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1、20052005 年考研数学（三）真题年考研数学（三）真题一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1 1）极限lim xsinx2x=.2x 1（2 2）微分方程xy y 0满足初始条件y(1)2的特解为_.（3 3）设二元函数z xexy(x 1)ln(1 y)，则dz(1,0)_.（4 4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a 1，则 a=_.（5 5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为X,再从1,2,X中任取一个数，记为Y,则PY 2=_.（6 6）设二维随机变
2、量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件X 0与X Y 1相互独立，则 a=，b=.二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题4 分，满分32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7 7）当 a 取下列哪个值时，函数f(x)2x 9x 12x a恰好有两个不同的零点.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.（8 8）设I132cosDx2 y2d,I2cos(x2 y2)d,I3cos(x2 y2)2d,其中DDD(x,y)x2 y21，则(A)I3 I2 I1.（B）I1 I2 I3.(C)I2 I1 I3.(D)
3、I3 I1 I2.（9 9）设an 0,n 1,2,若an1n发散，(1)n1n1an收敛，则下列结论正确的是(A)an12n1收敛，an12n发散.（B）an12n收敛，an12n1发散.(C)(an12n1 a2n)收敛.(D)(an12n1a2n)收敛.（1010）设f(x)xsin x cos x,下列命题中正确的是梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-1-页 共 16 页(A)f(0)是极大值，f()是极小值.（B）f(0)是极小值，f()是极大值.22（C）f(0)是极大值，f()也是极大值.(D)f(0)是极小值，f()也是极小值.22（1111）以下四个命题中，正确的是(
4、A)若f(x)在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.（B）若f(x)在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.（C）若f(x)在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界.(D)若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.A为 A 的转置矩阵.若a11,a12,a13（1212）设矩阵A=(aij)33满足A A，其中A是 A 的伴随矩阵，为三个相等的正数，则a11为*T*T(A)13.(B)3.(C).(D)333.（1313）设1,2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1，A(12)线性无关的充分必要条件是(A)1 0
5、.(B)2 0.(C)1 0.(D)2 0.22（1414）设一批零件的长度服从正态分布N(,)，其中,均未知.现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值x 20(cm)，样本标准差s 1(cm)，则的置信度为 0.90 的置信区间是1111t0.05(16),20 t0.05(16).(B)(20 t0.1(16),20 t0.1(16).44441111(C)(20 t0.05(15),20 t0.05(15).(D)(20 t0.1(15),20 t0.1(15).4444(A)(20 三三、解答题（本题共、解答题（本题共 9 9 小题，满分小题，满分 9494 分分.解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1515）（本题满分（本题满分 8 8 分）分）求lim(x01 x1).xx1e（1616）（本题满分（本题满分 8 8 分）分）22yx2 g2 g设 f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)f()yf()，求x y.xyx2y2（1717）（本题满分（本题满分 9 9 分）分）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-2-页 共 16 页计算二重积分Dx2 y21d，其中D(x,y)0 x 1,0 y 1.（1818）（本题满分（本题满分 9 9 分）分）求幂级数(n111)x2n在区间(-1,1)内的和函数 S(x).2
7、n 1（1919）（本题满分（本题满分 8 8 分）分）设 f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0,f(x)0,g(x)0.证明：对任何 a0,1,有a0g(x)f(x)dx f(x)g(x)dx f(a)g(1).01（2020）（本题满分（本题满分 1313 分）分）已知齐次线性方程组 x1 2x23x3 0,（i）2x13x25x3 0,x x ax 0,231和x1bx2 cx3 0,（ii）22x b x (c 1)x 0,231同解，求 a,b,c 的值.（2121）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设D ATCTC为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，
8、n 阶对称矩阵，C 为mn矩阵.BEmP DP(I)计算，其中P oT A1C；En1（II）利用(I)的结果判断矩阵B C A C是否为正定矩阵，并证明你的结论.（2222）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)1,0 x 1,0 y 2x,其他.0,求：（I）(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；（II）Z 2X Y的概率密度fZ(z).(III)PY 11X.22（2323）（本题满分（本题满分 1313 分）分）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-3-页 共 16 页设X1,X2,Xn(n 2)为 来 自 总 体 N(
