《2023届湖北省部分重点中学高三上学期1月第二次联考数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届湖北省部分重点中学高三上学期1月第二次联考数学试题(解析版).pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 24 页 2023 届湖北省部分重点中学高三上学期 1 月第二次联考数学试题 一、单选题 1已知集合10Ax ax，N 25Bxx，且ABB，则实数a的所有值构成的集合是（）A1 1,2 3 B1 1,4 3 C1 1 1,2 3 4 D1 1 10,2 3 4【答案】D【分析】求出2,3,4B，由ABB得到AB，分A与A，求出实数 a的值，得到答案,【详解】N 252,3,4Bxx，因为ABB，所以AB，当A时，0a，满足要求，当A 时，10ax 只有一个根，若 2A，则210a ，解得：12a，若3A，则310a，解得：13a，若 4A，则410a，解得：14a，实数a的所
2、有值构成的集合是1 1 10,2 3 4.故选：D 2给出下列命题，其中正确命题的个数为（）若样本数据1x，2x，10 x的方差为 3，则数据121x，221x，1021x的方差为 6；回归方程为0.60.25yx时，变量x与y具有负的线性相关关系；随机变量X服从正态分布23,N，40.64P X，则230.07PX；甲同学所在的某校高三共有 5003 人，先剔除 3 人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为 200 的一个样本，则甲被抽到的概率为125.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】A【分析】根据方差的性质可判断；根据变量 x，y的线性回归方程的系数0b，判断变量 x，y是负相关
3、关系可判断；利用正态分布的对称性，计算求得结果可判断；根据简单随机抽样概率均第 2 页 共 24 页 等，计算出每人被抽取的概率可判断.【详解】对于，若样本数据1x，2x，10 x的方差为 3，则数据121x，221x，1021x的方差为22312，故错误；对于，回归方程为0.60.25yx，可知0.250 b，则变量 x 与 y 具有负的线性相关关系，故正确；对于，随机变量 X服从正态分布2(3,)N，(4)0.64P X，根据正态分布的对称性(34)0.640.5=0.14PX，所以(23)0.14PX，故错误；对于，根据简单随机抽样概率均等可知，某校高三共有 5003 人，抽取容量为 2
4、00 的一个样本，则甲被抽到的概率为2005003，故错误.故选：A.3已知函数322()f xxaxbxa，则“7ab”是“函数 f x在=1x处有极值10”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【分析】求出函数的导函数，依题意可得 1=01=10ff，即可得到方程组，解得a、b再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为322()f xxaxbxa，所以2()32fxxaxb，所以 21=32=01=1+=10fabfab a，解得=3=3ab或=4=11ab；当=3=3ab时32()339f xxxx，22()3633
5、10fxxxx，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11ab时32()41116f xxxx，2()31131118fxxxxx，当1x 或113x 时()0fx，当1113x时()0fx，满足函数在=1x处取得极值，所以7ab，所以由7ab推不出函数 f x在=1x处有极值10，即充分性不成立；由函数 f x在=1x处有极值10推得出7ab，即必要性成立；第 3 页 共 24 页 故“7ab”是“函数 f x在=1x处有极值10”的必要不充分条件；故选：B 4已知圆 C：x2y22x2mym230 关于直线 l：xy10 对称，则直线 x1 与圆 C 的位置关系是（）A相切
6、B相交 C相离 D不能确定【答案】A【解析】把圆方程配方得圆心坐标和半径，由圆关于直线对称，说明圆心在此直线上，求得参数 m，再求出圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系【详解】由已知得 C：(x1)2(ym)24，即圆心 C(1，m)，半径 r2，因为圆 C 关于直线 l：xy10 对称，所以圆心(1，m)在直线 l：xy10 上，所以 m2由圆心 C(1，2)到直线 x1 的距离 d112r 知，直线 x1 与圆 C 相切 故选：A.【点睛】本题考查圆的一般方程，考查直线与圆的位置关系圆的一般方程可通过配方法变为标准方程，从而得出圆心坐标和半径 5已知关于x的不等式210axbx 的解集为
7、1(,),mm，其中0m，则2bab的最小值为（）A2 B2 C2 2 D3【答案】D【分析】由题意，得0a，且m，1m是方程210axbx 的两根，由韦达定理11mma，解得=1a；+=1=bmbma，由基本不等式得=+21bmm，从而可得=2+2+bbabb，利用对勾函数性质可求解.【详解】因为240axbx的解集为1(,),mm，所以0a，且m，1m是方程210axbx 的两根，11=mma，得=1a；1+=bmbma，即1=+bmm，当0m 时，111=+=+2=2bmmmmmm，第 4 页 共 24 页 当且仅当1mm，即=1m时取等号，令 22+2bf bbbabb，由对勾函数的性
