2021-2022学年江苏省苏州外国语学校高二下学期期中数学试题(解析版).pdf-淘文阁

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1、第 1 页共 19 页 2021-2022 学年江苏省苏州外国语学校高二下学期期中数学试题一、单选题 1某班有 4 名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（）A54种 B45种 C45A种 D45C种【答案】C【分析】利用排列，排列数的概念即得.【详解】由题可知不同的报名方法数为从 5 个不同元素中取出 4 个元素的排列数，所以不同的报名方法有45A种.故选：C.2若离散型随机变量X的分布列如下图所示 X 0 1 p 41a 23aa 则实数a的值为（）A2a 或13a B2a C13a D2a 或13a 【答案】C【分析】根据给定条件，利用分布列的

2、性质列式计算作答.【详解】依题意，2241030(41)31aaaaaa，解得13a，所以实数a的值为13.故选：C 3在5221axx的展开式中，若2x项的系数为270，则实数a的值为（）A12 B2 C3 D4【答案】C【分析】写出展开式通项，令x的指数为2，求出参数的值，代入通项后可得出关于a的第 2 页共 19 页等式，即可解得a的值.【详解】展开式通项为 522510 4155CC1rrrrrrrrTaxxax，依题意1042r，则2r，当2r 时，523355C1C10270rrraaa，所以3a，故选：C.4已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂

3、产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（）A0.54 B0.32 C0.84 D0.86【答案】D【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则 0.6P A，0.4P B，记事件:C从该地市场上买到一个合格灯泡，则0.9P C A，0.8P C B，所以，0.60.90.40.8P CP ACP BCP A P C AP B P C B 0.86.故选：D.5某小区为了做好防疫工作组织了 6 个志愿服务小组，分配到 4 个大门进行行李搬运志愿服务，若

4、每个大门至少分配 1 个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在 1 个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A65 B110 C780 D1560【答案】D【分析】首先将 6 个人分为 4 组，再将 4 组进行全排列即可求出结果.【详解】6 人分成 4 组有两种方案：“22 1 1”、“3 1 1 1 ”共有22364622CCCA种方法，4 组分配到 4 个大门有44A种方法；根据乘法原理不同的分配方法数为：22346464221560CCCAA.故选：D 第 3 页共 19 页 62020 年 1 月，教育部出台关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（简称“强基计划”），明确从

5、 2020 年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为4 3 3,5 4 4，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A2180 B2780 C3380 D2740【答案】C【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,A B C，显然,A B C为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABCABCABC，且,ABC ABC ABC互斥，所求概率P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C13341343133544544

6、54480.故选：C.7若经过点(,)a b可以作曲线lnyx的两条切线，则下列正确的选项是（）Alnba Blnba Clnab Dlnab【答案】B【分析】设切点00(,ln)P xx，根据切线经过点(,)a b，得到001lnabxx，令 ln0af xxxx，转化为1yb与 ln0af xxxx有两个不同的交点求解.【详解】解：设切点00(,ln)P xx，因为lnyx，所以1yx，所以点 P 处的切线方程为0001lnyxxxx，又因为切线经过点(,)a b，所以0001lnbxaxx，即001lnabxx，令 ln0af xxxx，第 4 页共 19 页则1yb与 ln0af

7、xxxx有两个不同的交点，221axafxxxx，当0a 时，0fx恒成立，所以 f x单调递增，不合题意；当0a 时，当0 xa时，0fx，当xa时，0fx，所以 minln1f xf aa，则1ln1ba，即lnba，故选：B 8已知函数 e21xf xax在区间1,1内存在极值点，且 0f x 在 R 上恰好有唯一整数解，则实数a的取值范围是()A22e1 e,4e2 Be 1 e,22 C22e1 1e 1 e,4e222 D22e1 e 1e 1 e,4e2e22【答案】D【分析】求出 f(x)的导数，根据 a 的范围，讨论导数正负，从而判断 f(x)单调性和极值；根据f(x)有唯一

8、极值点x=ln2a可知ln21,1a，分别讨论ln2a=0、ln2a(-1，0)、ln2a(0，1)三种情况 f(x)0 的整数解情况即可求出 a的范围【详解】e21xf xax，e2xfxa，当0a 时，0fx恒成立，f x在1,1上单调递增，不存在极值点，不合题意；当0a 时，令 0fx，解得ln2xa，当,ln2xa 时，0fx；当ln2,xa时，0fx；f x在,ln2a上单调递减，在ln2,a 上单调递增；f x的极小值点为ln2xa，无极大值点；f x在1,1上存在极值点，ln21,1xa，当ln20a，即12a 时，00f xf，则 0f x 在 R 上无解，不合题意；当1ln2

