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1、连云港市连云港市 20172017 届高三年级模拟考试届高三年级模拟考试数学数学第卷（共第卷（共 7070 分）分）一、填空题一、填空题(每题每题 5 5 分分,满分满分 7070 分分,江答案填在答题纸上江答案填在答题纸上)1.已知集合A 1，1，2,B 0，1，2,7,则集合AB中元素的个数为2.设a,bR，1i abi(i为虚数单位)，则b的值为1ix2y21的离心率是3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线434.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是5.如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为6.已知一组数据 3，6，9
2、，8，4，则该组数据的方差是 y x1,y7.已知实数x，y满足x 3,则的取值范围是x y 2,x8.若函数f(x)2sin(2x)(0 单调减区间是9.在公比为q且各项均为正数的等比数列an中，Sn为an的前n项和.若a12)的图象过点(0,3)，则函数f(x)在0,上的1，且2qS5 S2 2，则q的值为10.如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB AA13，点P在棱CC1上，则三棱锥P ABA1的体积为11.如图，已知正方形ABCD的边长为 2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1 3logax，y2 2logax和y3 logax(a 1)的图象上，则实数a的值为1
3、2.已知对于任意的x(,1)(5,)，都有x 2(a2)xa 0，则实数a的取值范围是13.在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x2)(y m)3.若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB 2GO，则实数m的取值范围是222c，14.已知ABC三个内角A，且C C的对应边分别为a，b，B，取得最大值时，3，当AC ABc 2，b的值为a第卷（共第卷（共 9090 分）分）二、解答题二、解答题（本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.）15.如图，在ABC中，已知点D在边AB上，AD3DB，cos A4
4、5，cosACB，513BC 13.（1）求cosB的值；（2）求CD的长.16.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.（1）求证：AB/EF；（2）若平面PAD 平面ABCD，求证：AE EF.x2y21的左、右顶点分别为A，17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：43B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）.（1）若QF 2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数，使得k1k2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.某景区修建一栋复古建筑，
5、其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为 1m，且AB1，设EOF，透光区域的面积为S.AD2（1）求S关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边AB的长度.19.已知两个无穷数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，a11，S2 4，对任意的nN，都有3Sn1 2Sn Sn2an.（1）求数列an的通项公式；（2）若bn为等差数列，对任意的nN，都有SnTn.证明：a
6、n bn；（3）若bn为等比数列，b1 a1，b2 a2，求满足20.已知函数f(x)an2Tn ak(k N)的n值.bn2Snm xln x(m 0)，g(x)ln x2.x（1）当m 1时，求函数f(x)的单调区间；（2）设函数h(x)f(x)xg(x)2，x 0.若函数y h(h(x)的最小值是的值；3 2，求m2（3）若函数f(x)，g(x)的定义域都是1,e，对于函数f(x)的图象上的任意一点A，在函数g(x)的图象上都存在一点B，使得OAOB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围.21.【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，
7、请选定其中两题，并在相应的答题四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤.A.选修 4-1：几何证明选讲如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上，若ACN 3ADB，求ADB的度数.B.选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵A a318，若A ，求矩阵A的特征值.2d24C.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点A(2,2)，点B在直线l：cossin 0(0 2)上，当线段AB最短时，求点B的极坐标.D
8、.选修 4-5：不等式选讲已知a，b，c为正实数，且a3b3c3 a2b2c2，求证：a bc 333.请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，点F(1,0)，直线x 1与动直线y n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y n的交点为P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过动点M作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求证：AMB的大小为定值.23.选修 4-5：不等式选讲已知集合U 1,2,.,n(nN,n 2)，对于集合U的两个非
9、空子集A，B，若AB ，则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)（视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”）.（1）写出f(2)，f(3)，f(4)的值；（2）求f(n).三师三师 20172017 届高三第三次质量检测参考答案与评分标准试届高三第三次质量检测参考答案与评分标准试一、填空题一、填空题1.5 2.1 3.71261 2 4.5.6 6.(或 5.2)7.,(或26513y2x3)8.(,75 112 12)(或12,712)9.2 10.943 11.2 12.1a5)13.2,2(或2 m 2)14.23二、解答题二、解答题15.
