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1、第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年江苏省苏州中学高二下学期线上教学阶段调研（期中）数学试题 一、单选题 1若2C36n，则 n的值为（）A7 B8 C9 D10【答案】C【分析】直接解组合数方程，即可求解.【详解】因为2C36n，所以1362 1nn，解得：n=9.故选：C 2下列求导数的运算中错误的是（）A(3x)3xln3 B(x2lnx)2xlnxx Ccosxx2sincosxxxx D(sinxcosx)cos2x【答案】C【解析】根据导数的运算法则进行计算后判断各选项【详解】由指数函数求导法则得 A 正确；22221(ln)()ln(ln)2 ln2 lnxxxxx
2、xxxxxxxx，B 正确；22cos(cos)cossincosxx xx xxxxxxx，C 错误；11(sincos)sin2cos22cos222xxxxx，D 正确 故选：C【点睛】本题考查导数的运算法则，掌握导数运算法则是解题关键 3 现收集了 7 组观测数据.用 4 种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图 4 幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（）第 2 页 共 14 页 A模型一 B模型二 C模型三 D模型四【答案】D【分析】根据残差的带状宽度对拟合效果的影响，即可作出判断.【详解】当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型
3、比较合适，带状区域的宽度越窄，拟合的精确度越好，拟合效果越好，对比四个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.故选:D 4设 4 名学生报名参加同一时间安排的 3 项课外活动方案有 a 种，这 4 名学生在运动会上共同争夺 100 米、跳远、铅球 3 项比赛的冠军的可能结果有 b 种，则（a，b）为（）A（34，34）B（43，34）C（34，43）D（A43，A43）【答案】C【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有 3 种选择，有 4 名学生根据分步计数原理知共有 34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法【详解】由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有 3 种
4、选择，有 4 名学生根据分步计数原理知共有 34种选择，每项冠军有 4 种可能结果，3 项冠军根据分步计数原理知共有 43种可能结果.故选：C 5如图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf(x)，yg(x)的图象可第 3 页 共 14 页 能是()A B C D【答案】D【详解】从导函数的图象可知两个函数在0 x处斜率相同，可以排除 B 答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出 y=f(x)的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除 AC，最后就只有答案 D 了，可以验证 y=g(x)6某班有48名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，
5、平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数约为（）附：若随机变量2,0XN，则0.6827PX ，220.9544PX，330.9973PX.A32 B16 C8 D24【答案】B【分析】计算出8090PX，乘以48即可得解.【详解】因为数学成绩X服从正态分布280,10N，所以，90，所以，80900.341352PXPXPX，因此，理论上说在80分到90分的人数约为48 0.3413516.故选：B.第 4 页 共 14 页 7一袋中装有 10 个球，其中 3 个黑球、7 个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（）A29 B310 C13 D7
6、10【答案】B【分析】设事件1A：表示第 1 次取到黑球，事件2A：表示第 1 次取到白球，事件B：表示第 2 次取到黑球，结合12()(|)(|)P BP B AP B A，即可求解.【详解】设事件1A：表示第 1 次取到黑球，事件2A：表示第 1 次取到白球，事件B：表示第 2 次取到黑球，可得1237(),()1010P AP A，则1232733()(|)(|)10910910P BP B AP B A.故选：B.8已知集合1,2,3,4,5P，若 A，B 是 P 的两个非空子集，则所有满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数为（）A49 B48 C47 D46
7、【答案】A【分析】利用分类计数法，当 A 中的最大数分别为 1、2、3、4 时确定 A 的集合数量，并得到对应B的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.【详解】集合1,2,3,4,5P 知：1、若 A 中的最大数为 1 时，B 中只要不含 1 即可：A的集合为1，而B有 42115 种集合，集合对(A,B)的个数为 15；2、若 A 中的最大数为 2 时，B 中只要不含 1、2 即可：A的集合为2,1,2，而 B 有3217 种，集合对(A,B)的个数为2 714；3、若 A 中的最大数为 3 时，B 中只要不含 1、2、3 即可：A的集合为3,1,3,2,3,1,2,3，而
8、B 有2213 种，集合对(A,B)的个数为4 312；4、若 A 中的最大数为 4 时，B 中只要不含 1、2、3、4 即可：A的集合为4,1,4,2,4,3,4,1,2,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4，而 B 有1211 种，集合对(A,B)的个数为8 18；一共有15 14 12849 个，第 5 页 共 14 页 故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.二、多选题 9下列诗句所描述的两个对象之间是相关关系的为（）A苏轼诗句“粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华”，谈吐文雅程度与阅读量之间的关系 B王勃诗句“落霞与
