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1、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为（ ）1.2. 3.无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则（ ）. .（3）设函数的全微分为，则点（ ）不是的连续点.不是的极值点. 是的极大值点. 是的极小值点.（4）设函数连续，则（ ）. . .（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ）有极值点，无零点.无极值点，有零点. 有极值点，有零点.无极值点，无零点.（6）设函数在区间上的图形为1-2023-1O则函数
2、的图形为（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11（7）设，均为2阶矩阵，分别为，的伴随矩阵.若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）. .（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为（ ）. .二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线在处的切线方程为 .（10）已知,则 .（11） .（12）设是由方程确定的隐函数，则 .（13）函数在区间上的最小值为 .(14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 .三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
3、算步骤.（15）（本题满分9分）求极限.（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与.（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积.（19）（本题满分10分）计算二重积分，其中.（20）（本题满分12分）设是区间内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足.求的表达式.（21）（本题满分11分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得；（）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.（22）（本题满分11分设
4、，.（）求满足的所有向量；（）对（）中的任一向量，证明：线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型（）求二次型的矩阵的所有特征值；（）若二次型的规范形为，求的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为（ ）1.2. 3.无穷多个.【答案】C 【解析】 则当取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）当时，与是等价无穷小，则（ ）. .【答案】A 【
5、解析】为等价无穷小，则 故排除.另外存在，蕴含了故排除.所以本题选A.（3）设函数的全微分为，则点（ ）不是的连续点.不是的极值点. 是的极大值点. 是的极小值点.【答案】 D【解析】因可得又在（0，0）处，故（0，0）为函数的一个极小值点.（4）设函数连续，则（ ）. . .【答案】C【解析】的积分区域为两部分：，将其写成一块故二重积分可以表示为，故答案为C.（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ）有极值点，无零点.无极值点，有零点. 有极值点，有零点.无极值点，无零点.【答案】 B 【解析】由题意可知，是一个凸函数，即，且在点处的曲率，而，由此可得，在上，即单调减少，没有极
6、值点.对于， （拉格朗日中值定理）而 由零点定理知，在上，有零点. 故应选（B）.（6）设函数在区间上的图形为1-2023-1O则函数的图形为（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11【答案】D 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：时，且单调递减.时，单调递增.时，为常函数.时，为线性函数，单调递增.由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为.（7）设，均为2阶矩阵，分别为，的伴随矩阵.若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）. .【答案】 B 【解析】根据若分块矩
7、阵的行列式即分块矩阵可逆（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为（ ）. .【答案】 A【解析】，即：二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线在处的切线方程为 .【答案】【解析】所以 所以 切线方程为.（10）已知,则 .【答案】【解析】因为极限存在所以（11） .【答案】0【解析】令 所以即 （12）设是由方程确定的隐函数，则 .【答案】【解析】对方程两边关于求导有，得对再次求导可得，得 当时，代入得（13）函数在区间上的最小值为 .【答案】【解析】因为，令得驻点为.又，得，故为的极小值点，此时，又当时，；时，故在上递减，在上递增.而，
8、所以在区间上的最小值为.(14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 .【答案】【解析】因为相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到得特征值是而是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限.【解析】（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .【解析】令得而所以（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与.【解析】（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积.【解析】
9、解微分方程得其通解为任意常数又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得从而于是，所求非负函数又由可得，在第一象限曲线表示为于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中.（19）（本题满分10分）计算二重积分，其中.【解析】由得，.（20）（本题满分12分）设是区间内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足.求的表达式.【解析】由题意，当时，即，得，又代入得，从而有当时，得 的通解为 令解为，则有，得，故，得的通解为 由于是内的光滑曲线，故在处连续于是由，故时，在处连续又当 时，有，得，当时，有，得 由得，即 故 的表达式为或，又过点，所以.（21）（本题满分
10、11分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得；（）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.【解析】（）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且.根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且.（22）（本题满分11分设，（）求满足的所有向量；（）对（）中的任一向量，证明：线性无关.【解析】（）解方程 故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中为任意常数 解方程 故有两个自由变量，令，由得求特解 故 ，其中为任意常数.（）证明：由于 故 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型（）求二次型的矩阵的所有特征值；（）若二次型的规范形为，求的值.【解析】（） （） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若，则 ， ，不符题意2) 若 ，即，则，符合3) 若 ，即，则 ，不符题意综上所述，故.