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1、江苏省苏州市 2022-2023学年高一上学期期末数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合08UxxN，1,2,3A，3,4,5,6B，则下列结论错误的是（）A3AB B1,2,3,4,5,6AB C4,5,6,7,8UA D1,2,7UB 2已知 a，Rb，那么“33ab”是“1133loglogab”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 3毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程已知我国四个南极
2、科考站之一的昆仑站距离地球南极点约 1050km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转rad3，昆仑站运动的路程约为（）A2200km B1650km C1100km D550km 4用二分法求函数 ln11f xxx在区间 0,1上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区间的次数最少为（）A5 B6 C7 D8 5若实数 a，b 满足12abab，则 ab 的最小值为（）A2 B2 C2 2 D4 6设函数 cos06fxx若 4fxf对任意的实数 x 都成立，则的最小值为（）A13 B12 C23 D1 7已知幂函数223*mmyxmN的图象关于 y 轴对称，且在0,上单调递减
3、，则满足33132mmaa的 a 的取值范围为（）A0,B2,3 C30,2 D2 3,1,3 2 8定义：正割1seccos，余割1cscsin已知 m 为正实数，且22csctan15mxx对任意的实数,2Zx xkk均成立，则 m 的最小值为（）A1 B4 C8 D9 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.9下列选项中，与11sin6的值相等的是（）A2sin15 sin75 Bcos18 cos42sin18 sin42 C22cos 151
4、D2tan 22.51tan 22.5 10下列函数中，既是偶函数又是区间(1,)上的增函数有（）A13xy Bln1ln1yxx C22yx D1yxx 11函数 3sin 2f xx的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A f x的最小正周期为 B23f是 f x的最小值 C f x在区间0,2上的值域为3 3,2 2D把函数 yf x的图象上所有点向右平移12个单位长度，可得到函数3sin 2yx的图象 12若63b，62a，则（）A1ba B14ab C2212ab D110ba 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13若对任意 a0 且1a，函数 11
5、xf xa的图象都过定点 P，且点 P 在角的终边上，则tan_ 14已知1sin63，则25sinsin63的值为_ 15设函数 f x的定义域为R，f x为偶函数，1f x为奇函数，当 1,2x时，()2xf xab，若 014ff，则72f_ 16设函数2,0()1,04xexf xxxx，则 0ff_，若方程 f xb有且仅有 1 个实数根，则实数 b 的取值范围是_ 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）已知集合2log12Axx，22210Bx xaxa （1）若1a，求AB；（2）求实数 a 的取值范围，使_成
6、立 从RAB，UBA，RBA 中选择一个填入横线处并解答 18（12 分）已知二次函数 2f xaxbxc（a，b，c 均为常数，0a），若1和 3 是函数 f x的两个零点，且 f x最大值为 4（1）求函数 f x的解析式；（2）试确定一个区间 D，使得 f x在区间 D 内单调递减，且不等式 f xmxm 0m 在区间 D 上恒成立 19（12 分）已知，为锐角，1tan2，2cos10 （1）求cos2的值；（2）求的值 20（12 分）设 a，b 为实数，已知定义在 R 上的函数 51xbf xa为奇函数，且其图象经过点21,3（1）求 f x的解析式；（2）用定义证明 f x为 R
7、 上的增函数，并求 f x在1,2上的值域 21（12 分）为了研究其种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为 8，14，26根据实验数据，用 y 表示第 t（*aN）天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：2yaxbxc；xyp qr，其中0q 且1q （1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第 4 天和第 5 天观测的群落单位数量分别为 50 和 98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过 500 22（12 分）若函数 f x在定义域内存在实数 x 满足 fx