8、质可知函数 f b在2,上单调递增，所以 22 13f bf，2bab的最小值为 3.故选：D 6已知函数 f x及其导函数 fx的定义域都为R，且3 2fx为偶函数，2f x为奇函数，则下列说法正确的是（）A302f B 20f C202320220ff D202320220ff 【答案】C【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及(2)0f，再利用复合函数的导数推出()fx的周期以及 30f，进而可求解.【详解】因为3 2fx为偶函数，所以3232fxfx，即33fxfx，即函数图象关于3x 对称，则()(6)f xfx，因为2f x为奇函数，所以22f xfx ，即函数图象关于点
9、(2,0)对称，则()(4),(2)0f xfxf，所以(6)(4)fxfx，则(4)()f xf x，所以函数以 4 为周期，(2022)(50542)(2)0fff，因为3232fxfx，所以3232fxfx，即232232fxfx，即3232fxfx，也即33fxfx，令0 x，则有 33ff，所以 30f，由(4)()f xf x得(4)()fxfx，所以()fx以 4 为周期，所以(2023)(50543)(3)0fff，第 5 页 共 24 页 所以202320220ff，C 正确，对于其余选项，根据题意可假设()sin2f xx满足周期为 4，且关于点(2,0)对称，32sin0
10、242f，故 A 错误；()cos,(2)cos002222fxxf，B 错误；i020232022(3)2(2222)s nffff，D 错误，故选:C.7在长方体1111ABCDABC D中，15AA，4ADAB，M，N，P分别是棱11C D，BC，1CC上的点，且11C MMD，1135C PC C，14CNCB，Q是平面ABCD内一动点，若直线1D Q与平面MNP平行，则11QB QD的最小值为（）A44125 B17 C895 D1625【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面 MPN的法向量4,3,2n，设出,0Q s t，根据10DQ n求出4310st，计算
11、出1212225381444142525625ssttQB QDt，得到最小值.【详解】以 D 作坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为 x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，则110,0,5,1,4,0,0,2,5,0,4,2,4,4,5DNMPB，设平面 MPN的法向量为,nx y z，则 ,1,2,5250,0,2,3230n MNx y zxyzn MPx y zyz，令3y，则2,4zx，故4,3,2n，设,0Q s t，则1,5DQs t，因为直线1D Q与平面MNP平行，所以 1,54,3,243100DQ ns tst，21124,4,5,54425QB QDststss
12、tt，第 6 页 共 24 页 因为4310st，所以1034ts，故22112244254251031034tQssttttB QDt 22538162441255t，故当3825t 时，11QB QD取得最小值，最小值为44125.故选：A 8 已知nS是数列 na的前n项和，且121aa，1223nnnaaa（3n），则下列结论正确的是（）A数列1nnaa为等比数列 B数列12nnaa为等比数列 C20401314S D 11312nnna 【答案】D【分析】A 选项，计算出120aa，故1nnaa不是等比数列，A 错误；B 选项，计算出12nnaa的前三项，得到72337，B 错误；C
13、 选项，由题干条件得到1123nnnnaaaa，故1nnaa为等比数列，得到1123nnnaa，故212aa，2432 3aa，3840392 3aa，相加即可求出4040314S，C 错误；第 7 页 共 24 页 D 选项，在1123nnnaa的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出 11312nnna.【详解】由题意得：321523aaa，4321031323aaa，由于120aa，故数列1nnaa不是等比数列，A 错误；则123212aa，232527aa，34213 1023aa，由于72337，故数列12nnaa不为等比数列，B 错误；3n时，1223nnnaaa，即1123
14、nnnnaaaa，又121 12aa ，故1nnaa为等比数列，首项为 2，公比为 3，故1123nnnaa，故212aa，2432 3aa，3840392 3aa，以上 20 个式子相加得：40402438401 33121 33321 94S，C 错误；因为1123nnnaa，所以212 3nnnaa，两式相减得：1122 32 34 3nnnnnaa，当2nk时，232224 3kkkaa，2522244 3kkkaa，424 3aa，以上式子相加得：2121323223333433341 92kkkkaa，故212122333122kkkaa，而21a 也符和该式，故212312kka
