《2019高中数学 第二章2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案4.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学 第二章2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案4.doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、12.3.42.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示学习目标：1.理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定(易混点)自 主 预 习探 新 知平面向量共线的坐标表示(1)设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，其中b0b0，a a，b b共线，当且仅当存在实数，使a ab b.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10 时，向量a a，b b(b0b0)共线基础自测1思考辨析(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线( )(2)向
2、量(2,3)与向量(4，6)反向( )(3)若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)且b b0，则.( )x1 x2y1 y2解析 (1)正确因为(4,8)4(1,2)，所以向量(1,2)与向量(4,8)共线(2)正确因为(4，6)2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(4，6)反向(3)错误当x2y20 时.x1 x2y1 y2答案 (1) (2) (3)2下列各对向量中，共线的是( )Aa a(2,3)，b b(3，2)Ba a(2,3)，b b(4，6)Ca a(，1)，b b(1，)22Da a(1，)，b b(，2)22D D A，B，C 中各对向量都不共线，D 中b ba a，
3、两个向量共线23已知a a(3,2)，b b(6，y)，且a ab b，则y_.4 a ab b， ，解得y4.6 3y 2合 作 探 究攻 重 难判定直线平行、三点共线(1)已知A，B，C三点共线，且A(3，6)，B(5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )A13 B9 2C9 D13(2)已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行ABCD于直线CD吗？思路探究 (1)设C点的坐标由ABAC列方程求坐标(2)判定向量AB与CD平行两向量上的相关点不共线(1 1)C C (1)设C(6，y)，ABAC又(8,8)，(3，y6)，ABAC8
4、(y6)380，y9.(2)解 (1(1)，3(1)(2,4)，AB(21,75)(1,2)CD又 22410，.ABCD又(2,6)，(2,4)，ACAB24260，A，B，C不共线，AB与CD不重合，ABCD.规律方法 向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1x2y20 或x1x2y1y20 都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减跟踪训练1已知A(1，3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线. (8，1 2)【导学号：84352230】3证明 ，(91,13)(8,4)，AB(81，1 23) (7，7 2)AC74 80，7 2
5、，且，有公共点A，ABACABACA，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数已知a a(1,21,2)，b b(3,23,2)，当k为何值时，ka ab b与a a3b3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【导学号：84352231】思路探究 法一：可利用b b与非零向量a a共线等价于b ba a(0，b b与a a同向；0，b b与a a反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b ba a判定同向还是反向解 法一：(共线向量定理法)ka ab bk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a a3b3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当ka ab b与a a3b3b平行时，
6、存在唯一实数，使ka ab b(a a3b3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以Error!解得k .1 3当k 时，ka ab b与a a3b3b平行，这时ka ab ba ab b (a a3b3b)，1 31 1 3 31 1 3 3因为 0，1 3所以ka ab b与a a3b3b反向法二：(坐标法)由题知ka ab b(k3,2k2)，a a3b3b(10，4)，因为ka ab b与a a3b3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k .1 3这时ka ab b (a a3b3b)，(1 33，2 32)1 3所以当k 时，ka ab b与a a3b3b平行，并且反向1
7、 3规律方法 利用向量平行的条件处理求值问题的思路：4(1)利用共线向量定理a ab b(b b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10 直接求解跟踪训练2已知a a(1,1)，b b(x2，x)且a ab b，则实数的最小值是_ 因为a ab b，所以x2x0，1 4即x2x2 ，(x1 2)1 41 4所以的最小值为 .1 4向量共线的综合应用(1)已知向量a a(cos ，2)，b b(sin ，1)，且a ab b，则 2sin cos 等于( )A3 B3C D4 54 5(2)如图 2318 所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB
8、的交点P的坐标. 【导学号：84352232】图 2318思路探究 (1)先由a ab b推出 sin 与 cos 的关系，求 tan ，再用“1”的代换求 2sin cos .(2)要求点P的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到，利用与OPOPOBOPOBAP共线的坐标表示求出即可；也可设P(x，y)，由及，列出关于x，y的ACOPOBAPAC方程组求解(1 1)C C (1)因为a ab b，所以 cos 1(2)sin 0 即 cos 2sin ，tan ，1 2所以 2sin cos 2sin cos sin2cos22tan tan215 .2 (1 2)(1 2)214 5(2)
9、法一：(定理法)由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则OPOB(44,4)，(2,6)APOPOAACOCOA由与共线得(44)64(2)0，解得 ，所以(3,3)，APAC3 4OP3 4OB所以P点的坐标为(3,3)法二：(坐标法)设P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以OPOBOPOB ，即xy.x 4y 4又(x4，y)，(2,6)，且与共线，则得(x4)6y(2)0，解APACAPAC得xy3，所以P点的坐标为(3,3)规律方法 向量共线的坐标表示的应用1已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区
10、分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.2已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.跟踪训练3如图 2319，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC与BD的交点P的坐标图 2319解 设(111,62)(10，4)BPBD易得(11,1)，CB(1011,41)CPCBBP6又(8,4)，而与共线，CACPCA4(1011)8(41)0，解得 .1 2设点P的坐标为(xP，yP)，(5,2)(xP1，yP2)，BPError!即Error!故点P的坐标为(6,4).共线
11、向量与线段分点点坐标的计算探究问题1设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？提示：如图所示，P为P1P2的中点，P1PPP2，OPOP1OP2OP ()OP1 2OP1OP2，(x1x2 2，y1y22)线段P1P2的中点坐标是.(x1x2 2，y1y22)2设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？提示：点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：当时， ()P1P1 3P1P2OPOP1P1POP11 3P1P2OP11 3OP2OP12 3OP11 3OP2；(2x1x2
12、 3，2y1y23)当时，P1P2 3P1P27OPOP1P1POP12 3P1P2 ()OP12 3OP2OP11 3OP12 3OP2.(x12x2 3，y12y23)3当时，点P的坐标是什么？P1PPP2提示：()，OPOP1P1POP1PP2OP1OP2OPOP1OP2OPOPOP1OP21(x1，y1)(x2，y2)1 1 1(1 1x1，1 1y1) ( 1x2， 1y2)，(x1x2 1，y1y21)P.(x1x2 1，y1y21)已知点A(3，4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|2|，求点APPBP的坐标. 【导学号：84352233】思路探究 点P在直线AB上，包括点
13、P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论解 设P点坐标为(x，y)，|2|.APPB当P在线段AB上时，2，APPB(x3，y4)2(1x,2y)，Error!解得Error!P点坐标为.(1 3，0)当P在线段AB延长线上时，2，APPB(x3，y4)2(1x,2y)，8Error!解得Error!P点坐标为(5,8)综上所述，点P的坐标为或(5,8)(1 3，0)母题探究：1.若将本例条件“|2|”改为“3”其他条件不变，求点PAPPBAPPB的坐标解 因为3，所以(x3，y4)3(1x,2y)，APPB所以Error!解得Error!所以点P的坐标为.(0，1 2)2若将本例
14、条件改为“经过点P(2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|3|” ，求点A，B的坐标ABAP解 由题设知，A，B，P三点共线，且|3|，设A(x,0)，B(0，y)，ABAP点P在A，B之间，则有3，ABAP(x，y)3(2x,3)，解得x3，y9，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,9)点P不在A，B之间，则有3，同理，ABAP可求得点A，B的坐标分别为，(0，9)(3 2，0)综上，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,9)或，(0，9)(3 2，0)规律方法 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.当 堂 达 标固 双
15、 基1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )Aa a(0,0)，b b(2,3)Ba a(1，3)，b b(2，6)Ca a(4,6)，b b(6,9)Da a(2,3)，b b(4,6)9D D 只有 D 选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选 D.2若向量a a(，1)，b b(0，2)，则与a a2b b共线的向量可以是( )3A(，1)B(1，)33C(，1)D(1，)33D D 因为a a2b b(，3)(1，)，所以向量a a2b b与(1，)是共线向3333量故选 D.3已知两点A(2，1)，B(3,1)，则与平行且方
16、向相反的向量a a可以是AB( ) 【导学号：84352234】A(1，2) B(9,3)C(2,4)D(4，8)D D 由题意，得(1,2)，所以a a(，2)(其中0)符合条件的只有ABABD 项，故选 D.4已知平面向量a a(1,2)，b b(2，m)，且a ab b，则 2a a3b b等于_(4，8) a ab b，1m(2)20，m4，a a(1,2)，b b(2，4)，2a a3b b2(1,2)3(2，4)(4，8)5设O是坐标原点，(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，OAOBOCA，B，C三点共线？ 解 (4k，7)，ABOBOA(10k，k12)，ACOCOA又A，B，C三点共线，由两向量平行的充要条件，得(4k)(k12)7(10k)0，解得k2 或k11.即当 k2 或 k11 时，A，B，C 三点共线