9、0a 时，f(0)=0，故要使 0f x 恰有唯一整数解，则该整数解为1x，第 5 页共 19 页 10f，20f，21ln201210e1410eaaa ，解得22e1e 14e2ea；当0ln21a时，f(0)=0，故要使 0f x 恰有唯一整数解，则该整数解为1x，10f，20f，20ln21e210e410aaa ，解得e 1e22a；综上所述，实数 a的取值范围为22e1 e 1e 1 e,4e2e22 故选：D【点睛】本题关键是确定 f(x)有唯一的极值点 x=ln2a，根据极值点范围，结合 0f x 在R 上恰好有唯一整数解，数形结合列出不等式组即可求出 a的范围二、多选题

10、9若2022220220122022(12)xaa xa xax，则下列结果正确的是（）A01220221aaaa B202202420221 32aaaa C202212220220222aaa D20212322320224044aaaa【答案】ABD【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案.【详解】令1x 可得 2022012202211aaaa，故 A 正确；令1x 可得：2022012320223aaaaa，可得：2022024202221 3aaaa，故202202420221 32aaaa，故B 正确；令0 x 可得：2022011a，令12x 可得：20221

11、20220220222aaaa，把代入即可得出：202212220221222aaa，故C 错误；两边对x求导得12202122021203224044(12)232022xaa xa xax 令1x 可得20212322320224044aaaa，故 D 正确.第 6 页共 19 页故选：ABD 10下列说法正确的是（）A设离散型随机变量 X等可能取 1，2，3，n，若(4)0.3P X，则10n B设随机变量 X 服从二项分布16,2B，则15(2)32P X C设离散型随机变量服从两点分布，若(1)2(0)PP，则1(0)3P D设随机变量 x服从正态分布22,N且(4)0.9P X

12、，则(02)0.3PX【答案】AC【分析】直接利用离散型随机变量，排列组合数，正态分布的应用判断 A、B、C、D的结论【详解】解：由题意知，对于 A：3(4)(1)(2)(3)0.3P XP XP XP Xn，10n，故 A 正确；对于 B：设随机变量X服从二项分布1(6,)2B，则26241115(2)()(1)2264P XC，B 错误；对于 C，因为(1)2(0)PP且(1)(0)1PP，1(0)3P，故 C 正确；对于 D，随机变量服从正态分布2(2,)N，正态曲线的对称轴是2x (4)0.9P X，所以41(4)0.1P XP X (04)0.8PX，(02)(24)0.4PXPX，

13、D 错误；故选：AC 11甲罐中有 5 个红球，3 个白球，乙罐中有 4 个红球，2 个白球整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A，2A表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用 B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（）A15|21P B A B212|21P C A C 1742P B D 4384P C 【答案】BCD【分析】在各自新的样本空间中求出1|P B A，2|P C A判断 A，B；利用全概率公式第 7 页共 19 页计算 P B，P C判断 C，D 作答.【详解】在

15、：BCD 12设 fx为定义在 R 上的函数 f x的导函数，下列说法正确的是（）A若 0f xfxx恒成立，则 3443ff B 若 f x是奇函数且满足 20f，当0 x 时，220 xf xx fx，则使得 0f x 成立的 x的取值范围是 2,02,C若 1f xfx，04f，则不等式 31exfx 的解集为,0 D若 2e0 xxf xx fxx，1ef，则 f x在0,上单调递增【答案】ABD【分析】构造函数 f xg xx，利用导数研究()g x的单调性，进而判断 A；构造函数 2G xx f x，利用导数研究()G x的单调性，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断 B；构造

16、函数 ee3xxF xf x，利用导数研究()F x的单调性，进而得出 0F x 即可判断 C；构造函数 exh xxf x，利用导数研究()h x的单调性，进而得出 10h xh即可判断 D.第 8 页共 19 页【详解】0f xfxx，即 0 xfxf xx，设 f xg xx，则 2xfxf xgxx，当0 x 时，0g x恒成立，g x在0,上单调递增，43gg，4343ff，3443ff，故 A 正确设 2G xx f x，则 22G xx fxxf x 当0 x 时，220 xf xx fx，即 0G x，函数 G x在0,上单调递增 f x为奇函数，G x也为奇函数，G x在