15、，令2kn得：111313122nnnna，当21nk时，2421234 3kkkaa，2623254 3kkkaa，0314 3aa，以上式子相加得：2222242602111 331433341 92kkkkkaa，故2222211313122kkkaa，而11a 也符号该式，故2221312kka，令21kn 得：11312nnna，第 8 页 共 24 页 综上：11312nnna，D 正确.故选：D【点睛】当遇到 2nnaaf n时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令21nk和2nk，用累加法进行求解.二、多选题 9设
16、1z，2z为复数，则下列四个结论中正确的是（）A2212121 24zzzzz z B11zz是纯虚数或零 C1212zzzz恒成立 D存在复数1z，2z，使得1 212z zz z【答案】BC【分析】对于 A 由右向左化简即可判断，对于 B 设1izab，求出共轭复数，代入化简分情况即可判断正误，对于 C 设两个复数计算出求和模长，在计算出模长求和即可比较大小，对于 D 设两个复数，计算出乘积模长，在计算出模长乘积即可比较大小.【详解】对于 A：22121 2124zzz zzz，令12izzxy，则222212i2izzxyxyxy，22222212zzxyxy，22xy与222ixyxy
17、不一定相等，故 A 错误；对于 B：1izab，则1izab，112 izzb，当0b时为零，当0b 时为纯虚数，故 B 正确；对于 C：22221212i,i,zxy zabzxyzab，则2222221222zzaxbyabxyaxby 222212|zzxyab，20aybx,则222220a yb xabxy，222222222222442a xb xa yb ya xb yabxy 22222422xyabaxby 2222222xyabaxby 第 9 页 共 24 页 222222222222222xyababxyxyabaxby，222222222222abyxbyabxaxy
18、，221212|0zzzz故 C 正确；对于 D：设22221212i,i,zxy zabzxyzab，则222212|()()zzxyab，21 2iiiiz zaxxbaybyaxbyxbay 22222122()()zyxyzaxbyxbaba=12|zz，故 D 错误.故选：BD.10将函数 2cos 24fxx的图象向右平移8个单位长度得到 yg x的图象，则（）A yf x在,4 2上是减函数 B44fxfx C yg x是奇函数 D 1yg x在,上有 4 个零点【答案】ACD【分析】A 选项，代入检验，得到 yf x在,4 2上单调递减，A 正确；B 选项，计算出2cos244
19、fxx，2cos244fxx，两者不一定相等，C 选项，根据函数平移变换求出2sin2g xx，故 C 正确；D 选项，令 12sin 210yg xx ，得到1sin22x，求出,上，12x 或512或712或1112，共 4 个零点，D 正确.【详解】,4 2x时，324,44x，由于2cosyz在 3,44z上单调递减，故 yf x在,4 2上单调递减，A 正确；2cos 22cos24444fxxx，2cos 22cos24444fxxx，因为2cos22cos 22sin 2444xxx，由于2sin 24x与2cos24x不一定相等，故4fx与4fx不一定相等，B 错误；2cos
20、22 n248sig xxx，故 yg x是奇函数，C 正确；第 10 页 共 24 页 令 12sin 210yg xx ，解得：1sin22x，,x，则22,2x，则26x 或56或76或116，解得：12x 或512或712或1112，共 4 个零点，D 正确.故选：ACD 11已知函数 2ln2f xx xmx，则下列说法正确的是（）A当0m 或12em 时，f x有且仅有一个零点 B当0m 或14m 时，f x有且仅有一个极值点 C若 f x为单调递减函数，则14m D若 f x与x轴相切，则12em.【答案】AD【分析】根据零点的定义可得 f x的零点即方程ln2xmx的根，利用导
21、数研究函数ln()2xh xx的性质，结合图象可判断 A，由导数的几何意义可判断 D，根据导数与函数的单调性的关系求m的范围，由此可判断 C，结合单调性与极值的定义可判断 B.【详解】0 x，令 0f x 可得ln20 xxmx，化简可得ln2xmx，设 ln02xh xxx，则 21 ln2xh xx，当ex，0h x，函数 h x在e,单调递减，当0ex，0h x，函数 h x在0 e，单调递增，又 10h，1e2eh，由此可得函数ln()2xh xx图象如下：所以当0m 或12em时，ln2xmx有且仅有一个零点 所以当0m 或12em时，f x有且仅有一个零点，A 对，函数 2ln2f
