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1、第 1 页 共 16 页 2021-2022 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期期初测试数学试题 一、单选题 1已知全集为R，30Mx x x，1Nx x或3x，则正确的为（）AMN BNM CRNM DRMN【答案】C【分析】解不等式得到集合 M，再根据集合 M和集合 N 的范围确定包含关系.【详解】不等式30 x x解得03x，则3003Mx x xxx，1Nx x或3x，R13Nxx，所以RNM.故选：C 2命题“x0，都有 x2x+30”的否定是（）Ax0，使得 x2x+30 Bx0，使得 x2x+30 Cx0，都有 x2x+30 Dx0，都有 x2x+30【答案】B【详解】命题0
2、,x 都有230 xx的否定是：0,x 使得230 xx 故选B 3已知向量,6am，4,3b ，若/ab，则a（）A152 B132 C9 D10【答案】D【分析】根据,a b共线求解出m的值，然后根据向量的模长计算公式求解出结果.【详解】因为/ab，所以 3640m ，所以8m，所以228610a ，故选：D.第 2 页 共 16 页 4已知21ab，则139ba的最小值为（）A4 B3 C2 3 D512【答案】C【分析】结合基本不等式来求得最小值.【详解】依题意21ab，221132 32 32 399bbabaa，当且仅当122ab 时取等号 故选：C 5齐王与田忌赛马，田忌的上等马
3、优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马中等马下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获胜，则田忌获胜的概率是（）A19 B16 C15 D13【答案】B【分析】对马匹进行编号，列出所有基本事件并求总数，找出田径获胜的基本事件并基数，根据古典概型概率计算方法即可计算概率.【详解】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为,A B C，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为abc，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜.基本事件有：,Aa B
4、b CcAa Bc CbAb Bc CaAb Bc CaAc Bb CaAc Ba Cb，共 6 个，田忌获胜包含的基本事件有：,Ac Ba Cb，只有 1 个，田忌获胜的概率为16P.故选：B.6已知函数()f x的定义域为2,8，则函数2()(2)9h xfxx的定义域为（）A4,16 B(,13,)C1,3 D3,4【答案】C 第 3 页 共 16 页【解析】根据函数()f x的定义域为2,8，可得228x，再求解290 x的解集，即可得函数()h x的定义域.【详解】由题意可知，函数()f x的定义域为28x，则函数()h x的定义域满足222890 xx，则13x，所以函数()h x
5、的定义域为1,3.故选：C.7如图，在直角梯形 ABCD 中，/AB DC，ADDC，AD=DC=2AB，E 为 AD 的中点，若CACEDB，则的值为（）A65 B85 C2 D83【答案】B【分析】结合平面向量的线性运算，利用CACEDB求得,，即而求得.【详解】依题意：2DCAB，CADADC，1122CEDBDADCDADC 1122DADC，所以112112，解得62,55.所以85.故选：B 8已知函数 3logf xx的图象与函数 g x的图象关于直线yx对称，函数 h x是满足 2h xh x的偶函数，且当 0,1x时，1h xg x，若函数 yk f xh x有 3 个零点，
6、则实数k的取值范围是（）第 4 页 共 16 页 A71,2log 3 B52,2log 3 C52log 3,1 D71log 3,2【答案】B【分析】把函数 yk f xh x有 3 个零点，转化为 3logkxh x 有 3 个不同根，画出函数3logykx与 yh x 的图象，转化为关于k的不等式组求解即可.【详解】由函数 3logf xx的图象与函数 g x的图象关于直线yx对称，得 3xg x，函数 h x是最小正周期为 2 的偶函数，当 0,1x时，131xh xg x，函数 yk f xh x有 3 个零点，即 3logkxh x 有 3 个不同根，画出函数3logykx与 y
7、h x 的图象如图：要使函数3logykx与 yh x 的图象有 3 个交点，则0k，且33log 32log 52kk ，即522log 3k .实数k的取值范围是52,2log 3.故选：B.二、多选题 9某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了 100 名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）第 5 页 共 16 页 A样本中女生人数多于男生人数 B样本中B层人数最多 C样本中E层次男生人数为 6 人 D样本中D层次男生人数多于女生人数【答案】ABC【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【详
8、解】样本中女生人数为：924 159360 ，男生数为1006040，A正确；样本中A层人数为：940 10%13；样本中B层人数为：2440 30%36；样本中C层人数为：1540 25%25；样本中D层人数为：940 20%17；样本中E层人数为：340 15%9；故B正确；样本中E层次男生人数为：40 15%6，C正确；样本中D层次男生人数为：40 20%8，女生人数为9，D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.10已知幂函数()f xx的图象经过点2,4，则下列判断中正确的是（）A函数图象经过点(1,1)B当 1,2x 时，函数()f x的值