8、k f x-，kZ，则称函数 f x为定义域上的“k 阶局部奇函数”（1）若函数 tan2sinf xxx，判断 f x是否为0,上的“二阶局部奇函数”并说明理由；（2）若函数 lgf xmx是2,2上的“一阶局部奇函数”，求实数 m 的取值范围；（3）对于任意的实数,2t，函数 22f xxxt恒为 R 上的“k 阶局部奇函数”，求 k 的取值集合 江苏省苏州市 20222023 学年高一上学期期末数学试题【参考答案】一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1【分析】分别根据交集，并集，补集的定义即可求出【解答】解
9、：081,2,3,4,5,6,7UxxN，1,2,3A，3,4,5,6B，则3AB，1,2,3,4,5,6AB，4,5,6,7UA，1,2,7UB 故选：C【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础题 2【分析】由对数不等式和指数不等式的解法，结合充分必要条件的定义，可得结论【解答】解：33abab，1133loglog0abab，由0ab可推得ab，但ab，不可推得0ab，所以“33ab”是“1133loglogab”的必要不充分条件 故选：B【点评】本题考查不等式的解法和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题 3【分析】利用弧长公式即可求解【解答】解：因为昆仑站距
10、离地球南极点约 1050km，地球每自转rad3，所以由弧长公式得：105011003l 故选：C【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题 4【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过 n 次操作后，区间的长度为12n，据此可得10.012n，解可得 n 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，原来区间0，1的长度等于 1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过 n 次操作后，区间的长度为12n，若10.012n，即7n 故选：C【点评】本题考查二分法的定义和运用，注意二分法区间长度的变化，考查运算能力和推理能力，属于基础题 5【分析】由12ab
11、ab，可判断0a，0b，然后利用基础不等式1222abab即可求解 ab 的最小值【解答】解：12abab，0a，0b，1222abab（当且仅当2ba时取等号），22abab，解可得，2 2ab，即 ab 的最小值为2 2，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题 6【分析】根据 4fxf恒成立，得到当4x时，函数 f x取得最大值，利用最值性质进行求解即可【解答】解：若 4fxf对任意的实数 x 都成立，则4f是 f x的最大值，即246k，kZ，即283k，kZ，0，当0k 时，取得最小值为23，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条
12、件确定当4x时，函数 f x取得最大值是解决本题的关键 7【分析】由条件知2230mm，*mN，可得1m 再利用函数13yx的单调性，分类讨论可解不等式【解答】解：幂函数223mmyx*mN在0,上单调递减，故2230mm，解得13m，又*mN，故1m 或 2，当1m 时，4yx的图象关于 y 轴对称，满足题意，当2m 时，3yx的图象不关于 y 轴对称，舍去，故1m，不等式化为1133132aa，函数13yx在,0和0,上单调递减，故1320aa 或0132aa 或1032aa，解得1a 或2332a 故选：D【点评】本题主要考查函数单调性的性质与判断，属于基础题 8【分析】先将原不等式化简
13、，再利用均值不等式求最值即可【解答】解：由已知得222sin15sincosmxxx，即422sin15sincosxmxx 因为2xkkZ，所以2cos0,1x，则2244222222221 cossin1cos2cos15sin15 1 cos15 15cos15 15cos2coscoscosxxxxxxxxxxx4222221 cos111716cos17216cos9coscoscosxxxxxx，当且仅当21cos4x 时等号成立，故9m 故选：D【点评】本题考查三角函数同角关系式，基本不等式，属于基础题 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给
14、出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.9【分析】求出11sin6的值，进而利用二倍角的正弦求值判断 A；利用两角和的余弦求值判断 B；利用二倍角的余弦求值判断 C；利用两角和的正切求值判断 D【解答】解：111sinsin2sin6662.对于 A，12sin15 sin752sin15 cos15sin302 ；对于 B，1cos18 cos42sin18 sin42cos 1842cos602 ；对于 C，232cos 151cos302 ；对于 D，因为22tan22.5tan4511tan 22.5，可得2tan22.