17、,0上单调递增 20f，220GG，函数 0G x 的解集为 2,02,又 20 x f x 等价于 0f x，0f x 的解集为 2,02,，故 B 正确 31exfx 等价于 3eexxf x，即 ee30 xxf x ，令 ee3xxF xf x，则 eeee1xxxxFxf xfxf xfx 1f xfx，即()10f xfx，且e0 x，0Fx，故函数 F x在 R上单调递减，又 04 1 30F ，故 0F x 的解集是0,，故 C 错误由题意得 2exxfxfxx，设 exh xxf x，则 e1eeexxxxxh xf xxfxxx 当0,1x时，0h x，当1,x时，0h

18、x，h x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，1e10h xhf，0fx，f x在0,上单调递增，故 D 正确故选：ABD.三、填空题第 9 页共 19 页 13若3323C5Ann，则正整数n _.【答案】8【分析】根据排列数和组合数的运算性质直接计算即可.【详解】因为3323C5Ann，所以2212235123 2 1nnnn nn，解得：8n.故答案为：8.14某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从 6 名医生和 2 名护士共 8 名医务工作者中选出队长 1 人副队长 1 入普通医务工作者 2 人组成 4 人医疗服务队，轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有

19、1 名护士，则共有_种不同的选法.【答案】660【分析】分只有 1 名护士和有 2 名护士两种情况，结合计数原理即可求出结果.【详解】分两类：只有 1 名护士，共有：132264480C C A 种选法；有 2 名护士，共有：2264180C A 种；故共有480 180660种选法.故答案为：660.15甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，如果甲队先赢一局，则甲赢下比赛的概率为_.【答案】89【分析】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，分为前三局全胜，前四局胜三局，打完五局胜三局，进而求得答案.【详解】因为甲已经取胜一局，所以

20、只需要考虑剩下的情况，若前三局甲胜，甲获胜的概率为22439，若打完四局后甲获胜，第四局甲必须获胜，甲获胜的概率为1222 1833 327C，若打完五局后甲获胜，第五局甲必须获胜，甲获胜的概率为213221433327C，第 10 页共 19 页所以甲获胜的概率是48424892727279.故答案为：89.16 设函数,0ln,0 xa xf xx x，已知12xx，且 12f xf x，若21xx的最小值为21e，则a的值为_.【答案】2【分析】设 12f xf xt，则ta，可得出21etxxta，ta，令 etg tta，ta，对实数a的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数 g

21、 t在,a 上的单调性，结合 2min1eg t可求得实数a的值.【详解】因为,0ln,0 xa xf xx x，所以，函数 f x在,0、0,上均为增函数，设 12f xf xt，则ta，且1xat，2ln xt，则21etxxta，ta，令 etg tta，ta，则 e1tg t，当0a 时，即0a 时，e10tg t，g t在,a 上单调递减，2min1eeag tga，解得2a，合乎题意；当0a 时，即0a 时，若0t，则 0g t，若0ta ，则 0g t，函数 g t在,0上单调递减，在0,a上单调递增，2min101eg tga，得211ea （舍去），综上，2a.故答案为：2.

22、第 11 页共 19 页四、解答题 17设函数 32398f xxxx(1)求 f（x）在1x 处的切线方程；(2)求 f（x）在2，4上的最大值和最小值【答案】(1)1290 xy；(2)最大值是 13，最小值是19.【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出结果；（2）利用导数判断函数的单调性，进而结合单调性即可求出最值.【详解】(1)由题意知，13f，即切点为（1，3），又 2369fxxx，所以 112f 所以 f（x）在1x 处的切线方程为：312(1)yx，即1290 xy；(2)2369331fxxxxx，令()0fx得13x；令 0fx得1x 或3x，故 f

23、（x）的减区间为（1，3），增区间为（，1）和3,，函数 f（x）的极大值 113f，函数 f（x）的极小值 319f，又 26f，412f f（x）在2，4上的最大值是 13，最小值是19 18在二项式12nxx的展开式中，_.给出下列条件：若展开式前三项的二项式系数的和等于 46；所有奇数项的二项式系数的和为 256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式的常数项；(3)求展开式中项的系数最大的项.【答案】(1)356316Tx，326638Tx(2)7212T (3)7212T 第 12 页共 19 页【解析】(

