x 轴交点的横坐yln(1t)-6-标是(A)18 ln 23.(B)1 ln 23.8ln 23.(C)(D)【分析】先由 x=3 确定 t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，【详解】当 x=3 时，有t288ln 23.A 从而可得所需的横坐标 .2t3，得 t1,t3（舍去，此时 y 无意义），于是t1dydx11 t2t2t 11，可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为：8y ln 28(x3)，令 y=0,得其与 x 轴交点的横坐标为：1 ln 23,故应(A).8（10）设区域D(x,y)x2y24,x0,y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b
16、 为常数，则af(x)Dbf(y)f(y)ab.(B)f(x)d(A)ab2.(C)(ab).(D)a2db.D 【分析】由于未知 f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的【详解】由轮换对称性，有d.本题可考虑用轮换对称性 .a f(x)Db f(y)f(y)a f(y)b f(x)Df(x)=f(y)a f(y)f(x)1a f(x)b f(y)b f(x)f(x)d2D=f(x)bdf(y)f(y)ab.2xyxya2Dab12224应选(D).（11）设函数u(x,y)(xy)(xy)(t)dt,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有2222u2u.u2u.(A)x2uy
17、22uy 22（B）x2uuy 22ux2.(C)x y.(D)x y2 B 【分析】先分别求出u、2u、，再比较答案即可 .x2y2x y-7-【详解】因为u(x y)(x y)(xy)(x y)，xuy(x y)(x y)(x y)(x y)，2于是uy)(x y)，x(x y)(x y)(x22u(x y)(x y)(x y)(x y)，x y2u2(xy)(x y)(xy)(x y)，y可见有2u2u，应选(B).x2y2（12）设函数f(x)1,则xe x 11(B)x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点 .（B）x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点.(C)x=0 是
18、f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.(E)x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点.D【分析】显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且lim f(x)，所以x=0 为第二类间断点；x0l i mf(x)x10，lim(x)1，所以 x=1 为第一类间断点，故应选(D).x 1f（13）设1,2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1，性无关的充分必要条件是(A)10.(B)20.(C)10.(D)2 0.B 【分析】讨论一组抽象向
19、量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令k11k2 A(12)0，则k1 1k2 1 1k2 2 20，(kk)k12 1 12 2 20.由于1,2线性无关，于是有k1k2 10,k2 20.A(12)线-8-当2线性无关，则必然有0时，显然有 k10,k2 0，此时2 0(,否则，1与A(11，A(12)线性无关；反过来，若2)=1 1线性相关)，故应选(B).1，A(12)方法二：由于 1,A(12)1,11 221,20112，可见1，A(12)线性无关的充要条件是101220.故应选(B).（14）设 A 为 n（n2）阶可逆矩阵，交换A 的第 1 行与第 2
20、行得矩阵B,A*,B*分别为A,B 的伴随矩阵，则(B)交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*.交换 A*的第 1 列与第 2 列得(B)交换A*的第 1 行与第 2 行得B*.(C)B*.(D)交换A*的第 1 行与第 2 行得B*.C【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵E12（交换 n 阶单位矩阵的第1 行与第2 行所得），使得E12A B，于是B*(E12 A)*A E*12A*EE12112A*E12，即A*E12B*,可见应选(C).三、解答题（本题共9 小题，满分94 分.解
21、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分 11 分）x(xt)f(t)dt.f(x设函数 f(x)连续，且f(0)0，求极限lim0 xx0 x0t)dt【分析】此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形x.【详解】由于0 xf(x t)dtx tu0f(u)(du)xx0f(u)du,于是lim0 x 0(xx0 xt)f(t)dtxf(t)dtlimx 00 xxtf(t)dtxx0 xf(x t)dtf(t)dtxx0f(u)duxf(x)xf(x)f(t)dt=lim0 x0=limx00f(u)du xf(x)x0f(u)du xf(x)0-9
22、-xf(t)dtx0=lim0 xf(0)f(0)1x0f(u)du=f(0)2.xf(x)（16）（本题满分11 分）如图，C1和 C2分别是y1(1ex)和yex的图象，过点(0,1)的曲线 C3是一单调增函数的图象.过2C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和 y轴的直线 lx和 ly.记 C1,C2与 lx所围图形的面积为 S1(x)；C2,C3与 ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)【分析】利用定积分的几何意义可确定面积后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解】如图，有S2(y)，求曲线 C3的方程x(y).S1(x),S2(y)，再根据 S1(x)S2(y)
23、建立积分等式，然xS1(x)e0yt1(1 e )dt2t1(ex2x 1)，S2(y)(ln t(t)dt，y11(exx1)(t)dt，(ln t由题设，得121yx(yln y1)而y e，于是(ln t(t)dt12两边对 y 求导得1(11)ln y2yx(y)，故所求的函数关系为：(y)ln yy 1.2 y（17）（本题满分11 分）如图，曲线C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与 l2分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处30的切线，其交点为 (2,4).设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分(x2x)f (x)dx.【分析】题设图形相当于
