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1、第第5章章 函数误差与误差合成函数误差与误差合成知识点和教学目标知识点和教学目标l函数系统误差l函数随机误差l误差分布的模拟计算l误差合成l误差分配l微小误差取舍准则l最佳测量方案 第一节函数误差第一节函数误差误差传递误差传递l当要测量截球体的体积时，最方便的方法是先测量圆截面的直径d和高度h，在按下式计算体积Vl如果在直接测得值d和h中含有误差d 和 h，则由V=f(h，d)计算出的体积V中，也必然会有误差V，而且与 d 和 h之间也有一定的函数关系,这就是误差传递。误差的合成与分配误差的合成与分配l由两个（如h,d）或多个误差值合并成一个误差值（如V），叫作误差的合成。l它是间接测量计算误
2、差的基本方法。l反过来如上例中已知对V的要求，进而要确定具体测量时对h和d的要求，这就是误差的分配或误差的分解。l它是设计仪器和装置时不可缺少的步骤，即从仪器总的精度要求出发，确定仪器各个组成部分和环节（包括零件、部件和装调等）的精度要求。函数误差函数误差l间接测量间接测量l通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量l间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数l函数误差函数误差n间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差函数误差l研究函数误差的内容，实质上就是研究误差研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题。而对于这种具有确定关系的
3、误的传递问题。而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为差计算，也有称之为误差合成误差合成。间接测量数学模型间接测量数学模型l某类间接测量的数学模型（显函数）l 与被测量有函数关系的各个直接测量值及其他非测量值，又称输入量输入量ly 间接测量值 又称输出量输出量被测量被测量Y的最佳估计值的最佳估计值 l重复测量时，被测量Y的最佳估计值y，可以有以下两种方法获得：l第一种方法第一种方法l第二种方法第二种方法 l第一种方法适用于输入量彼此相关，输入量受环境第一种方法适用于输入量彼此相关，输入量受环境条件在内的影响量的影响条件在内的影响量的影响l第二种方法适用于输入量不相关，且不受环境条件第二种方
4、法适用于输入量不相关，且不受环境条件的影响，或环境条件发生变化时做了适当的修正的影响，或环境条件发生变化时做了适当的修正l以上两种方法，当以上两种方法，当f是输入量是输入量Xi的线性函数时，它们的线性函数时，它们的结果相同。但当的结果相同。但当f是是Xi的非线性函数时，应采用的非线性函数时，应采用第一第一种种的计算方法。的计算方法。一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算函数系统误差公式函数系统误差公式l由高等数学可知，对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示，则函数增量l各个各个直接测得值的系统误差直接测得值的系统误差 ,由于这些误差值皆较小，可以近似代替微分量 函数系统误差 的近似计算公式
5、 为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数 和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用 和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用函数系统误差的计算函数系统误差的计算l直接测得值的系统误差l对直接测得值进行修正，得到l被测量的近似真值l系统误差函数系统误差的计算函数系统误差的计算常见函数的系统误差计算常见函数的系统误差计算 l若函数形式为线性公式l函数的系统误差为l式中的各误差传播系数ai为常数。l当ai=1时，则有l函数为各个测得值的和时，其函数系统误差亦为各测得值系统误差之和。常见函数的系统误差计算常见函数的系统误差计算 l在间接测量中，也常遇到角度测量，其函数关系为三角函
6、数式，它常以 、等形式出现。l若三角函数为l可得三角函数的系统误差为l在角度测量中，需要求得的误差不是三角函数误差，而是所求角度的误差。常见函数的系统误差计算常见函数的系统误差计算 l对正弦函数微分得l用系统误差代替相应的微分量，则有l正弦函数的角度系统误差公式为【例例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 ，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长 试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解解】建立间接测量大工件直径的函数模型 不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值 车间工人测量弓高、弦长的系统误差 直径的系统误差
7、故修正后的测量结果 计算结果误差传播系数为 若直接用h=50.1和L=499计算得：1292.62mm。l以上讲的都是恒定系统误差，对于可变系统误差，其合成非常复杂，往往难以计算，故宜在合成前做修正或消除。l至于复杂规律变化的系统误差，按传统习惯是当作随机误差来处理。二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算l随机误差常用表征其取值分散程度的标准偏差来评定，对于函数的随机误差，也可用函数的标准偏差来评定。l因此，函数随机误差计算的一个基本问题就是研究函数 的标准偏差与各测量值 的标准偏差之间的关系。变量中有随机误差，即泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得
8、 函数的一般形式（显函数）得到 数学模型数学模型或 第i个直接测得量 的标准偏差 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传播系数 1、函数标准偏差计算公式函数标准偏差计算公式 或相互独立的函数标准偏差计算相互独立的函数标准偏差计算 若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 令三角形式的函数随机误差公式三角形式的函数随机误差公式函数形式为 函数随机误差公式为 例例用千分尺直接测量圆柱体的直径用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度和高度h（d和和h的基本尺寸的基本尺寸均为均为10mm）各）各6次，测得值列于下
9、表，求圆柱体体积次，测得值列于下表，求圆柱体体积V及标及标准偏差。准偏差。直径直径d10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度高度h10.10510.11510.11510.11010.11010.105解解：按贝塞尔式计算按贝塞尔式计算 和和 的标准偏差分别的标准偏差分别为为例例直径直径d10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度高度h10.10510.11510.11510.11010.11010.105V807.194 807.993 808.794 806.793 807.593 806.394【例例】用弓高弦长法间接