24、1)选择：01246nnnCCC，即11462n nn，即2900nn，即1090nn，解得9n 或10n （舍去）.选择：024.256nnnCCC，即12256n，解得9n.展开式中二项式系数最大的项为第 5 项和第 6 项，5452359163216TCx xx，45354226916328TCx xx.(2)展开式的通项为93189922199122kkkkkkkkTCxxCx，令31802k，得6k，所以展开式中常数项为第 7 项，常数项为63792122TC；(3)由展开式的通项为93189922199122kkkkkkkkTCxxCx，假设第1k 项系数最大，则910199981

25、992222kkkkkkkkCCCC，解得172033k，且0,1,9k，所以6k，即系数最大项为7212T.19根据国家部署，2022 年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务.成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程 3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射自定义漫游全尺寸太阳能空间运输等 10 个相互独立的程序题目组成，规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从 10 个不同的题目中随机选择 3 个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中 2 个及以上程序正确即为闯关成功.现已知 10 个程序中

26、，甲只能正确完成其中 6 个，乙正确完成每个程序的概率均为35，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；（结果用分数表示）(2)求甲编写程序正确的个数 X 的分布列和数学期望；(3)判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】(1)81125(2)分布列答案见解析，数学期望：95(3)甲比乙闯关成功的概率要大第 13 页共 19 页【分析】（1）利用独立重复试验的概率求解；（2）根据甲只能正确完成其中 6 个，利用超几何分布求解；（3）由（1）（2）的结果比较.【详解】(1)记事件 A“乙闯关成功”，.所以 23233332815535125PCCA；(2)甲编写程序正确的个数

27、 X 可能取 0，1，2，3，21346433101013(0),(1)3010CCCP XP XCC，12463101(2)2CCP XC，36310136CP XC 分布列为：X 0 1 2 3 P 130 310 12 16 数学期望 E 1311901233010265X .(3)甲闯关成功的概率11281263125P 所以甲比乙闯关成功的概率要大.20为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取 100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 合计个

28、数 2 1 1 3 5 6 19 31 16 4 4 2 1 2 2 1 100 经计算，样本直径的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并第 14 页共 19 页根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）；0.6826PX ；220.9545PX；330.9973PX.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品.从样本中随机

29、抽取 2 件零件，计算其中次品件数Y的概率分布列和数学期望 E Y及方差 D Y.【答案】(1)性能等级为丙(2)分布列见解析，15E Y，49275D Y 【分析】（1）由65，2.2，根据表格数据求出62.867.2PX、60.669.4PX、58.471.6PX即可判断；（2）首先求出样本中次品的件数，由题意可知Y的可能取值为 0，1，2，即可求出所对应的概率，从而求出分布列，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】(1)解：因为65，2.2，所以6 1931 16462.867.20.760.6826100PXPX，1002 1 1 122 12260.669.40.90.9545100

30、PXPX ，10022 13358.471.60.950.9973100PXPX.因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.(2)解：因为260.6，269.4，所以样本中次品共 10 件，由题意可知Y的可能取值为 0，1，2.2902100C890C110P Y，1190102100C C21C11P Y，2102100C12C110P Y.次品件数Y的分布列为：Y 0 1 2 P 89110 211 1110 892122101211011110111105E Y .第 15 页共 19 页 22218912114901251105115110275D Y.21已知函数 2ln

31、12af xx xxx，aR.若函数 f x在定义域内有两个不同的极值点12xx，.(1)求实数 a的取值范围；(2)当02m时，证明：12mxxa.【答案】(1)10,e；(2)证明见解析【分析】(1)f x在0,内有两个不同的极值点1x、2x，等价于 fx在0,内有两个不同的零点1x、2x.研究 fx的单调性和零点情况即可求出 a的范围；(2)设1210 xxa，由(1)知11ln0 xax且22ln0 xax，则12121212lnlnlnlnxxxxaxxxx，将 a=1212lnlnxxxx代入要证的不等式12mxxa，可将不等式化为1122121 ln01xxxxmxx，令120,

32、1xtx，则不等式化为1ln01ttmt，问题转化为 1ln01tg ttmt在(0，1)恒成立即可【详解】(1)函数 f x定义域为0,，f x在0,内有两个不同的极值点1x、2x，等价于 lnfxxax在0,内有两个不同的零点1x、2x 设 lnh xxax，由 1 axh xx，当0a 时，0h x，h x在0,上单调递增，至多只有一个零点，不符题意；当0a 时，在10,a上 0h x，h x单调递增；在1,a上 0h x，h x单调递减，当1xa时，max1ln1fxfaa，函数 fx有两个零点，则必有max()0fx，即ln10a，解得10ea 易证lnxx，证明如下：第 16 页