22、 xx xmx的定义域为0，第 11 页 共 24 页 ln41xmxxf，若 f x与x轴相切，设 f x与x轴相切与点0(,0)x，则 00fx，00f x，所以00ln20 xmx，00ln410 xmx，所以0ex，12em，故 D 正确；若 f x为单调递减函数，则 0fx在0，上恒成立，所以ln14xmx在0，上恒成立，设 ln14xg xx，则2ln()4xg xx，当1x 时，()0g x，函数ln1()4xg xx单调递减，当01x时，()0g x，函数ln1()4xg xx单调递增，且1(1)4g，10eg，当1ex 时，()0g x，由此可得函数ln1()4xg xx的图
23、象如下：所以若 f x为单调递减函数，则14m，C 错，所以当14m 时，函数()f x在0，上没有极值点，B 错，故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数，利用函数的单调性和图象解决问题，本题为函数综合性问题，涉及函数的零点，导数的几何意义，根据函数的单调性求参数，函数的极值，考查的知识点较多，要求具有扎实的基础知识，较强的解题能力.三、解答题 12曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线22221xyab第 12 页 共 24 页（0ab）上点00,P x y处的曲率半径公式为3222220044xyRa bab，则下列说法正确的是（）A若曲线上某点处
24、的曲率半径起大，则曲线在该点处的弯曲程度越小 B若某焦点在x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c（半焦距）则该椭圆离心率为512 C椭圆22221xyab（0ab）上一点处的曲率半径的最大值为2ba D若椭圆22221xyab（0ab）上所有点相应的曲率半径最大值为 8，最小值为 1，则椭圆方程为221164xy【答案】ABD【分析】根据曲率半径可判断 A；把2220021xyba代入R，根据0 x的范围可得R的最小值，令其等于c化简求出e可判断 B；由选项 B 可知3222221aRa bbb可判断 C；根据332222222211a bRa bab，得出221,8baab求出,a b可
25、判断 D.【详解】对于 A，曲线上某点处的曲率半径变大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故 A 正确；对于 B，因为2200221xyab，所以2220021xyba，所以3222033222222222222220000444442211xbaxyxcRa ba ba bxababa bb，因为0axa，所以2200 xa，22024222111cxaa bbb，若某焦点在x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c，可得322221a bca，解得512e，故 B 正确；对于 C，由选项 B 可知，22024222111cxaa bbb，所以3222221aRa bbb，所以椭圆22221xy
26、ab（0ab）上一点处的曲率半径的最大值为2ab，故 C 错误；对于 D，若椭圆22221xyab（0ab）上所有点相应的曲率半径最大值为 8，最小值为 1，由选第 13 页 共 24 页 项 B 可得33222222222211baa bRa baabb，所以2218baab，解得24ba，则椭圆方程为221164xy，故 D 正确.故选：ABD.13已知数列 na中，12a，当2n时，112nnnana.(1)求数列 na的通项公式；(2)设29nnnnca，数列 nc中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由.【答案】(1)2nnan；(2)最大项6364c
27、，最小项172c .【分析】(1)由递推式证明数列nan为等比数列，根据等比数列通项公式求其通项，再求数列 na的通项公式；(2)研究数列的单调性，由此确定其最值.【详解】（1）因为当2n时，112nnnana，所以121nnaann，令nnabn，则12nnbb，2n，又1121ab，所以12nnbb，2n，所以数列 nb为等比数列，公比为 2，首项为 2，所以2nnb，所以2nnan.（2）由（1）知29292nnnnnnca，得11272nnnc，11112729274181122222nnnnnnnnnnncc，当6n 时，10nncc，1nncc，即654321cccccc；当6n
28、时，10nncc，1nncc，即678ccc，所以数列 nc是先增后减，最大项为6364c，第 14 页 共 24 页 因为当14n时，0nc 且数列 nc是单调递增；当5n 时0na，所以数列 nc的最小项为172c 14从有 3 个红球和 3 个蓝球的袋中，每次随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回，记iA表示事件“第i次摸到红球”，1i，2，6.(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；(2)记123P A A A表示1A，2A，3A同时发生的概率，312P A A A表示已知1A与2A都发生时3A发生的概率.（）证明：123121312P A A AP A P A A P A