9、域是0,4 C函数满足()()0f xfx D函数()f x的单调减区间为(,0【答案】ABD【分析】根据题意，求得函数 2f xx，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，幂函数 f xx的图象经过点2,4，可得24，解得2，即 2f xx，由 11f，可得函数 f x的图象过1,1，所以 A 正确；由二次函数的性质，可得函数 f x在区间 1,0上单调递减，在0,2上单调递增，所以当0 x 时，min00f xf，第 6 页 共 16 页 又由 11,24ff，所以 max4f x，所以函数的值域为0,4，所以 B 正确；由 222()2f xfxxxx，可得
10、 C 错误；根据二次函数的图象与性质，可得函数 2f xx开口向上，对称轴为0 x，所以函数 f x在区间,0上单调递减，所以 D 正确.故选：ABD.11下列说法错误的有（）A如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a或b的方向相同 B在ABC中，必有0ABBCCA C若0ABBCCA，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D若a，b均为非零向量，则abab【答案】ACD【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的应用判断A、B、C、D的结论【详解】解：对于A：非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a或b的方向相同或为零向量，故A错误；对
11、于B：在ABC中，必有0ABBCCA，故B正确；对于C：若0ABBCCA，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点，或A、B、C三点共线时，也成立，故C错误；对于:D a，b均为非零向量，则|abab，故D错误；故选：ACD 12已知函数2e,0()4,0 xxf xxx x，方程2()()0fxt f x 有四个实数根1234,x xx x，且满足1234xxxx，下列说法正确的是（）A1 4(6ln2,0 xx B1234xxxx的取值范围为 8,82ln 2)Ct的取值范围为1,4)D23x x的最大值为 4【答案】BC 第 7 页 共 16 页【分析】2()()0()()0()0fxt
12、f xf xf xtf x 或()=f xt，作出函数 f(x)图像，数形结合即可求解.【详解】2()()0()()0()0fxt f xf xf xtf x 或()=f xt，作出()yf x的图象，当()0f x 时，14x ，有一个实根；当1t 时，有三个实数根，共四个实根，满足题意；当4t 时，()f xt只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与exy 的交点坐标为(2ln 2,4).要使原方程有四个实根，等价于()f xt有三个实根，等价于 yf(x)与 yt图像有三个交点，故1,4)t，40,2ln2)x，所以1 4(8ln2,0 x x ，故 A 错误，C 正确；又因为
13、234xx，所以123448xxxxx 的取值范围为 8,82ln 2)），B 正确；因为23234,0 xxxx，所以 223232342xxx xxx ，故 D 错误 故选：BC.三、填空题 第 8 页 共 16 页 13计算20320.252112 3lg102_.【答案】3【分析】利用指数幂的运算性质即可求解.【详解】20320.25212 3 lg1022322 33.故答案为：3【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，需熟记性质，属于基础题.14不等式21044xxx的解集为_.【答案】1,22,【分析】由21044xxx，可得210440 xxx 或210440 xxx，从而可得答案
14、.【详解】解：由21044xxx，可得210440 xxx 或210440 xxx，解得1x且2x，所以不等式21044xxx的解集为 1,22,.故答案为：1,22,15定义在0,上的函数 yf x的反函数为 1yfx，若 31,0,0 xxg xf xx为奇函数，则 12fx的解为_.【答案】89【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，12fx的解就是求原函数 2f的值，根据分段函数的解析式，结合奇偶性求出(2)g，从而可得结果.【详解】由反函数与原函数的互逆关系知，12fx的解就是求原函数 2f的值，又 22fg,且 g x为奇函数，第 9 页 共 16 页 228(2)(2)311 39
15、gg ,829f,即为 12fx 的解,故答案为89.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、反函数的性质与应用以及分段函数的解析式，考查了转化思想的应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.16已知 xy1，y0，x0，则121xxy的最小值为_【答案】54#1.25【详解】将 xy1 代入中，得，设 t0，则原式 (12t)1 2，当且仅当 t 时，即 x，y 时，取“”四、解答题 17一个不透明的箱子中装有大小形状相同的 5 个小球，其中 2 个白球标号分别为1A，2A，3 个红球标号分别为1B，2B，3B，现从箱子中随机地一次取出两个球.（1）求取出的两个球都是白球的概率；（2）