9、0,2)的 简 单 随 机 样 本，X为 样 本 均 值，记Yi Xi X,i 1,2,n.求：（I）Yi的方差DYi,i 1,2,n；（II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).（III）若c(Y1Yn)2是的无偏估计量，求常数c.2梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-4-页 共 16 页20052005 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1 1）极限lim xsinx2x=2 .x212x2xlim x 2.=22xx 1x 1【分析分析】本题属基本题型，直接用无穷小量
10、的等价代换进行计算即可.xs i n【详解详解】l i mx（2 2）微分方程xy y 0满足初始条件y(1)2的特解为xy 2.【分析分析】直接积分即可.【详解详解】原方程可化为(xy)0，积分得xy C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2.（3 3）设二元函数z xexy(x 1)ln(1 y)，则dz【分析分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解详解】(1,0)2edx (e 2)dy.z exy xexy l n1(y),xzx 1 xexy,y1 y于是dz(1,0)2edx (e 2)dy.（4 4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,
11、a)，(4,3,2,1)线性相关，且a 1，则 a=【分析分析】四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解详解】由题设，有1.2223411231a121a11(a 1)(2a 1)0,得a 1,a，但题设a 1，故a.22a1（5 5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为X,再从1,2,X中任取一个数，记为Y,则PY 2=13.48【分析分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解详解】PY 2=PX 1PY 2 X 1+PX 2PY 2 X 2梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞
12、！第-5-页 共 16 页+PX 3PY 2 X 3+PX 4PY 2 X 4=111113(0).423448（6 6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件X 0与X Y 1相互独立，则 a=0.4,b=0.1.【分析分析】首先所有概率求和为 1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解详解】由题设，知a+b=0.5又事件X 0与X Y 1相互独立，于是有PX 0,X Y 1 PX 0PX Y 1，即a=(0.4 a)(a b),由此可解得a=0.4,b=0.1二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小
13、题4 分，满分32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7 7）当 a 取下列哪个值时，函数f(x)2x39x212x a恰好有两个不同的零点.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.B【分析分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点.【详解详解】f(x)6x 18x 12=6(x 1)(x 2)，知可能极值点为 x=1,x=2，且f(1)5 a,f(2)4 a，可见当 a=4 时，函数 f(x)恰好有两个零点，故应选(B).（8 8）设I12222222c
14、osx y d,I cos(x y)dI cos(x y)d,其 中23D2DDD(x,y)x2 y21，则(A)I3 I2 I1.（B）I1 I2 I3.(C)I2 I1 I3.(D)I3 I1 I2.A222222222【分析分析】关键在于比较x y、x y与(x y)在区域D(x,y)x y1上的大小.2222【详解详解】在区域D(x,y)x y1上，有0 x y 1，从而有21x2 y2x2 y2(x2 y2)2 0梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-6-页 共 16 页由于 cosx 在(0,2)上为单调减函数，于是220 co s x y c o sx(2 y2)c o s
15、x(2 y2)2因此cosDx2 y2d22cos(x y)dD222cos(x y)d，故应选(A).D（9 9）设an 0,n 1,2,若n1发散，a(1)an收敛，则下列结论正确的是nn1n1(A)an12n1收敛，an12n发散.（B）an12n收敛，an12n1发散.(C)(an12n1 a2n)收敛.(D)(an12n1a2n)收敛.D【分析分析】可通过反例用排除法找到正确答案.1n1【详解详解】取an，则an发散，(1)an收敛，nn1n1但an12n1与an12n12n均发散，排除(A),(B)选项，且(an12n1 a2n)发散，进一步排除(C),故应选(D).事实上，级数(
16、an1a2n)的部分和数列极限存在.（1010）设f(x)xsin x cos x,下列命题中正确的是(B)f(0)是极大值，f()是极小值.（B）f(0)是极小值，f()是极大值.22（C）f(0)是极大值，f()也是极大值.(D)f(0)是极小值，f()也是极小值.22B【分析分析】先求出f(x),f(x)，再用取极值的充分条件判断即可.【详解详解】f(x)sin x xcosx sin x xcosx，显然f(0)0,f()0，2x xs i n x，且f(0)1 0,f()又f(x)c o s2应选(B).（1111）以下四个命题中，正确的是 0，故 f(0)是极小值，f()是极大值，
17、22(A)若f(x)在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.（B）若f(x)在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-7-页 共 16 页（C）若f(x)在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界.(D)若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.C【分析分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解详解】设 f(x)=(B);又f(x)11,则 f(x)及f(x)2均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、xxx在（0，1）内有界，但f(x)*T*12 x在（0，1）内无界，排除
