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1、1简单的线性规划问题简单的线性规划问题（答题时间：（答题时间：4040 分钟）分钟）*1. 设z2y2x4，式中的x，y满足条件 122010xyyx，则z的取值范围是_。 *2. 某同学拿 50 元钱买纪念邮票，票面 8 角的每套 5 张，票面 2 元的每套 4 张，如果每 种至少买两套，共有_种买法。 *3. 在二元一次方程组 0400yxyx表示的平面区域内，使得x2y取得最小值的整点坐标为_。 *4. 已知变量x，y满足约束条件 1xy4，2xy2。若目标函数 zaxy（其中a0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为_。 *5. 如果点P在平面区域 02012022yxyxy
2、x内，点Q在曲线x2（y2）21 上，那么|PQ|的最小值为_。 *6 . 一批长 400 cm 的条形钢材，需要将其截成 518 mm 与 698 mm 的两种毛坯，则钢材 的最大利用率为_。*7. 已知变量x，y满足 1255334xyxyx，（1）设y2xp，求p的最大值和最小值；（2）求xy的取值范围；（3）求x2y2的取值范围。 *8. 已知实数x，y满足 myxxyy 12, 1，若目标函数zxy的最小值的取值范围是2，1，求目标函数的最大值的取值范围。*9. 某家具厂有方木料 90 m3，木工板 600 m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生 产每张书桌需要方木料 0.1 m3，
3、木工板 2 m3；生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，木工板 1 2m3，出售一张书桌可以获利 80 元，出售一张书橱可以获利 120 元。问：怎样安排生产可以 获利最大？31. 4，8 解析：作出满足不等式组 122010xyyx的可行域（如图所示） 。作直线 2y2x0，并将其平移， 由图象可知当直线经过点A（0，2）时，zmax222048； 当直线经过点B（1，1）时，zmin212144。 所以z的取值范围是4，8。2. 16解析：设票面 8 角的买x套，票面 2 元的买y套。由题意得： 504258 . 0, 2, 2*yxNyyNxx即 *,2542, 2, 2Nyxyxyx画
4、出如图平面区域得 y2 时，x2，3，4，5，6，7，8； y3 时，x2，3，4，5，6； y4 时，x2，3，4； y5 时，x2。 共有 753116 种买法。 3. （1，2） 解析：不等式组表示的平面区域如图所示：平面区域不包括边界，4平面区域内的整点共有（1，1） ， （1，2） ， （2，1）三个。 代入检验知，整点为（1，2）时，x2y取得最小值。 4. （1，） 解析：由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数zaxy在点（3，1）处取 得最大值，结合图形可知a1。5. 15解析：首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x2（y2）21，如图所示，从而 可知点P到Q的距离最小值
5、是可行域上的点到（0，2）的最小值减去圆的半径 1，由图可知|PQ|min151)2(122。6. 99.65% 解析：设 518 mm 和 698 mm 的毛坯个数分别为x，y，最大利用率为z，则z4008 .698 .51yx 。又 *,4008 .698 .51Nyxyx 25yx为最优解，此时z40028 .6958 .5199.65%。7. 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示。 （1）p的几何意义为直线y2xp在y轴上的截距，由图可知直线y2xp经 过（1，1）时，pmin3；经过（5，2）时，pmax12。（2） 的几何意义为平面区域内的点与原点连线的斜率，由图可知522 5
6、2xy。y x（3）x2y2的几何意义为平面区域内的点与原点距离的平方，由图可知 2x2y229。58. 解：不等式组表示的可行域如图所示，目标函数变形为yxz，当z最小时就是直 线yxz在y轴上的截距最大时。当z的最小值为1，即直线yx1 时，由 121 xyxy，可得此时点A的坐标是（2，3） ，此时m235；当z的最小值为2，即直线yx2 时，由 122 xyxy可得此时点A的坐标是（3，5） ，此时m358。故m的取值范围是5，8。 而目标函数取最大值时，yxz在y轴上截距最小，此时目标函数过B（m1，1） ， 于是zmaxm11m2。 因为m的取值范围是5，8，所以目标函数最大值的取值范围是3，6。 9. 解：设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元，则约束条件为*,6002902 . 01 . 0Nyxyxyx利润 z80x120y，作出不等式表示的平面区域如图所示，将直线 z80x120y 平移可知： 当生产 100 张书桌，400 张书橱时，利润最大，为 z8010012040056 000（元） 。