16、求取出的两个球至少有一个是白球的概率.【答案】（1）110（2）710【解析】（1）用列举法能求出从中摸两个球，即可求出取出的两个球都是白球的概率（2）由（1）列出至少有一个是白球的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：（1）从装有 5 个球的箱子中任意取出两个小球包含的基本事件有 12,A A，11,A B，12,A B，13,A B，21,A B，22,A B，23,A B，12,B B，13,B B，23,B B，共 10 种情况.记“取出的两个球都是白球”为事件 D.易知事件 D 包含的基本事件有12,A A，共 1 种情况.第 10 页 共 16 页 1()10P
17、 D.（2）记“取出的两个球至少有一个是白球”为事件 E.易知事件 E 包含的基本事件有 12,A A，11,A B，12,A B，13,A B，21,A B，22,A B，23,A B，共 7 种情况.7()10P E.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.182018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了 40 人，将他们的年龄分成 7 段：10，20），20，30），30，40），40，50），50，60），60，70），70，80后得到如图所示的频率分布直方图 （1）试求这 40 人年龄的
18、平均数、中位数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在50，70）的居民中任取 2 人赠送健身卡，求这 2 人中至少有 1 人年龄不低于 60 岁的概率；（）已知该小区年龄在10，80内的总人数为 2000，若 18 岁以上（含 18 岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数【答案】(1)平均数 37，中位数为 35;(2)（）93()155P A;（）该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数约为 20000.881760【分析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）（）从 6 人中任选 2 人共有 15
19、个基本事件，至少有 1 人年龄不低于 60 岁的共有 9 个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；（）样本中年龄在 18 岁以上的居民所占频率为 1（1810）0.0150.88【详解】（1）平均数15 0.1525 0.235 0.345 0.1555 0.165750.0537x 前三组的频率之和为 0.150.20.30.65，故中位数落在第 3 组，设中位数为 x，则（x30）0.030.150.20.5，解得 x35，即中位数为 35 第 11 页 共 16 页（2）（）样本中，年龄在50，70）的人共有 400.156 人，其中年龄在50，60）的有 4 人，设为 a，b，c，d，
20、年龄在60，70）的有 2 人，设为 x，y 则从中任选 2 人共有如下 15 个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）至少有 1 人年龄不低于 60 岁的共有如下 9 个基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）记“这 2 人中至少有 1 人年龄不低于 60 岁”为事件 A，故所求概率 93155P A （）样本中年龄在 18 岁以上的居民所占频率为 1（1810）0.0
21、150.88，故可以估计，该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数约为 20000.881760【点睛】本题主要考查直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11,A B，12,A B.1,nA B，再21,A B，22,A B.2,nA B依次31,A B 32,A B.3,nA B 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19已知()f x是定义在R上的奇函数
22、，且(6)()f xf x，当(0,3)x时，2()log1af xxx.（1）当(3,0)x 时，求()f x的解析式；（2）求函数()f x在 3,3上的零点构成的集合.【答案】（1）2()log1af xxx；（2）3,1,0,1,3.【分析】（1）由(3,0)x，可得x的范围，并得()fx，然后结合()f x是奇函数可得结果.（2）根据（1）的条件，令()0f x，以及函数的奇偶性和周期性，可得结果.【详解】（1）当(3,0)x 时，(0,3)x，所以2()log()()1afxxx，即2()log1afxxx 因为()f x是定义在R上的奇函数，2()()log1af xfxxx ，
23、所以当(3,0)x 时，2()log1af xxx.第 12 页 共 16 页（2）因为()f x是定义在R上的奇函数，所以(0)0f，且(3)(3)ff，因为(6)()f xf x，所以(3)(3)ff，所以(3)(3)0ff，当(0,3)x时，令2()log10af xxx，得211xx，解得0 x（舍去），或1x，即(1)0f，又因为()f x是奇函数，所以(1)(1)0ff，所以函数()f x在 3,3上的零点 构成的集合为 3,1,0,1,3.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，难点在于如何求出另外一部分的表达式，属中档题.20如图所示，在OAB中，14OCOA，12ODOB，AD