10、测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长。已知车间工人测量该工件弓高的标准偏差，弦长的标准偏差 ，试求测量该工件直径的标准偏差，并求修正后的测量结果。【解解】有故修正后的测量结果 函数的极限误差公式函数的极限误差公式 当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准偏差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式 第i个直接测得量 的极限误差 例例2、相关系数估计相关系数估计相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影响 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响 函数标准偏差与各随机误差分量标准偏差之间具有正线性叠加的传播关系思考：
11、以两个自变量情形，讨论相关系数分别为0、-1、+1的误差传播关系 函数随机误差公式当相关系数当相关系数相关系数的确定直接判断法相关系数的确定直接判断法可判断 的情形 断定 与 两分量之间没有相互依赖关系的影响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然 与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关 相关系数的确定直接判断法相关系数的确定直接判断法可判断 或 的情形 可断定 与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然 与
12、 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关 相关系数的统计计算与实验估计相关系数的统计计算与实验估计根据 的多组测量的对应值 ，按如下统计公式计算相关系数 3 3、函数误差分布的模拟计算函数误差分布的模拟计算 随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征 分布密度函数 解析方法难以求得计算机数值仿真计算 计算机随机模拟法的步骤计算机随机模拟法的步骤 输入各输入量 及其算术平均值 和标准偏差产生各种所需误差分布的大样本伪伪随随机机数数，并绘制其统计直方图（伪伪随随机机数数产产生生：线线性性同同余余法法、变变换换法法、中心极限定理法等中心极限定理法等)按函数测量模型公式计算
13、该大样本数的间接量 ，并绘制该函数误差分布的统计直方图统计并输出该间接量的最佳估计值、标准偏差与及误差分布区间半宽度等特征量。计算机模拟测量系统计算机模拟测量系统【例例】用相同标称长度50mm的标准块规校准某块规，通过两块规长度的直接比较，输出两者的长度差有如下公式 假设各个量之间的相关系数均为0。试用仿真计算的方法分析该校准的误差分布及其标准偏差，并用误差传播公式核算标准偏差。【解解】核算核算故有输入量的误差性质输入量的误差性质输入量名称分布 标准偏差数值受校块规长度值在20C时的校准长度 两块规长度差值在20C时的长度 标准块规的热膨胀系数 试验座温度偏离标准温度 两块规的热膨胀系数 两块
14、规间温度差 00正态正态均匀均匀均匀反正弦六个输入量分布均值均值均值均值均值均值输出量分布 均值直方图讨论：比较解析公式法与数值仿真法。（线性精确程度、解析难度等）第二节第二节 随机误差随机误差的合成的合成 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。标准偏差合成极限误差合成 解决随机误差的合成问题一般基于标准偏差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响 一一、标准偏差合成、标准偏差合成合成标准偏差合成标准偏差 q个单项随机误差，标准偏差 误
15、差传播系数 v由间接测量的显函数模型求得 v根据实际经验给出 用标准偏差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准偏差，均可计算出总的标准偏差 当误差传播系数 、且各相关系数均可视为0的情形 合成标准偏差的合成标准偏差的特殊情形特殊情形各个误差互不相关，相关系数 合成标准偏差 视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量 二、极限误差合成二、极限误差合成 单项极限误差 单项随机误差的标准偏差 单项极限误差的置信系数 合成极限误差 合成标准偏差 合成极限误差的置信系数 合成极限误差计算公式合成极限误
16、差计算公式根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成 各个置信系数 、不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，即使选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同 合成极限误差特殊情形合成极限误差特殊情形当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布，此时 合成极限误差 若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式 第三节系统误差
17、合成第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：表示符号：合成方法合成方法：按照代数和法进行合成按照代数和法进行合成i 为第i个系统误差，ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成 （一）（一）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定定义定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围 e 的系统误差也就是说，在一定条
18、件下客观存在的某一系统误差，一定是落在所估计的误差区间(-e，e)内的一个取值。当测量条件改变时，该系统误差又是误差区间(-e，e)内的另一个取值。当测量条件在某一范围内多次改变时，未定系统误差也随之改变，其相应的取值在误差区间(-e，e)内服从某一概率分布。二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成 （一）（一）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定对于某一单项未定系统误差，其概率分布取决于该误差源变化时所引起的系统误差变化规律。理论上此概率分布是可知的，但实际上常常较难求得。目前对未定系统误差的概率分布，均是根据测量实际情况的分析与判断来确定的，并采用两种假设：一种是按正态
19、分布处理；另一种是按均匀分布处理。对于某一单项未定系统误差的极限范围，是根据该误差源具体情况的掌握程度以及测量人员的经验和判断能力。二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成 （一）（一）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定特征特征：1）在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。表示符号：表示符号：极限误差：极限误差：e 标准偏差标准偏差：u1、标准偏差合成、标准偏差合成（一）（一）未定系统误差的合成未定系统