15、511 tan 22.52.与11sin6的值相等的是 ABD 故选：ABD【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数，是基础题 10【分析】根据指数函数，对数函数，二次函数和对勾函数的性质，逐一进行检验即可求解【解答】解：|31xy，定义域为 R，又|3131xxfxf x ，故函数为偶函数，当1x 时，|3131xxf x 单递增，故 A 正确；要使函数ln1ln1yxx有意义，则有x10 x1x 10 ，定义域1,x不关于0,0对称故不为偶函数，故 B 错误；22yx，对称轴0 x，函数在0,上单调递增，且为偶函数，故 C 正确；1yxx，定义域0 x
16、x 关于原点对称，且 1fxxf xx ，故不为偶函数，故 D 错误 故选：AC【点评】本题主要考查指数函数，对数函数，二次函数和对勾函数的性质，属于基础题 11【分析】由题意 3sin 2f xx的图象过点,36，可得sin 216，利用五点作图法可得，可求函数解析式为 3sin 26fxx，进而利用正弦函数的性质即可得出结论【解答】解：由题意 3sin 2f xx的图象过点,36，可得3sin 236，可得sin 216，利用五点作图法可得6，可得 3sin 26fxx，对于 A，f x的最小正周期为22T，正确；对于 B，223sin 23336f，正确；对于 C，由0,2x，可得72,
17、666x，可得1sin 2,162x，可得 33sin 2,362fxx，错误；对于 D，把函数 yf x的图象上所有点向右平移12个单位长度，可得到函数3sin 23sin2126yxx的图象，正确 故选：ABD【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，函数 yAsin（x+）的图象变换以及由 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题 12【分析】首先推得1ab，01ab，由不等式的性质和二次函数的性质，可得结论【解答】解：若63b，62a，则6log 2a，6log 3b，则1ab，且01ab，1ba，102a，故1ba，211110,244
18、abaaa，故 A 正确，B 正确；22222211112212222abaaaaa，故 C 错误；若0.499a，0.501b，则0.0010.1ba，故 D 错误 故选：AB【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13【分析】令幂指数等于零，求得 x、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解【解答】解：令10 x，求得1x ，2y，可得函数 11xf xa（0a，1a）的图象经过定点1,2P，所以点 P 在角 的终边上，则2tan21 故答案为：2【
19、点评】本题主要考查指数函数的特殊点，任意角的三角函数的定义，属于基础题 14【解答】解：1sin63，则25sinsin63 21sinsin6262sincos6611111399，故答案为：【点评】本题主要考查了利用诱导公式及拆角技巧在三角化简求值中的应用，属于中档试题 15【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程，求出 f x是周期为 4 的周期函数，根据条件建立方程求出a，b 的值即可【解答】解：1f x是奇函数，f x是偶函数，111fxf xf x ，则 2f xf x，则 4f xf x，即 f x是周期为 4 的周期函数，则0 x 时，11ff，则 10f，014ff，04f，即
20、204ff，则 120244fabfab，得2a，4b ，3277113422 2444 222222fffff 故答案为：44 2【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质和对应，建立方程求出 a，b 的值是解决本题的关键，是中档题 16【分析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到 b 的范围；【解答】解：函数 x2e,x01xx,x04f x，则 01014fff ef 0 x 时，1f x，0 x，214f xxx，对称轴为：12x，开口向下，函数的最大值为：1122f，0 x 时，104f，函数 yf x的图象如图所示，方程 f xb有且仅有 1
21、 个不同的实数根，则函数 yf x与yb有且只有 1 个交点，则实数 b 的取值范围是：1,0,12 故答案为：14;1,0,12【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17【分析】（1）由对数不等式和二次不等式的解法，化简集合 A，B，再由并集的定义可得所求集合；（2）选，分别求得 A，B 的补集，再由集合的包含关系可得 a 的不等式组，可得所求取值范围；选，求得 A 的补集，由交集的定义可得所求取值范围【解答】解：（1）集合 2log1201415Axxx
22、xxx，22002Bx xxxx，所以05ABxx；（2）选RAB，由2221011Bx xaxax axa ，可得11Bx xaxaRC或，所以15a 或1 1a，解得0a 或6a，则 a 的取值范围是,06,选UBA，由1,1Baa，51UAx xx或，所以15a 或1 1a，解得0a 或6a，则 a 的取值范围是,06,）；选ABR，由51UAx xx或，1,1Baa，可得1115aa ，解得24a，则 a 的取值范围是2,4【点评】本题考查集合的运算、集合的关系和不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题 18【分析】（1）利用零点的定义以及二次函数的性质，列出方程组，求出 a，