24、已知f(x)在 x=0 的函数值与导数值，在 x=3 处的函数值及一阶、二阶导数值 .【详解】由题设图形知，f(0)=0,由分部积分，知30f(0)2;f(3)=2,f(3)302,f(3)0.(x2x)f(x)dx(x032x)df(x)(x2x)f(x)3f(x)(2x 1)dx0=(2x031)df(x)(2 x1)f(x)302 f(x)dx03-10-=1612 分）2 f(3)f(0)20.（18）（本题满分用 变 量 代 换 xcost(0t)化 简 微 分 方 程 (1 x2)y xyy0，并求其满足yx 01,yx 02的特解.【分析】先将 y,y2转化为 dy,d y，再用
25、二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.dtdt21dy【详解】ydydtdtdxdtdxy，sin t dtcostdy2sint dt0.ydydtd2ydt21d2 y1)，2 (sin t dtsin t代入原方程，得解此微分方程，得yC1 c o tsC2 si ntC1 x C21 x2，2代入，有 C12,C2x0将初始条件 yx 01,y1.故满足条件的特解为y2x 1 x2.（19）（本题满分12 分）已知函数 f(x)在 0，1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.（I）存在证明：(0,1),使得 f(),1；（II）存在两个不同的点(0,1)，使得 f
26、()f()1.【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论【详解】（I）令F(x).f(x)1x，则 F(x)在 0，1上连续，且 F(0)=-10,于是由介值1.定理知，存在(0,1),使得 F()0，即 f()（II）在 0,和 ,1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点(0,),(,1)，使得 f()f()f(0)，f()0f(1)f()11.1于是f()f()f()1 f()11（20）（本题满分10 分）已知函数z=f(x,y)的 全 微 分 dz2xdx 2 ydy，并 且f(1,
27、1,)=2.求f(x,y)在 椭 圆 域-11-D (x,y)x2y241上的最大值和最小值.【分析】根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式.而 f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.,可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.【详解】由题设，知fx2x，f2 y，y于是f(x,y)x2C(y)，且C(y)2 y，从而C(y)y2C，再由 f(1,1)=2，得 C=2,故令f(x,y)x2y22.fx0,fy0得 可 能 极 值 点 为 x=0,y=0.且A2f2，B(0,0)2f0，x2x y(0,0)2fCy2(0,0)2，B2AC40
28、，所以点(0,0)不是极值点，从而也非最值点 .x2y21上的情形：令拉格朗日函数为4再考虑其在边界曲线F(x,y,)f(x,y)(x2y241)，FxfxfyF2 x2(1)x0,解Fyy2x2y22 y1y0,2410,得可能极值点x0,y2,2)4；x0,y2,4；x 1,y0,21；xy421,y0,1.代入 f(x,y)得f(0,2,f(1,0)3，可见 z=f(x,y)在区域 D2(x,y)x1内的最大值为3，最小值为-2.（21）（本题满分 9分）计算二重积分x2yd，其中D(x,y)0 x11,0y 1.D【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域
29、积分即可【详解】记.D1(,)2yx yx21,(,)x yD，-12-2D2(x,y)x22y21,(x,y)D，于是xy21d=(xy21)dxdy(x2y21)dxdyD2D2100D1=d(r21)rdr(x2Dy21)dxdyD1(x2y21)dxdy1=+dx(x2y0121)dy20d10(r21)rdr=280431.（22）（本题满分9 分）确定常数13a,使向量组(1,1,a)T,T(1,a,1)T,(a,1,1)T可由向量组1 (1,1,a)T,2(2,a,4),T3(2,a,a)线性表示，但向量组1,23不能由向量组1,2,3线性表示.【分析】向量组1,2,3可由向量组
30、1,2,3线性表示，相当与方程组：ix11x22x33,i 1,2,3.均有解，问题转化为讨论即可.而向量组r(1,23)=r(11,2,3i),i1,2,3是否均成立？这通过初等变换化解体形j(j1,2,3不能由向量组,2,3线性表示，相当于至少有一个向量1,2,3)不能由1,2,3表示，即至少有一方程组jx1 1x2 2x3 3,j1,2,3，无解.(1【详解】对矩阵 A,2,31,2,3)作初等行变换，有11,2,3)=12a4112aaa0a 1a1a1 a1 1A(1,2,31 a 1a223a1100102a4 2a2a0a01100a20224a11a00a2a，3(1a)1 a
31、-13-1当 a=-2 时，A0200206100133230,显然2不能由1,2,3线性表示，因此a2；0当 a=4 时，1A026026010013940，然32,3均不能由1,2,3线性表示，因此a 4.0而当 a2且 a4时，秩r(,)1 23,)3，此时向量组11a2a421,2,3可由向量组1,2,3线性表示.11 2 31aa 111102aa2又B(1,2,31a11a0a11a01a1a210由题设向量组a2a2042a102a23a210a1a2aa20a1a2，2063a4a1,2,3不能由向量组1,2,3线性表示，必有a10或 2aa20，即a=1 或a2.综上所述，满
32、足题设条件的（23）（本题满分9 分）a 只能是：a=1.123已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵 B246（k 为常数），且 AB=O,求36k线性方程组Ax=0 的通解.【分析】AB=O,相当于告之B 的每一列均为Ax=0 的解，关键问题是个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.Ax=0 的基础解系所含解向量的【详解】由 AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0 的解，且r(A)r(B)3.可见此时Ax=0 的基础解系所含解Ax=0的通解为：（1）若 k向量的个数为9,则 r(B)=2,于是 r(A)31,显然 r(A)1,故 r(A)=1.3-r(A)=2,矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故1xk1 23k2 6,k1,k2为任意常数.k(2)若 k=9，则 r(B)=1,从而1r(A)2.-14-11）若 r(A)=2,则 Ax=0 的通解为：xk1 2,k1为任意常数.32）若r(A)=1,则Ax=0的 同 解 方 程 组 为：ax1bx2cx30,不 妨 设a0,则 其 通 解 为baxk11cak20,k1,k2为任意常数.01-15-