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1、1第三课第三课 导数及其应用导数及其应用核心速填1在xx0处的导数(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 limx0y xlimx0，称为函数yf(x)在xx0处的导数fx0xfx0 x(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率2导函数当x变化时，f(x)便是x的一个函数，称为导函数f(x)y limx0.fxxfx x3基本初等函数的导数公式(1)c0.(2)(x)x1.(3)(ax)axln_a(a0)(4)(ex)ex.(5)(logax)(a0，且a1)1 xln a(6)(ln x) .1 x(7)(sin x)cos_x.(
2、8)(cos x)sin_x.4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)fx gxfxgxfxgx gx25函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)f(x)，当x0，当xa时，2f(x)a时，f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值6求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较
3、，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值体系构建题型探究导数的几何意义已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由思路探究 (1)求fxf10求得a(2)设直线m与ygx相切求出相应切线的斜率与切线方程检验切线是否与yfx相切得结论解 (1)因为f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以 3a66a0，得a2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线yg(x)相切的直线方程设切点为
4、(x0,3x6x012)，2 0又因为g(x0)6x06.所以切线方程为3y(3x6x012)(6x06)(xx0)2 0将点(0,9)代入，得 93x6x0126x6x0，2 02 0所以 3x30，得x01.2 0当x01 时，g(1)12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y12x9；当x01 时，g(1)0，切点坐标为(1,9)，所以切线方程为y9.下面求曲线yf(x)的斜率为 12 和 0 的切线方程：因为f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0 或x1.当x0 时，f(0)11，此时切线方程为y12x11；当x1
5、 时，f(1)2，此时切线方程为y12x10.所以y12x9 不是公切线由f(x)0，得6x26x120，解得x1 或x2.当x1 时，f(1)18，此时切线方程为y18；当x2 时，f(2)9，此时切线方程为y9，所以y9 是公切线综上所述，当k0 时，y9 是两曲线的公切线规律方法 此题直线m恒过点(0，9)是解题的突破口，即若m是f(x)，g(x)的公切线，则切线必过点(0，9).一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线的导数相等，求出可能的切点，得出对应切线方程.若两条直线方程相同，则为公切线；若不同，则不存在公切线.当然，也可
6、能会存在切线斜率不存在的情况.跟踪训练1已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3 垂直，求切点坐标与切线的方程. 1 4【导学号：97792173】4解 (1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y(6)13(x2)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，2 0直线l的方程为y(3x1)(xx0)x
7、x016.2 03 0又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，2 03 0整理得，x8，3 0x02，y0(2)3(2)1626.k3(2)2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y 3 垂直，x 4切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，2 0x01，Error!或Error!即切点坐标为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14 或y4(x1)18.即y4x18 或y4x14.利用导数研究函数的单调性已知函数f(x)ax3x2(aR R)在x 处取得极值4 3(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex
8、，讨论g(x)的单调性思路探究 (1)利用f0 求解(4 3)(2)先求g(x)，再求g(x)0 的根，最后确定g(x)的单调性解 (1)对f(x)求导得f(x)3ax22x.5因为f(x)在x 处取得极值，4 3所以f3a2 0，(4 3)16 9(4 3)16a 38 3解得a .经检验满足题意1 2(2)由(1)知g(x)ex，所以g(x)(1 2x3x2)exex(3 2x22x)(1 2x3x2)ex(1 2x35 2x22x)x(x1)(x4)ex.1 2令g(x)0，解得x0，x1 或x4.当x0，故g(x)为增函数；当10 时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(
9、，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数规律方法 函数的单调性与导数的关注点(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集(4)求参数的范围时常用到分离参数法跟踪训练2已知aR R，函数f(x)(x2ax)ex(xR R)(1)当a2 时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围解 (1)当a2 时，f(x)(x22x)ex，f(x)(x22)ex.当f(x)0 时，(x22)ex0，注意到 ex0，所以x220，解得x.22所