18、(D).故应选(C).TA为 A 的转置矩阵.若a11,a12,a13（1212）设矩阵A=(aij)33满足A A，其中A是 A 的伴随矩阵，为三个相等的正数，则a11为(A)13.(B)3.(C).(D)333.A【分析分析】题设与 A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：AA*A*A AE.*【详解详解】由A A及AA A A AE，有aij Aij,i,j 1,2,3，其中Aij为aij的代数余子式，*T且AA AE AT2 A A 0或A 123而A a11A11a12A12 a13A13 3a11 0，于是A 1，且a113.故正确选项为(A).3（1313）设1,
19、2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1，A(12)线性无关的充分必要条件是(A)1 0.(B)2 0.(C)1 0.(D)2 0.D【分析分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解详解】方法一：令k11 k2A(12)0，则k11 k211 k222 0，(k1 k21)1 k222 0.由于1,2线性无关，于是有k1 k21 0,k 0.22当2 0时，显然有k1 0,k2 0，此时1，A(12)线性无关；反过来，若1，A(12)梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-8-页 共 16 页线性无关，则必然有2 0(,否则，1与A(1
20、2)=11线性相关)，故应选(B).方法二：由于1,A(12)1,1122 1,211，02可见1，A(12)线性无关的充要条件是11022 0.故应选(D).（1414）设一批零件的长度服从正态分布N(,2)，其中,2均未知.现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值x 20(cm)，样本标准差s 1(cm)，则的置信度为 0.90 的置信区间是1111t0.05(16),20 t0.05(16).(B)(20 t0.1(16),20 t0.1(16).44441111(C)(20 t0.05(15),20 t0.05(15).(D)(20 t0.1(15),20 t0.1(15).C444
21、4x【分析分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：t(n 1).sn(A)(20【详解详解】由正态总体抽样分布的性质知，x t(n 1)，故的置信度为 0.90 的置信区间是sn(x 1nt(n 1),x 2111t(n 1)，即(20 t0.05(15),20 t0.05(15).故应选(C).44n2三三、解答题（本题共、解答题（本题共 9 9 小题，满分小题，满分 9494 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1515）（本题满分（本题满分 8 8 分）分）1 x1).x01exx【分析分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则
22、.求lim(1 x1x x21ex【详解详解】lim()limxx01exx0 xx(1e)x x21 ex=lim2x0 x1 2x ex=limx02x2 ex3.=limx022（1616）（本题满分（本题满分 8 8 分）分）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-9-页 共 16 页22yx2 g2 g设 f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)f()yf()，求x y.22xyxy【分析分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解详解】由已知条件可得gyyx 2f()f()，xxyx2g2yyy2x1xf()f()f()，234xyyyxxxg1yxxxf()f()f(
23、)，yxxyyy2g1yxxxxx2xf()f()f()f()，22223xyyyyxyyy22g2 g所以x y22xy22yyy2xx2xy2yx2x=f()2f()f()2f()f()xyyyxyyxxx=2yyf().xx（1717）（本题满分（本题满分 9 9 分）分）计算二重积分Dx2 y21d，其中D(x,y)0 x 1,0 y 1.【分析分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.22【详解详解】记D1(x,y)x y1,(x,y)D，D2(x,y)x2 y21,(x,y)D，于是Dx2 y21d=(x2 y21)dxdy(x2 y21)dx
24、dyD1D2022222=2d(r 1)rdr(x y 1)dxdy(x y 1)dxdy01DD11112122=+dx(x y 1)dy 2d(r 1)rdr=.0004380（1818）（本题满分（本题满分 9 9 分）分）求幂级数(n111)x2n在区间(-1,1)内的和函数 S(x).2n 1梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-10-页 共 16 页【分析分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解详解】设S(x)(n111)x2n，2n 112nS1(x)x，S2(x)x2n，n12n 1n1则S(x)S
25、1(x)S2(x)，x(1,1).由于S2(x)xn12nx2=，1 x22n(xS1(x)xn1x2,x(1,1),21 xt211 xdt x ln因此xS1(x)，01t221 xx又由于S1(0)0，故11 xx 1,1ln,S1(x)2x1 xx 0.0,1 11 xln,x 1,所以S(x)S1(x)S2(x)2x1 x1 x2x 0.0,（1919）（本题满分（本题满分 8 8 分）分）设 f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0,f(x)0,g(x)0.证明：对任何 a0,1,有a0g(x)f(x)dx f(x)g(x)dx f(a)g(1).01【分析分析】可
26、用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解详解】方法一：设F(x)g(t)f(t)dt f(t)g(t)dt f(x)g(1)，00 x1则 F(x)在0，1上的导数连续，并且F(x)g(x)f(x)f(x)g(1)f(x)g(x)g(1)，由于x0,1时，f(x)0,g(x)0，因此F(x)0，即 F(x)在0，1上单调递减.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-11-页 共 16 页注意到F(1)而10g(t)f(t)dt f(t)g(t)dt f(1)g(1)，01100110g(t)f(t)dt g(t)df(t)g(t)f(t)f(t)g(