10、解:(1)在ABC中,cos A45,A(0,)，所以sin A 1cos2A 1(4235)5.同理可得,sinACB 1213.所以cosB cos(AACB)cos(AACB)sin AsinACBcosAcosACB312451651351364.(2)在ABC中,由正弦定理得,AB BCsin BsinACB 1312313 20.5又AD3DB,所以BD 14AB 5.在BCD中,由余弦定理得,CDBD2BC22BDBCcosB52132251316649 2.16.解:(1)因为ABCD是矩形，所以AB/CD3 3(1,5(或又因为AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB/平面P
11、DC又因为AB 平面ABEF，平面ABEF 平面PDC EF，所以AB/EF（2）因为ABCD是矩形，所以AB AD又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD AD，AB 平面ABCD，所以AB 平面PAD又AF 平面PAD，所以AB AF又由（1）知AB/EF，所以AF EF17.解:(1)因为a2 4，b2 3，所以c a b 1，所以F的坐标为（1,0），设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l的方程为x my 1，代入椭圆方程，得(43m)y 6my 9 0，22223m6 1m23m6 1m2则y1，y243m243m23m6 1m23m6 1m22 0，若QF 2P
12、F，则2243m43m解得m 2 5，故直线l的方程为5x 2y 5 05（2）由（1）知，y1 y2所以my1y26m9，y y 1243m243m29m3(y1 y2)，43m223(y1 y2)y1k1y1x22y1(my21)12所以，3y2(my13)k2x12y2(y1 y2)3y232故存在常数11，使得k1k23318.解:(1)过点O作OH FG于点H，则OFH EOF，所以OH OFsinsin，FH OFcoscos所以S 4SOFH 4S扇形OEF1 2sincos4()2sin22，因为AB11，所以sin，所以定义域为,)AD2262（2）矩形窗面的面积为S矩形 A
13、D AB 22sin 4sin则透光区域与矩形窗面的面积比值为设f()则f()2sincos2cos4sin22sincos，22sin621sincossin222sinsincossin32sin2sincos2cos2sin21cos(sin2)2，22sin因为62，所以111sin2，所以sin2 0，故f()0，222所以函数f()在,)上单调减62所以当6时，f()有最大值63，此时AB 2sin1(m)4答：（1）S关于的函数关系式为S sin22，定义域为,)；62（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB的长度为 1m19.解:(1)由3Sn1 2Sn Sn2an，得2
14、(Sn1Sn)Sn2Sn1an，即2an 1an 2an，所以an 2an 1an 1an由a11，S14，可知a23所以数列an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列故an的通项公式为an2n1（2）证法一：证法一：设数列bn的公差为d，则Tnnb12由（1）知，Snnn(n1)d，2因为SnTn，所以n2nb1n(n 1)d，即(2d)nd2b10恒成立，22d0,d2,所以即d2b0,2bd,11又由S1T1，得b11，所以anbn2n1 b1(n1)d(2d)nd1 b1(2d)d1 b11 b10所以anbn，得证证法二：证法二：设bn的公差为d，假设存在自然数n02，使得an0bn
15、0，则a1(n01)2b1(n01)d，即a1b1(n01)(d2)，因为a1b1，所以d2所以TnSnnb1因为n(n 1)dddn2(1)n2(b1)n，222d10，所以存在Nn0N，当nNn0时，TnSn0恒成立2这与“对任意的nN，都有SnT”矛盾！所以anbn，得证2（3）由（1）知，Snn因为bn为等比数列，且b11，b23，所以bn是以 1 为首项，3 为公比的等比数列所以bn3n 13n1，Tn26n22n2an2Tn2n 1 3n13n2n2n 13n 1则，n 122232n32nbn2Sn32n因为nN，所以6n22n2 0，所以an 2Tn 3bn 2Sn而ak 2k