29、A A；（）求 3P A.【答案】(1)35(2)（）详见解析，（）12 【分析】（1）由条件概率得公式计算即可求得.（2）（）有条件公式即可证明；（）根据条件概率公式逐项计算即可求解.【详解】（1）1221133365356P A AP A AP A，所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率35；（2）（）因为12312312P A A AP A AP A A A，又因为 12121P A AP A P A A，所以 12312312121312P A A AP A AP A A AP A P A A P A A A，即 123121312P A A AP A P A A P A A
30、A.（）3123123123123()()()()()P AP A A AP A A AP A A AP A A A 3121312113122()()(|)(|)()(|)(|)P AP A P AA P AA AP A P AA P AA A+121312()(|)(|)P A P AA P AA A+121312()(|)(|)P A P AA P AA A 第 15 页 共 24 页 3213323323236546546546546011202 15请在这三个条件：4sin5ABC；5AB；ABAC，中任选一个条件补充在下面的橫线上，并加以解答.如图，锐角ABC中，24sin25BA
31、C，_，6BC，D在边BC上，且2BDDC，点E在边AC上，且BEAC，BE交AD于点F.(1)求AC的长；(2)求cosDAC及AF的长.【答案】(1)5(2)19 17cos85DAC,7 1719AF.【分析】(1)利用正弦定理，结合所给条件即可求解，利用正弦定理，结合所给条件可求解，利用正弦定理，结合所给条件可求解；(2)利用同角三角函数的关系结合两角和的余弦公式可求出cosC，再利用余弦定理求出AD，DAC中利用余弦定理即可求出cosDAC，进而在直角三角形AEF中可求解AF.【详解】（1）选择4sin5ABC，在锐角ABC中，24sin25BAC，6BC，由正弦定理得sinsinA
32、CBCABCBAC,所以46sin5524sin25ABCABCBACC,选择5AB，因为24sin25BAC，所以27cos1 sin25BACBAC，在ABC中，由余弦定理得2222cosBCABACAB ACBAC,所以21436255ACAC，整理得2141105ACAC，解得5AC 或115AC （舍），第 16 页 共 24 页 选择ABAC，因为24sin25BAC，所以27cos1 sin25BACBAC，在ABC中，由余弦定理得2222cosBCABACAB ACBAC,所以221436225ACAC，解得5AC.（2）由（2）知，选择，所得结果一样，因此选择，也可得4sin
33、5ABC，所以2cos1 s53inABCABC，因为24sin25BAC，所以27cos1 sin25BACBAC，所以coscos()coscossinsinCBACABCBACABCBACABC 7324432552555，因为BEAC，所以318cos6,55CEBCC 75AEACCE，在ACD中，5AC，132,cos35CDBCC，222cos254 1217ADACDCAC DCC，2221725419 17cos28510 17ADACCDDACAD AC，由BEAC，所以cosAFDACAE，77 1751919 1785AF.16在三棱柱111ABCABC中，ABBC，1
34、ABAA，123A AC，点M为棱1CC的中点，点T是线段BM上的一动点，122AAACAB.(1)求证：1CCAT；第 17 页 共 24 页(2)求平面11B BCC与平面11A ACC所成的二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)33 【分析】（1）根据三棱柱中的垂直关系以及角度，可通过证明1CC 平面ABM，利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）根据（1）可通过二面角的定义作出二面角的平面角，再利用线面垂直通过判断三角形形状求得二面角的正弦值.【详解】（1）由题意可知，11/CCAA，又1ABAA，所以1ABCC，连接1,AM AC，如下图所示：由123A AC，1AAAC可知，
35、1ACC是正三角形，又点M为棱1CC的中点，所以1CCAM，AB平面ABM，AM 平面ABM，AMABA，所以1CC 平面ABM，AT 平面ABM 所以1CCAT.（2）由（1）知，11,CCBM CCAM，根据二面角定义可知，AMB即为所求二面角的平面角或其补角，在正三角形1ACC中，2AC，所以3AM，因为1ABAA，11/BBAA，所以1ABBB，又ABBC，且1BBBCB，所以AB平面11B BCC，而BM平面11B BCC，所以ABBM，在Rt ABM中，31AMAB，第 18 页 共 24 页 所以13sin33ABAMBAM，于是平面11B BCC与平面11A ACC所成的二面角
36、的正弦值为33 17已知抛物线C：24xy的焦点为F，直线l交抛物线于,A B两点（,A B异于坐标原点O），交y轴于点0,Qt（1t），且AFQF，直线1ll，且与抛物线相切于点P.(1)求证：,A F P三点共线；(2)过点A作该抛物线的切线2l（点A为切点），2l交1l于点N.（）试问，点N是否在定直线上，若在，请求出该直线，若不在，请说明理由；（）求ABNS的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)（）点N在定直线1y 上；（）ABNS的最小值为 16.【分析】（1）易知焦点(0,1)F，设出,A B两点坐标，根据AFQF得到2124xt，再由1ll可知两直线斜率相等，可得P点坐标的表达