27、t)dt01=f(1)g(1)故 F(1)=0.10f(t)g(t)dt，因此x0,1时，F(x)0，由此可得对任何a0,1，有方法二：a0g(x)f(x)dx f(x)g(x)dx f(a)g(1).01a0g(x)f(x)dx g(x)f(x)a0f(x)g(x)dx0a=f(a)g(a)a0f(x)g(x)dx，a0g(x)f(x)dx f(x)g(x)dx01=f(a)g(a)f(a)g(a)1aa0f(x)g(x)dx f(x)g(x)dx01f(x)g(x)dx.由于x0,1时，g(x)0，因此f(x)g(x)f(a)g(x)，xa,1，从而10af(x)g(x)dx f(a)g(
28、x)dx f(a)g(1)g(a)，010g(x)f(x)dx f(x)g(x)dx01 f(a)g(a)f(a)g(1)g(a)f(a)g(1).（2020）（本题满分（本题满分 1313 分）分）已知齐次线性方程组 x1 2x23x3 0,（i）2x13x25x3 0,x x ax 0,231和（ii）同解，求 a,b,c 的值.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-12-页 共 16 页x1bx2 cx3 0,22x1b x2(c 1)x3 0,【分析分析】方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定 a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定
29、b,c 即可.【详解详解】方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换1 12310，1235 0111a00a 2从而 a=2.此时，方程组（i）的系数矩阵可化为123101235 011，112000故(1,1,1)T是方程组（i）的一个基础解系.将x1 1,x2 1,x31代入方程组（ii）可得b 1,c 2或b 0,c 1.当b 1,c 2时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有112101，213011显然此时方程组（i）与（ii）同解.当
30、b 0,c 1时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有101101，202000显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.综上所述，当 a=2,b=1,c=2 时，方程组（i）与（ii）同解.（2121）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设D ATCTC为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mn矩阵.BE(I)计算P DP，其中P moT A1C；En1（II）利用(I)的结果判断矩阵B C A C是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐
31、高飞！第-13-页 共 16 页【详解详解】(I)因PTEmT1C Ao，有EnEmP DP=T1C ATo En ACTCEmBo A1CEnCAEm=T1oB C A Co=A1CEnoA.T1oB C A CT1（II）矩阵B C A C是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵 D 合同于矩阵oAM.T1oB C A C又 D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.因 矩 阵 M 为 对 称 矩 阵，故B C A C为 对 称 矩 阵.对X (0,0,0)T及 任 意 的T1Y (y1,y2,yn)T 0，有oAX T1TT1B C A C为正定矩阵.故(XT,YT)Y(B C A C)Y 0
32、.T1oB C A CY（2222）（本题满分（本题满分 1313 分）分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)1,0 x 1,0 y 2x,其他.0,求：（I）(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；（II）Z 2X Y的概率密度fZ(z).(III)PY 11X.22【分析分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可.【详解详解】（I）关于 X 的边缘概率密度fX(x)=2xdy,0 x 1,f(x,y)dy=0其他.0,梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生
33、齐高飞！第-14-页 共 16 页=2x,0 x 1,0,其他.关于 Y 的边缘概率密度fY(y)=1dx,0 y 2,yf(x,y)dx=2其他.0,y0 y 2,1,=2其他.0,（II）令FZ(z)PZ z P2X Y z，1）当z 0时，FZ(z)P2X Y z 0；2）当0 z 2时，FZ(z)P2X Y z=z 12z;43)当z 2时，FZ(z)P2X Y z1.0,z 0,12即分布函数为：FZ(z)z z,0 z 2,4z 2.1,10 z 2,1z,故所求的概率密度为：fZ(z)2其他.0,11PX,Y 31122163.（III）PY X 11224PX 42（2323）
34、（本题满分（本题满分 1313 分）分）设X1,X2,Xn(n 2)为 来 自 总 体 N(0,2)的 简 单 随 机 样 本，X为 样 本 均 值，记Yi Xi X,i 1,2,n.求：（I）Yi的方差DYi,i 1,2,n；（II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).（III）若c(Y1Yn)是的无偏估计量，求常数c.【分析分析】先将Yi表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求Y1与Yn的协方梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-15-页 共 16 页22差Cov(Y1,Yn)，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计c(Y1Yn)2，
35、利用其数学期望等于确定 c 即可.【详解】由题设，知X1,X2,Xn(n 2)相互独立，且2EXi 0,DXi2(i 1,2,n)，EX 0.11n（I）DYi D(Xi X)D(1)XiXjnnji121=(1)DXi2nnDXjinj(n 1)221n 122(n 1).=nn2n2（II）Cov(Y1,Yn)E(Y1 EY1)(Yn EYn)=E(Y1Yn)E(X1 X)(Xn X)=E(X1Xn X1X XnX X2)=E(X1Xn)2E(X1X)EX2n222=0EX1X1Xj DX (EX)nj2=22121 2.nnn（III）Ec(Y1Yn)2 cD(Y1Yn)=cDY1 DY2 2Cov(Y1,Yn)=c故c n 1n 1222(n 2)c22，nnnnn.2(n 2)梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-16-页 共 16 页