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1、1第三章第三章 导数及其应用导数及其应用(时间：120 分钟；满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案填在题中横线上) 1如果质点按规律s(t)t2t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在 3 s 时 的瞬时速度为_ 解析：质点在 3 s 时的瞬时速度即s(3)5 m/s. 答案：5 m/s 2设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0_.解析：f(x)xln x，f(x)ln xx ln x1，1 x 由f(x0)2 得 ln x012，x0e. 答案：e 3若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不单调，
2、则实 数k的取值范围是_ 解析：f(x)2x2ln x的定义域为(0，)，f(x)4x ，由f(x)0 得x .1 x1 2由题意知Error!，解得 1k2，则f(x)2x4 的解集为_ 解析：设h(x)f(x)(2x4)，则h(x)f(x)20， 故h(x)在 R R 上为增函数，又h(1)f(1)20， 当x1 时，h(x)0，即f(x)2x4. 答案：(1，) 9已知f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则a的取值范围是 _ 解析：f(x)3x22axa6，由已知，f(x)0 应该有两个不等的实数根， 4a212(a6)0，解得a6 或a6 或a0 得 3x2x20，即x1
3、；2 3由f(x)，f(x)在x2,2上的最大值为 7；157 27 m的取值范围为m7. 答案：m7 12方程x36x29x100 的实根个数是_ 解析：设f(x)x36x29x10，则f(x)3x212x93(x1)(x3)，故函数 f(x)在(，1)上为增函数，在(1,3)上为减函数，在(3，)上为增函数；而f(1) 6，f(3)10；故函数f(x)的图象与x轴有且只有 1 个交点，即方程 x36x29x100 的实根个数是 1 个 答案：1 13一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为 每小时 20 千米时，每小时消耗的煤的费用为 40 元；火车行驶的其它
4、费用为每小时 200 元， 则火车行驶的速度为_(千米/小时)时，火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、 乙两城距离为a千米，且火车最高速度为每小时 100 千米) 解析：设火车速度为x千米/小时，每小时消耗的煤的费用为p元，依题意有pkx3(k为比例系数)，由x20 时，p40，解得k，故总费用1 200y a(00，320 当x10时，y取最小值，即要使费用最省，火车速度应为 10千米/小时320320 答案：10320 14设a0，b0，e 是自然对数的底数则下列结论正确的是_ 若 ea2aeb3b，则ab； 若 ea2aeb3b，则ab； 若 ea2aeb3b，则a0，b0， ea2
5、aeb3beb2bbeb2b. 对于函数yex2x(x0)，yex20， yex2x在(0，)上单调递增，因而ab成立 答案： 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15(本小题满分 14 分) 设函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与y0 在原点相切，若函数的极小值为4， (1)求a，b，c的值； (2)求函数的递减区间4解：(1)函数的图象经过(0,0)点， c0，又图象与x轴相切于(0,0)点，y3x22axb， 03022a0b，得b0， yx3ax2，y3x22ax；令y0 得：x0 或xa，2 3结合f(x)图象知：a
6、0，2 3当 0a时，y0；2 32 3当xa时，函数有极小值4；2 33a24，得a3.(2 3a)(2a 3) a3，b0，c0. (2)由(1)可得f(x)x33x2，f(x)3x26x0)，g(x)x3bx. (1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9 时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为 28，求k的取 值范围 解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b. 因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1) g(1)，且f(1)g(1)， 即a11b，且 2a3b， 解得
7、a3，b3. (2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9 时， h(x)x33x29x1， h(x)3x26x9. 令h(x)0，得x13，x21. h(x)与h(x)在(，2上的变化情况如下： x(，3)3(3,1)1(1,2)2 h(x)00 h(x)2843 由此可知： 当k3 时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为 h(3)28；当30；(0，20 3)(20 3，20)在区间(0,20)上，当x时，y取最小值20 3故当点C位于距A点 km 处时，该点的烟尘浓度最低20 3619(本小题满分 16 分) 如图，四边形ABCD是一块边长为 4 km 的正方形地域，地域 内有一条河
8、流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽 略不计)的一部分新世纪公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使 游乐园面积最大？并求出最大面积解：以M为原点，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则D(4，2)设抛物线方程为y22px(p0)由点D在抛物线上，得 228p，解得p .1 2抛物线方程为y2x(0x4，y0) 设P(y2，y)(0y2)是曲线MD上任一点， 则PQ2y，PN4y2， 矩形游乐园面积SPQPN(2y)(4y2)8y32y24y. S3y24y4，令S0，解得y 或y2(舍去)2 3当y时，S0，S为增函数；(0，2 3)当y时，S0) (1)若f(2)0，求f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)若函数f(x)x3kx(k0)在1，)上是单调函数，设x01，f(x0)1，且满 足f(f(x0)x0，已知 00)， Error!， 两式相减得(xm3)k(x0m)mx0，3 0 即(x0m)(xm2x0m1k)0.2 0 x01，f(x0)1 即m1， xm2x0m1k4k，而 00，从而只有x0m0，2 0即 mx0，f(x0)x0.