37、式，再利用AFPFkk即可证明,A F P三点共线；（2）（）分别写出直线1l，2l的方程，求出两直线交点N的坐标表达式即可得出点N在定直线1y 上；（）联立直线l与抛物线方程，利用弦长公式求出AB的表达式，再求出点N到AB的距离写出面积表达式利用基本不等式即可求得ABNS的最小值.【详解】（1）由题可知(0,1)F，设2212112(,),(,)44xxA xB x，又0,1Qtt，由AFQF得222211111144xxtx，所以2124xt，即2140,2Qx，所以直线l的斜率为22111124420AQxxkxx，设2(,)4ppxP x，由24xy可得2xy，所以直线1l的斜率为2p
38、px xxy，第 19 页 共 24 页 又1ll，即122pxx，所以14pxx，得21144(,)Pxx 所以，2122221111111114114444,404440AFPFxxxxxkkxxxxx，即AFPFkk，则,A F P三点共线.（2）（）点N在定直线1y 上，理由如下：直线1l的斜率为122ppx xxyx，所以直线1l的方程为11211244:lxyxxx 即21114:2lxxxy 过点A的切线2l斜率为112x xxy，所以直线2l的方程为12211:42xlxxyx 即121242:xlxxy，2l交1l于点N，解得112,12Nxx 因此，点N在定直线1y 上.（
39、）由（1）知直线l的斜率为12kx，方程为12112:4lxyxxx，即2112:24xyxlx，联立抛物线方程24xy整理得1221880 xxxx，所以22211118443240 xxxx，所以22212121122111144441()4142 1ABkxxx xxxxxxx 又因为1ll，所以点N到AB的距离等于点P到直线l的距离，而21144(,)Pxx到直线2112:24xyxlx 的距离为2221112221111222111842422424444111xxxxxxxdxxx 第 20 页 共 24 页 所以21231111121111121221444214122441AB
40、NABPSxxxAB dxxxxxxxxxS 而11114424xxxx，当且仅当114xx，即12x 时等号成立；所以331114141644ABNxxS，即ABNS的最小值为 16.【点睛】方法点睛：定点问题，通常根据已知条件假设直线方程，再与曲线方程联立，借助韦达定理化简后代入分析.面积的最值问题通常转化为函数的最值问题，进一步直接求解函数的最值或利用基本不等式、函数求导来求解函数最值.18已知函数 21 ln122xf xaxa xa（1）求函数 f x的单调区间；（2）若 1f mf且1m，证明：1,xm，1 ln1axx【答案】（1）单调递增区间为0,1和1,a；单调递减区间为1,
41、1a；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求函数的导数，11xxafxx，比较导数的零点，求解函数的单调区间；（2）利用二次导数，可转化为证明11lnmam 恒成立，再利用 1f mf，可证明21121lnmamm ，只需证211121lnlnmmmmmm，化简后，构造函数 21ln1xH xxx，证明不等式.【详解】解：（1）函数 f x的定义域为0,，1afxxax 11xxax 2a，1 1a 由0fx得1xa或01x 由 0fx得11xa；第 21 页 共 24 页 f x的单调递增区间为0,1和1,a；单调递减区间为1,1a（2）欲证1,xm，1 ln1axx，即证1,xm，11ln
42、xax，令 1lnxg xx，1xm，则 21ln1lnxxgxx，令 1ln1xxx，则 22111xxxxx，因为1x，所以 0 x，所以 x在1,m上单调递增，所以 10 x，所以 0gx，所以 1lnxg xx在1,m上单调递增，所以 1lnmg xg mm，所以欲证1,xm，11lnxax，只需证11lnmam，因为 1f mf，所以 2111 ln22ma mam，即2111ln2mamm，令 1 lnh xxx，则 111xh xxx，当1x 时，0h x 所以 h x在1,上单调递增，所以 10h xh，即1 ln0 xx，所以1ln0mm，故式可等价变形为：21121lnma
43、mm 所以，欲证式成立，只需证211121lnlnmmmmmm 成立 所以仅需证1ln21mmm，令 21ln1xH xxx，（1x），则 22101xHxx x，H x在1,上单调递增，故 10H xH，即21ln1xxx，结论得证【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式恒成立，本题的关键是利用 1f mf，变形，计算求得21121lnmamm ，从而转化为证明211121lnlnmmmmmm 成立.四、填空题 第 22 页 共 24 页 19已知向量1,3a，2,bm，若/ab，则22ba b _.【答案】100【分析】先根据向量平行列出方程，求出6m ，从而利用数量积公式求出答案.