10、以，函数f(x)的单调递增区间为(，)同理可得，函数f(x)的单调递减区间226为(，)和(，)22(2)因为函数f(x)在(1,1)上单调递增，所以f(x)0 在(1,1)上恒成立又f(x)x2(a2)xaex，即x2(a2)xaex0，注意到 ex0，因此x2(a2)xa0 在(1,1)上恒成立，也就是ax1在(1,1)上恒成立x22x x11 x1设yx1，1 x1则y10，1 x12即yx1在(1,1)上单调递增，1 x1则y11 ，1 113 2故a .3 2即a的取值范围为.3 2，)导数与函数的极值(最值)及恒成立问题已知函数f(x)x33ax29a2xa3.(1)设a1，求函数
11、f(x)的极值；(2)若a ，且当x1,4a时，f(x)a312a恒成立，试确定a的取值范围. 1 3【导学号：97792174】思路探究 (1)先求f(x)0 的根，再判断极值点，求极值(2)先求f(x)在x1,4a时的最小值f(x)min，再解不等式f(x)mina312a求a的范围解 (1)当a1 时，f(x)x33x29x1 且f(x)3x26x9，由f(x)0得x1 或x3.当x1 时，f(x)0，当1x3 时，f(x)0，因此x1 是函数的极大值点，极大值为f(1)6；当1x3 时，f(x)0，当x3 时，f(x)0，因此x3 是函数的极小值点，极小值为f(3)26.7(2)f(x
12、)3x26ax9a23(xa)(x3a)，a ，1 3当 1x3a时，f(x)0；当 3ax4a时，f(x)0.x1,4a时，f(x)的最小值为f(3a)26a3.由f(x)a312a在1,4a上恒成立得26a3a312a，解得 a .2 32 3又a ， a .1 31 32 3即a的取值范围为.(1 3，2 3规律方法 一般地，已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围问题，都可以转化为求函数的最值问题，而导数是解读函数最值问题的有力工具.跟踪训练3设函数f(x)x3x26xa.9 2(1)对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0 有且仅有一个实根，求a的取
13、值范围解 (1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，因为x(，)，f(x)m，即 3x29x(6m)0 恒成立，所以 8112(6m)0，得m ，即m的最大值为 .3 43 4(2)因为当x0；当 12 时，f(x)0；所以当x1 时，f(x)取极大值f(1) a；5 2当x2 时，f(x)取极小值f(2)2a；故当f(2)0 或f(1) .5 2导数与不等式问题已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲ln xk ex8线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)xf(x)，其中f(x)为f(x)的
14、导函数证明：对任意x0，g(x)1e2.思路探究 (1)利用f(1)0 求k.(2)判断f(x)的正负(3)借助(2)的结论，构造函数解 (1)f(x)，1 xln xk ex由已知，f(1)0，k1.1k e(2)由(1)知，f(x).1 xln x1 ex设k(x) ln x1，则k(x) 0，即k(x)在(0，)上是减函数，1 x1 x21 x由k(1)0 知，当 0x1 时，k(x)0，从而f(x)0，当x1 时，k(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)(3)证明：由(2)可知，当x1 时，g(x)xf(x)01e2，故只需证明g
15、(x)1e2在 0x1 时成立当 0x1 时，ex1，且g(x)0，g(x)1xln xx.1xln xx ex设F(x)1xln xx，x(0,1)，则F(x)(ln x2)，当x(0，e2)时，F(x)0，当x(e2,1)时，F(x)0，所以当xe2时，F(x)取得最大值F(e2)1e2.所以g(x)F(x)1e2.综上，对任意x0，g(x)1e2.规律方法 利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后判断这个函数的单调性，结合给定的区间9和函数在
16、该区间上的最值使问题得以求解.跟踪训练4已知函数f(x)x2aln x(aR R)，1 2(1)若f(x)在x2 时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1 时，x2ln xx3.1 22 3解 (1)f(x)x ，因为x2 是一个极值点，所以 2 0，则a4.此时a xa 2f(x)x ，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，4 xx2x2 xf(x)0；当x(2，)，f(x)0，所以当a4 时，x2 是一个极小值点，则a4.(2)因为f(x)x ，所以当a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)a xx2a x当a0 时，f(x)x ，所以函数f(
17、x)的单调递增a xx2a xxaxax区间为(，)；递减区间为(0，)aa(3)证明：设g(x)x3x2ln x，则g(x)2x2x ，因为当x1 时，g(x)2 31 21 x0，所以g(x)在x(1，)上为增函数，所以g(x)g(1)x12x2x1 x 0，所以当x1 时，x2ln xx3.1 61 22 3导数的实际应用现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图 31 所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的 4 倍图 3110(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2
18、)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？思路探究 (1)利用锥体和柱体的体积公式求解；(2)利用锥体和柱体的体积公式建立目标函数，结合导数法求解解 (1)由PO12 知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥 A1BPO1 62224(m3)1 32 11 3正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则 00，V是单调递增函数；3当 20，f(x)为增函数；当 4x6 时，f(x)0，f(x)为减函数故x4 是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，即当x4 时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于 42.故当销售价格x为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大