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1、1基本不等式的证明基本不等式的证明一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明简单的线性 规划问题1. 掌握线性规划问题的求解 过程，特别是确定最优解的方 法。 2. 能从实际情境中抽象出一 些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决。选择题 填空题线性规划是一 类利用图形解决最 值问题的方法，体 现了数形结合的思 想，也是高考考查 的热点。二、重难点提示二、重难点提示 重点：重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解；将实际问题转化为线性 规划问题，并通过最优解的判断予以解决。 难点：难点：利用图解法求最优解以及如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确 给出解答。考点一：线性
2、规划相关概念考点一：线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【核心归纳核心归纳】 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域， 此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点顶点。 考点二：应用考点二：应用 1. 求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： （1
3、）作图作图画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行 直线系中的任意一条直线l； （2）平移平移将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置； （3）求值求值解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的 最值。 2. 利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：2注意：注意：解决实际问题的关键在于正确理解正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言进而 建立数学模型。【随堂练习随堂练习】已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 yxyx2220给定。若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1） ，则z的最大值为 _。2OMOA思路分析：思路分析：作出可行域，
4、把目标函数利用向量的数量积坐标表示成关于, x y的一次函 数，利用图象法求解。 答案：答案：由线性约束条件yxyx2220画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z2xy，将其化为OMOAy2xz，结合图形可知，目标函数的图象过点（2，2）时，z最大，将点（ 2，2）的坐标代入z2xy得z的最大值为 4。 技巧点拨：技巧点拨：本题是向量知识与线性规划的结合应用，注意向量的“代数化代数化” ，它是本题 解决的转折点。例题例题 1 1 （线性规划问题）（线性规划问题）设z3x5y，式中变量x、y满足条件 001710732yxyxyx，求z的最小值。3思路分析：思路分析： 答案：答案：画出约束条件表
5、示的点（x，y）的可行域， 如图所示的阴影部分（包括边界直线） 。把z3x5y变形为y53x5z，得到斜率为53，在y轴上的截距为5z，随z变化的一组平行直线。053 yx斜率为53；17107yx斜率为107；32yx斜率为21；21 53 107作直线l：3x5y0，把直线向右上方平行移至l1的位置时，直线经过可行域上的 点M， 此时l1：3x5yz0 的纵截距最小，同时z3x5y取最小值。解方程组 1710732 yxyx，得M（1，1） 。 故当x1，y1 时，zmin8。 技巧点拨：技巧点拨： 1. 由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点最大值点，还是
6、最小值点最小值点。对于目标函数zaxby，当b0 时，直线截距最大时，z有最大值，截距最小 时，z有最小值；当b0 时则相反。 2. 图解法解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z的几何意义求解。平移直线 axby0 时，看它经过哪个点（哪些点）时最先接触可行域和最后离开可行域，这样的 点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得。例题例题 2 2 （简单的整数线性规划问题）（简单的整数线性规划问题） 预计用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和单价为 20 元的椅子，希望使桌子、椅子的 总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，则买桌子、椅子各多 少才行
7、？ 思路分析：思路分析：4答案：答案：设买桌子x张，买椅子y把。由题意得Nyxyxxyyxyx,200020505 . 100目标函数为zxy， 满足以上不等式组的可行域如图所示。由 200020505 . 1yxxy得 27525yx点B的坐标为（25，275） 。 作直线l：xy0，将直线向右上方平移， 当直线l经过可行域中的点B时，z取得最大值。 x，yN，y37。应买桌子 25 张，椅子 37 把。 技巧点拨：技巧点拨： 1. 当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时，应为整数，利用线性规划求最值，最 优解也应为整数。 2. 本题利用的是调整优值法求整点：先求非整点最优解，再借助于不定
8、方程知识调整最 优值，最后筛选出整点最优解。利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值【满分训练满分训练】变量x、y满足 102553034xyxyx。 （1）设zxy，求z的最小值；5（2）设zx2y2，求z的取值范围； （3）设zx2y26x4y13，求z的取值范围。思路分析：思路分析：（x，y）是可行域内的点。 （1）z00 xy可以理解为点（x，y）与点（0，0）连线的斜率。 （2）x2y2可以理解为点（x，y）与点（0，0）连线距离的平方。 （3）x2y26x4y13（x3）2（y2）2可以理解为点（x，y）与（3，2）的 距离的平方。结合图形确
9、定最值。 答案：答案：由约束条件 102553034xyxyx，作出（x，y）的可行域如图所示。由 025531 yxx， 解得A)522, 1 (。由 0341 yxx，解得C（1，1） 。由 02553034 yxyx，解得B（5，2） 。（1）z00 xy xy。z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率。观察图形可知zminkOB52。（2）zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方。结合图形可知， 可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|29。2z29。2（3）zx2y26x4y13（x3）2（y2）2的几何意义是可行域上的点到点 （3，2）的距离的平方。结合图形可知，可行域上的点到（3，2）的距离中，dmin1（3）4，dmax22)22()53(8。16z64。 技巧点拨：技巧点拨： （1）本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法。 （2）解决这类问题的关键是利用数形结合数形结合的思想方法，给目标函数目标函数赋予一定的几何意几何意 义义。 （3）本题错误率较高。出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知6道从其几何意义入手解题。