23、b，c 的值，即可得到答案；（2）利用二次函数的性质，求出 f x的单调区间，将不等式转化为2230 xmxm 在区间 D 上恒成立，求出不等式的解集，结合题意，即可得到答案【解答】解：（1）二次函数 2f xaxbxc且1和 3 是函数 f x的两个零点，且 f x最大值为 4，所以 10393014fabcfabcfabc解得1a -，2b，3c，所以 223f xxx；（2）函数 223f xxx 的图象开口向下，对称轴为1x，则函数 f x在,1上单调递增，在区间1,上单调递减，由不等式 0f xmxm m 在区间 D 上恒成立，则2230 xxmxm m 在区间 D 上恒成立，即22
24、3130 xmxmxxm在区间 D 上恒成立，由不等式130 xxm，可得13xm，所以不等式的解集为1,3m，要使得 f x在区间 D 内单调递减，且不等式 0f xmxm m 在区间 D 上恒成立，则1,3xm，故可取区间 1,3D 【点评】本题考查了二次函数图象与性质的应用，二次函数解析式的求解，函数零点的理解与应用，二次函数单调性的应用，不等式恒成立的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题 19【分析】（1）由同角三角函数的关系，可得sin2和cos的值，再由二倍角公式，得解；（2）先由二倍角公式求得sin2的值，再由同角三角函数的平方关系求得sin的值，根据2，结合
25、两角差的余弦公式，可得cos的值，最后确定的正负性，即可得解【解答】解：（1）因为为锐角，且1tan2，所以1sin5，2cos5，所以2223cos22cos12155 （2）由（1）知，124sin22sin cos2555，因为，为锐角，2cos10，所以27 2sin1 cos10，coscos 2cos2 cossin2 sin3247 2510510 22，因为1tan12，所以04，因为，为锐角，且2cos010，所以042，所以4 【点评】本题主要考查三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、两角差的余弦公式和同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中
26、档题 20【分析】（1）根据已知可得 00f，213f，列方程组可求解 a，b 的值，从而可得 f x的解析式；（2）利用定义法即可证明单调性，利用函数的单调性即可求得值域【解答】解：（1）因为 f x是定义在 R 上的奇函数，所以 00f，可得02ba，且其图象经过点21,3，可得 2163bfa，联立，解得1a，2b，所以 25115151xxxf x，xxxx511 5511 5fxf x，满足 f x是奇函数，所以 f x的解析式为 5151xxf x（2）证明：设任意12,x x R且12xx，则 121212122 552211515151 51xxxxxxf xf x，因为12x
27、x，所以1255xx，所以12550 xx，1510 x，2510 x，所以 120f xf x，12f xf x，所以 f x为 R 上的增函数，f x在1,2上单调递增，213f ，12213f，所以 f x在1,2上的值域为2 12,3 13【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的证明，函数值域的求法，考查运算求解能力，属于中档题21【分析】（1）对于函数模型：把1,2,3x 及相应 y 值代入，能求出函数模型的解析式 对于函数模型：把1,2,3x 及相应 y 值代入，能求出函数模型的解析式（2）对于模型，当4x 和5x 代入，得到模型不符合观测数据；对于模型，当4x 和5x 代入
28、，得到函数模型更合适要使3 22500 x，则8x，由此能求出从第 8 天开始该微生物的群落单位数量超过 50【解答】解：（1）对于函数模型：把1,2,3x 及相应 y 值代入，得842149326abcabcabc，解得3a，3b ，8c，所以2338yxx；对于函数模型：把1,2,3x 及相应 y 值代入得：2381426p qrp qrp qr，解得3p，2q，2r，所以3 22xy （2）对于模型，当4x 时，44y；当5x 时，68y，故模型不符合观测数据；对于模型，当4x 时，50y；当5x 时，98y，符合观测数据，所以函数模型更合适 要使3 22500 x，则8x ，即从第 8
29、 天开始该微生物的群落单位数量超过 500【点评】本题考查函数模型的应用，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，是中档题 22【分析】（1）根据题意，由“二阶局部奇函数”可得 20fxf x，即tan2sin2tan4sinxxxx，变形可得cos的值，结合 的范围分析可得答案，（2）根据题意，分析可得 0fxf x在区间2,2上有解，变形可得22lglglg0mxmxmx，据此分析可得答案；（3）根据题意，可得 0fxk f x 在 R 上有解，则有22220 xxtk xxt，即212210kxk xkt有解，结合二次函数性质分析可得答案【解答】解：（1）由题意得，f x
30、是0,上的“二阶局部奇函数”，证明：函数 tan2sinf xxx，若 2fxf x，即 20fxf x，即tan2sin2tan4sinxxxx，变形可得：tan2sinxx，即sin2sincosxxx，则1cos2x，又由0,x，则有3x，故 f x是0,上的“二阶局部奇函数”，（2）由题意得，函数 lgf xmx是2,2上的“一阶局部奇函数”，即 0fxf x在区间2,2上有解，又由 220lglglg0fxf xmxmxmx，即221,2,2 2,2,02,2,0mxxxmxxmx ，2maxmax1,5,2,22,5,2,2mmxxmmxx （3）由题意得，函数 22f xxxt恒为 R 上的“k 阶局部奇函数”，即 0fxk f x 在 R 上有解，则有22220 xxtk xxt 即212210kxk xkt有解，当1k 时，0 x R，满足题意，当1k 时，对于任意的实数,2t，2222410kkt 变形可得22412220kk，解可得：32 232 2k ，由kZ，故5,4,3,2,1k 【点评】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“k 阶局部奇函数”的定义，属于综合题