44、【详解】由题意得：60m，解得：6m ，故22222261236100ba b .故答案为：100 20用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则345331111nxxxxx的展开式中，2x的系数是_.（用数字作答）【答案】2023【分析】根据排列和组合计数公式求出20n，然后利用二项式定理进行求解即可【详解】用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有3252C A20个，即20n，当20n 时，不妨设0 x，则34533(1)(1)(1)(1)nxxxxx 345233(1)(1)(1
45、)(1)xxxxx 321324243333(1)1(1)(1)(1)(1)(1)1(1)xxxxxxxxxxxxx，所以2x的系数是33243CC202412023.故答案为：2023 21 已知双曲线22142xy的右焦点为F，过双曲线上一点00(,)P xy（00y）的直线00240 x xy y与直线6x 相交于点A，与直线2 63x 相交于点B，则AFBF_.【答案】62【分析】根据给定条件，求出点,F A B的坐标，再利用两点间距离公式化简计算作答.【详解】因为00(,)P xy在双曲线22142xy，即有2200024,|2yxx，又(6,0)F 由006240 xx xy y得
46、0064(6,)2xAy，由002 63240 xx xy y得002 642 63(,)32xBy，因此，22020(64)|4xAFy，第 23 页 共 24 页 222220200002220002 6(4)8(2 24 3)4(4)(2 24 3)23|341212xyxxxBFyyy，则222200022222000003(64)3(64)3(64)324(4)(2 24 3)1216 6322(64)AFxxxxxxxxBF，所以62AFBF.故答案为：62【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算
47、推理的过程中消去变量，从而得到定值 五、双空题 22已知正四面体ABCD的棱长为 2，M在棱CD上，且3CMMD，则二面角MABD的余弦值为_；平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为_.【答案】5 39#539 139#139【分析】根据给定条件，作出二面角MABD的平面角，再在三角形中利用余弦定理计算即可；利用等体积法及倍分关系求出球心到平面MAB的距离，再利用球的截面小圆性质计算作答.【详解】在正四面体ABCD中，2ADBD，1142DMCD，60ADMBDM，在,ADMBDM中，222111132cos4()2 22222AMBMBDDMBD DMBDM ，取 AB中点 N，连接
48、,MN DN，如图，,DNAB MNAB，则MND是二面角MABD的平面角，第 24 页 共 24 页 而3DN，222133()122MNAMAN，在DMN中，2229135 344cos329232MNDNDMMNDMN DN，所以二面角MABD的余弦值为5 39；令正BCD的中心为1O，连接111,AO BO MO，1BO的延长线交 CD 于点 E，则 E为 CD中点，有12233BOBE，122211113333232646BO MBEMBEDBCDSSSSBC，1322ABMSAB MN，显然1AO 平面BCD，正四面体ABCD的外接球球心 O在1AO上，连接 BO，则BOAOR，而
49、2221122 64()33AOABBO，在1RtBOO中，2222 62()()33RR，解得62R，且134AOAO，令点1O到平面MAB的距离为 h，由11OABMA BO MVV得：111133ABMBO MShSAO，即33 2 6263h，解得2 29h，因此球 O 的球心 O到平面MAB的距离 d有1dAOhAO，即3246dh，平面MAB截球 O 所得截面小圆半径为r，则222226213()()269rRd，所以平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积2139Sr.故答案为：5 39；139【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.