16、 1，所以an 2Tn1，即3n1n2 n1 0（*）bn 2Sn当n 1,2时，（*）式成立；当n 2时，设f(n)3nn1n2n1，2n1则f(n1)f(n)3(n1)n(3所以0 f(2)f(3).f(n).故满足条件的n的值为 1 和 220.解:(1)当m 1时，f(x)n2n1)2(3n1n)0，11 xln x，f(x)2ln x1xx因为f(x)在(0,)上单调增，且f(1)0，所以当x 1时，f(x)0；当0 x1时，f(x)0所以函数f(x)的单调增区间是(1,)mm2x2mmx（2）h(x)2x2，则h(x)22，令得，h(x)02xx2x当0 x mm)上单调减；时，h
17、(x)0，函数h(x)在(0,22当x mm,)上单调增时，h(x)0，函数h(x)在(22m)2 2m22m4，即m 时，292m32(2 m 1)12，22(2 m 1)所以h(x)min h(当2(2m1)函数y h(h(x)的最小值h(2 2m2)即17m26 m 9 0，解得m 1或m 9（舍），所以m 1；17当0 2(2 m 1)m14，即 m 时，249函数y h(h(x)的最小值h(综上所述，m的值为 1m34)2(2 m 1)2，解得m（舍）225mln x2，ln xkOBx2xln x23ln x考虑函数y，因为y 在1,e上恒成立，xx2ln x21所以函数y 在1,
18、e上单调增，故kOB2,xe11m所以kOA,e，即2ln x e在1,e上恒成立，22x（3）由题意知，kOAx2 x2ln x m x2(eln x)在1,e上恒成立即2x2 x2ln x，则p(x)2ln x 0在1,e上恒成立，设p(x)2所以p(x)在1,e上单调减，所以m p(1)设q(x)x(eln x)，则q(x)x(2e12ln x)x(2e12lne 0在1,e上恒成立，所以q(x)在1,e上单调增，所以m q(1)e综上所述，m的取值范围为,e21.解：A21212连结AN，DN因为A为弧MN的中点，所以ANM ADN而NABNDB，所以ANM NABADNNDB，即BC
19、N ADB又因为ACN 3ADB，所以ACNBCN 3ADBADB180，故ADB 45B B因为A 12a31 a6 8，2d222d4所以 a6 8a 423解得所以A22d 4d 121所以矩阵A的特征多项式为f()2231(2)(1)6 234，令f()0，解得矩阵A的特征值为1 1，2 4C C以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A(2,2)的直角坐标为(0,2)，直线l的直角坐标方程为x y 0AB最短时，点B为直线x y 2 0与直线l的交点，x y2 0 x 1解得所以点B的直角坐标为（-1,1）y 1x y 0所以点B的极坐标为(2,)D D因为a b c
20、 a b c 3 a b c，所以abc3，所以abc 33abc 333，333222333334当且仅当a b c 33时，取“”22.解:(1)因为直线y n与x 1垂直，所以MP为点P到直线x 1的距离连结PF，因为P为线段MF的中垂线与直线y n的交点，所以MP PF所以点P的轨迹是抛物线焦点为P(0,0)，准线为x 1所以曲线E的方程为y 4x（2）由题意，过点M(1,n)的切线斜率存在，设切线方程为y n k(x1)，联立2y kxk n,2得ky 4y 4k 4n 0，2y 4x,所以1164k(4k 4n)0，即k2kn1 0（*），因为2 n 4 0，所以方程（*）存在两个
21、不等实根，设为k1，k2，因为k1k2 1，所以AMB90，为定值23.解:(1)f(2)1，f(3)6，2f(4)25（2）解法一：解法一：设集合A中有k个元素，k 1,2,3,.,n1则与集合A互斥的非空子集有2nk1个1n1knk1n1knkn1k于是f(n)Cn(21)Cn2Cn2k12k1k1因为n1Ck1knn1kn2nkknk0nn0Cn2Cn2 Cn2(21)n2n1 3n2n1，k0n1Ck1k0nCnCnCn 2n2，k0n1所以f(n)1n1(3 2n1)(2n2)(3n2n11)22解法二：解法二：任意一个元素只能在集合A，B，C CU(AB)之一中，则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种；其中A为空集的种数为2，B为空集的种数为2，nn所以A，B均为非空子集的种数为3 22 1，nn又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”，所以f(n)1n(3 2n11)2