24、与BC交于点 M过 M 点的直线 l与OA、OB分别交于点 E，F （1）试用OA，OB表示向量OM；（2）设OEOA，OFOB，求证：13是定值【答案】（1）13=77OMOAOB；（2）证明见解析【分析】（1）由向量共线定理即可求出；（2）由 E，M，F三点共线，可设=(1)OMkOEk OF（Rk），由OEOA，OFOB，可得=(1)OMk OAkOF，最后结合（1）的结论可得137，问题得以证明【详解】（1）由 A，M，D 三点共线可得存在实数 m（mR）使得：1OMmOAm OD，又12ODOB，故12mOMmOAOB，第 13 页 共 16 页 由 C，M，B三点共线可得存在实数
25、n（nR）使得：1OMnOCn OB，又14OCOA，故14nOMOAn OB，由题意，OA，OB不共线，则：14112mnmn ，解得1747mn，故13=77OMOAOB；（2）由 E，M，F三点共线，可设=(1)OMkOEk OF（Rk），由OEOA，OFOB，则：=(1)OMk OAkOF，由（1）知，13=77OMOAOB，则：17317kk，即17377kk，所以137777kk，所以13是定值【点睛】关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.21已知函数 1ln1kxf xx为奇函数.(1)求实数k的值；
26、(2)若存在,1,，使得函数 f x在区间,上的值域为ln,ln22mmmm，求实数m的取值范围.【答案】(1)1(2)20,9 【分析】（1）由已知得()()0fxf x，代入可求k；（2）判断函数单调性，已知函数的值域转化为，是方程1112xmxmx的实根，然后构造函数，结合二次函数的实根分布可求【详解】（1）函数1()ln1kxf xx为奇函数，第 14 页 共 16 页 22211(1)(1)1()()lnlnlnln011(1)(1)1kxkxkxkxk xfxf xxxxxx，21k 即1k ，当1k 时显然不成立，当1k 时，1()ln1xf xx，函数定义域,1(),)1(，(
27、)()0fxf x，满足()f x为奇函数.故实数k的值为 1.（2）1()ln1xf xx，任取121xx，则121212122111(1)(1)()()lnlnln11(1)(1)xxxxf xf xxxxx，121xx，121212(1)(1)(1)(1)2()0 xxxxxx，1212(1)(1)(1)(1)0 xxxx，1221(1)(1)01(1)(1)xxxx，121221(1)(1)()()ln0(1)(1)xxf xf xxx，12()()f xf x，()f x在(1,)上的单调递增，由,1,，()f x在区间,上的值域为ln,ln22mmmm，有()ln2mfm，()ln
28、2mfm，0m，且11121112mmmm，即，是方程1112xmxmx的实根，问题等价于21111022mxm xm 在(1,)上有两个不同实根，令211()1122h xmxm xm，函数图像抛物线的对称轴1124xm，则2011124(1)011141022mmhmmmm，第 15 页 共 16 页 即0205229mmmm或，解得，209m 故m的取值范围为20,9 22对于函数1()f x，2()fx，()h x，如果存在实数 a，b 使得12()()()h xa f xb fx，那么称()h x为1()f x，2()fx的生成函数.(1)设14()logf xx，214()logf
29、xx，2a，1b，生成函数()h x.若不等式 2230()h xh xt 在4,16x上有解，求实数t的取值范围；(2)设函数131()(9)log1xg x，2()1gxx，是否能够生成一个函数()h x.且同时满足：(1)h x是偶函数；()h x在区间2)，上的最小值为32log 102，若能够求函数()h x的解析式，否则说明理由.【答案】(1)5t (2)132log9122xh xx 【分析】（1）根据题意新定义得到 h x的解析式，然后将问题转化为 2244232 log3logth xh xxx 在4,16x上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；（2）利用待定系数法设
30、 13log911xh xmn x，根据11hxh x，得到22mxnx对任意x恒成立，从而得到mn，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案【详解】（1）解：由题意可得，14()logf xx，214()logfxx，2a，1b，所以 12414422logloglogh xfxfxxxx，不等式 2230h xh xt 在4,16x上有解，等价于 2244232 log3logth xh xxx 在4,16x上有解，第 16 页 共 16 页 令4logsx，则 1,2s，由2242 log3log 423yxxss 在1,2上单调递减，所以当1s 时，y取得最大值5，故5t （
31、2）解：设 13log911xh xmn x，则31log91xh xmnx 由11hxh x，得33log91log91xxmnxmnx，整理得391log291xxmnx，即3log 92xmnx，即22mxnx对任意x恒成立，所以mn 所以 1133log911log911xxh xmm xmx 111333191log91log 3log3xxxxmm 设1191,23xxyx，令13(3)xu u，则211uyuuu，由对勾函数的性质可知y在0,1单调递减，1,上单调递增，21uyu在3,单调递增，21103uyu，且当3u 时取到“”13319110loglog33xx，又 h x在区间2,的最小值为32 log 10 1，0m，且2m，此时，2n 所以 132log9122xh xx