20、误差的合成 未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即克可以按照标准偏差合成，也可以按照极限误差的形式合成。若测量过程中有 s 个单项未定系统误差，它们的标准偏差分别为 u1，u2，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，as，则合成后未定系统误差的总标准偏差 u 为:则由各单项未定系统误差标准偏差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，ij 为第 i
21、 个和第 j 个误差项的相关系数当 ij=0 时2、极限误差的合成、极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即 ，则上式可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成一、按极限误差合成 误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准偏差形式合成。测量过程中，假定有 r 个单项已定系统误差，s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1
22、、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取 1，则测量结果总的极限误差为：式中，R 为各个误差之间的协方差之和。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行 n 次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n。总极限误差变为：二、二、按标准偏差合成按标准偏差合成 测量过程中，假定有 s 个单项未定系统误差，q
23、 个单项随机误差，它们的标准偏差分别为：1、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取 1，则测量结果总的极限误差为：式中，R 为各个误差之间的协方差之和。若用标准偏差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准偏差为：2、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行 n 次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n。总极限误差变为：第五节第五节 误差分配误差分配基本思想基本思想 误差分配误差分配 由
24、给定测量结果允许的总误差，合理确定各单项误差。假设各误差因素互不相关，有 给定，如何确定，满足一、按等影响原则分配误差一、按等影响原则分配误差 等影响原则等影响原则 各分项误差对函数误差的影响相等，即 可得到 极限误差表示 函数的总极限误差 各单项误差的极限误差 二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对另一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性按等影响原则分配误差的不合理性(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其
25、传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 误差先按等影响原则初步确定，再经过合理调整后，按误差合成公式计算，若总误差超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。例例【解解】测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径及高度，根据函数式 求得体积，若要求测量体积的相对
26、误差为1，已知直径和高度的公称值分别为，试确定直径及高度 的准确度。计算体积 体积的绝对误差 按等影响分配原则分配误差：用这两种量具测量的体积极限误差为 因为 查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高，在50mm测量范围内的极限误差为，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为。调整后的实际测量极限误差为 因为 因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的一把游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但
27、可从测量高度允许的多余部分得到补偿。合理调整：第六节第六节 微小误差取舍准则微小误差取舍准则基本概念基本概念 微小误差微小误差 测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差 测量结果的标准偏差 将其中的部分误差取出后，则得 若有 则称为微小误差 对一般测量，测量误差取一位有效数字，若舍去某误差后，对一般测量，测量误差取一位有效数字，若舍去某误差后，它的影响达到以下要求，则该项误差为微小误差它的影响达到以下要求，则该项误差为微小误差：解上式解上式对于比较精密的测量，误差可取对于比较精密的测量，误差可取2 2位有效数字位有效数字解上式解上式结论：微小误差舍去的准则
28、是被舍去误差必须小于等于测结论：微小误差舍去的准则是被舍去误差必须小于等于测量结果量结果总标准偏差的总标准偏差的（1/31/10）。使用场合：当已知测量的精度（不确定度）要求时，可按使用场合：当已知测量的精度（不确定度）要求时，可按上述原则选取测量仪器。如电阻阻值要求上述原则选取测量仪器。如电阻阻值要求为为10001时，时，仪表精度（不确定度）应至少仪表精度（不确定度）应至少0.3。第七节第七节 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定基本概念基本概念 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定 当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。函数的标准偏差 欲使为最
29、小，可从哪几方面来考虑？一、选择最佳函数误差公式一、选择最佳函数误差公式 间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含直接测量值数目少的函数公式。不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同，则应选取误差误差较小的直接测量值的函数公式。一、选择最佳函数误差公式一、选择最佳函数误差公式例：测轴心距，三种方案例：测轴心距，三种方案已知已知第第1 1法法第第2 2法法第第3 3法法二、使误差传播系数尽量小二、使误差传播系数尽量小 若使各个测量值对函数的误差传播系数或为最小，则函数误差可相应减少。根据这个原则，对某些测量实践，尽管有时不可能达到使 等于零的测量条件，但却指出了达到最佳测量方案的趋向
30、【例例】用弓高弦长法测量工件直径，已知其函数式为 试确定最佳测量方案【解解】直径函数误差的误差公式 最佳测量方案最佳测量方案欲使 为最小，必须(1)使 。满足此条件，必须 ，但由图中几何关系可知，此时有 ，因而无实际意义。(2)使 为最小。若满足 为最小，则 值愈大愈好，即 值愈接近直径愈好(3)使 。满足此条件，必须使 ，即要求直接测量直径，才能消除 对函数误差 的影响 结论结论 欲使为 最小，必须测量直径，此时弓高的测量误差 已不影响直径的测量准确度，而只有弦长的测量误差 影响直径的测量准确度。但对大直径测量，此条件难以满足，不过他指出了当 值愈接近值 时，直径的测量误差越小。练习题练习题