33、共 19 页令 lnm xxx，11222xm xxxx，当0,4x时，0m x，m x单调递减，当4,x时，m x单调递增，故 min42ln20m xm，故 ln0m xxx，得证 2211111ln0faaaaa，又 10fa ，fx在11,a和211,a a上各有一个零点1x、2x，此时：x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x ()fx 0 0 ()f x 极小值极大值故 f x在定义域内有两个不同的极值点12xx，时，a 的范围为10ea；(2)方法 1：由(1)可知12xx，是 lnh xxax的两个零点，不防设1210 xxa，由11ln0 xax且22

34、ln0 xax，得12121212lnlnlnlnxxxxaxxxx 111212221211221 lnlnln00*1xxxxxxxxmxxmmxaxxx 令120,1xtx，则 1*ln0*1ttmt，记 1ln01tg ttmt，0,1t，则 222111tmtg tt t，令 2211p ttmt，02m 又24(1)4420mm m，则 0p t，即 0g t，g t在0,1上单调递增，故 10g tg，即*成立不等式12mxxa成立方法 2：欲证12mxxa，由02m，10ea，则只需证：122xxa 不妨设1210 xxa，则11ln0 xax且22ln0 xax，则121

35、21212lnlnlnlnxxxxaxxxx，第 17 页共 19 页 111212221211221 lnlnln22020*1xxxxxxxxxxxaxxx，令120,1xtx，则 21*ln0*1ttt，记 21ln1tg ttt，0,1t，由 22101tg tt t，即 g t在0,1上单调递增，故 10g tg，即*成立.故12mxxa【点睛】本题第一问关键是找到 x=1 和 x=21a，判断210fa，10f，从而根据零点存在性定理判断 fx在11,a和211,a a上各有一个零点；第二问的关键是利用12xx，是 lnfxxax的两个零点用12xx，替换 a，再利用换元120,

36、1xtx将双变量转化为单变量进行证明 22已知函数 21ln2f xxax，21e112xg xxaxax，(1)讨论函数 yf x的单调性；(2)若对于定义域内任意x，f xg x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2),0【分析】（1）求出函数 f x的定义域，分0a、0a 两种情况讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数 f x的增区间和减区间；（2）由参变量分离法可得出ln1e1xxax对任意的0 x 恒成立，构造函数 ln1e1xxm xx，其中0 x，则 minam x，利用导数分析函数 m x的单调性，求出函数 m x的最小值，即可得出实数a的取值范围.【详解】(

37、1)解：函数 21ln2f xxax的定义域为0,，211axfxaxxx.当0a 时，对任意的0 x，0fx，此时函数 f x的单调递增区间为0,，无递减区间；当0a 时，由 0fx，可得0axa；由 0fx，可得axa.此时函数 f x的增区间为0,aa，减区间为,aa.第 18 页共 19 页综上，当0a 时，函数 f x的单调递增区间为0,，无递减区间；当0a 时，函数 f x的增区间为0,aa，减区间为,aa.(2)解：对任意的0 x，f xg x，即2211lne1122xxaxxaxax，可得ln1e1xxax对任意的0 x 恒成立，构造函数 ln1e1xxm xx，其中0

38、x，则 minam x，222lnelnexxxxxm xxx，构造函数 2elnxh xxx，其中0 x，则 212e0 xh xxxx，所以，函数 h x在0,上单调递增，因为1ln204e2h，1e0h，所以，存在01,12x，使得 02000eln0 xh xxx，当00 xx时，0m x，函数 m x单调递减，当0 xx时，0m x，函数 m x单调递增，所以，000min0eln11xxxm xx，因为 02000eln0 xh xxx，则001ln0000001111elnlnelnxxxxxxxx，构造函数 exp xx，其中0 x，则 1 e0 xp xx，所以，函数 exp xx在0,上为增函数，因为01,12x，则0112x，则01ln0 x，由001ln001eelnxxxx可得 001lnp xpx，所以，0001lnlnxxx，所以，0000lnlne0 xxxx，可得00e1xx，所以，0000min0011eln1110 xxxxm xxx ，0a.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则第 19 页共 19 页进行求解：（1）xD，minmf xmf x；（2）xD，maxmf xmf x；（3）xD，maxmf xmf x；（4）xD，minmf xmf x.

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