9、孤鹜齐飞，秋水共长天一色”，落霞面积与鹜鸟飞行速度之间的关系 C李隆基诗句“为知勤恤意，先此示年丰”，瑞雪的量与粮食产量之间的关系 D李白诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，理想状态下自由落体的速度与下落距离之间的关系【答案】AC【分析】直接利用相关关系的定义判断即可.【详解】通过对诗句的理解可判断选项A和C为相关关系，选项B不是相关关系，选项D中理想状态下自由下落的距离为212sgt，与速度无关，选项D不是相关关系，故选：AC.10在一个袋中装有质地大小一样的 6 个黑球，4 个白球，现从中任取 4 个小球，设取出的 4 个小球中黑球的个数为 X，则下列结论正确的是（）A随机变量 X可能
10、的取值为 0，1，2，3，4，5，6 B随机变量 X服从超几何分布 C()(04)P XP X D 1625D X 【答案】BD【分析】根据题意知随机变量 X服从超几何分，利用超几何分布的性质，再结合离散型随机变量的方差公式即可求解.【详解】根据超几何分布的定义知，随机变量 X 服从超几何分布，故 B 正确；由题意可知，随机变量 X的可能取值为 0，1，2，3，4，故 A 不正确；44104C1(0)C210P X；6341041C C4(1)C35P X；2264410C C3(2)C7P X 6141043C C8(3)C21P X，44106C1(4)C14P X.所以()(04)P X
11、P X，故 C 不正确；143818401234210357211435E X .第 6 页 共 14 页 2222284184484384884116012343521035353573521351425D X 故选：BD.11若(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则下列结论中正确的是（）Aa01 Ba1a2a3a4a52 Ca0a1a2a3a4a535 Da0|a1|a2|a3|a4|a5|1【答案】ACD【分析】用赋值法求系数的代数和【详解】由题意令0 x 得01a，A 正确；令1x 得0151aaa，所以1252aaa，B 错；令1x 得50123453aaaaaa
12、，C 正确；由题意024,a a a均为正，135,a a a均为负，因此 a0|a1|a2|a3|a4|a5|0123451aaaaaa，D 正确 故选：ACD 12已知函数 f(x)xln(1x)，则（）Af(x)在(0，)单调递增 Bf(x)有两个零点 C(0，0)是 f(x)的极小值点 D 若方程 f(x)m有两个不同的解 x1，x2，则 x1x20【答案】AD【分析】求出导函数()fx，由()fx的正负确定函数的单调性，极值点，零点，判断ABC，在讨论过程中得出0m 时，f xm有两个不同的实数解12,x x，不妨设 1210 xx，然后构造函数()()(),(10)F xf xfx
13、x，利用导数确定单调性得出1()0F x，结合()f x单调性可得结论从而判断 D【详解】()f x的定义域是(1,)，)ln(1)1(xxfxx 1ln(1)11xx，0 x 时，11x，()0fx，()f x在(0,)是单调递增，A 正确；设1()ln(1)11g xxx，则211()1(1)g xxx，第 7 页 共 14 页 1x 时，()0g x恒成立，()g x即()fx是增函数，又(0)0f，所以10 x 时，()0fx，0 x 时，()0fx，()f x在(1,0)上递减，在(0,)上递增，所以0 x 是函数的极小值点极小值点是一个数，不是点，C 错；由于(0)0f是极小值，因
14、此()f x只有一个零点0 x，B 错；由以上讨论知0m 时，()ln(1)f xxxm有两个不同的实数解12,x x，不妨设12xx，则1210 xx，设()()()F xf xfx（10 x），则11()()()ln(1)1ln(1)111F xfxfxxxxx 222ln(1)21xx，10 x，则201x，2011x，所以()0F x，()F x是减函数，所以1()(0)0F xF，即11()()0f xfx，所以211()()()f xf xfx，又10 x，20 x，()f x在(0,)上是增函数，所以21xx，即120 xx，D 正确 故选：AD【点睛】关键点点睛：导数研究函数的
15、单调性、极值、零点等问题，在证明方程的解有关的不等式120 xx时，关键是构造新函数，利用单调性得出11()()f xfx，目的是得出21()()f xfx，再由函数单调性得出12,x x的关系本题对学生的逻辑思维能力、转化与化归能力要求较高，属于难题 三、填空题 13 西游记第六十二回“涤垢洗心惟扫塔缚魔归正乃修身”，描写了一只小妖，他说：“我两个是乱石山碧波潭万圣龙王差来巡塔的.他叫做奔波儿灞，我叫做灞波儿奔.”如果这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，那么还可以命制_个名字.【答案】22【分析】根据题意，结合排列数的公式，求得共有24种不同命名分式，即可求解.【详解】由题意，这族小妖都是用
16、这四个字不同顺序命名，共有4424 种不同命名分式，所以还可以命制24222个名字.故答案为：22.第 8 页 共 14 页 14设随机试验的结果只有 A 发生和 A不发生，令随机变量10AXA，发生，不发生，若 P(X1)2P(X0)，则 P(A)等于_.【答案】23【分析】根据概率的性质求出1P X，再根据 1P AP X即可得解.【详解】解：因为 P(X1)2P(X0)，则10301P XP XP X，所以103P X，所以 213P AP X.故答案为：23.15若方程 xmex在区间0，1有且只有一解，则实数 m的取值范围是_.【答案】1e,1【分析】方程变形为exmx，引入函数()
17、exf xx，0,1x，由导数得单调性，得最值，从而得参数范围【详解】已知方程化为exmx，设()exf xx，0,1x，则()1e0 xfx，()f x在0,1上单调递减，(0)1f，(1)1ef，所以1 e1m 故答案为：1e,1 16已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次结束为止.某考生一次发球成功的概率为 p(0p1)，发球次数为 X，若X 的数学期望 E(X)1.75，则 p 的取值范围为_.【答案】101.75E Xpppp，解得52p 或2p，由0,1p，所以10,2p.故答案为：102p 四、解答题 第 9 页 共 14 页
18、17一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目，要求排出一个节目单.(1)3 个舞蹈节目两两互不相邻，有多少种排法?(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法?【答案】(1)14400(2)37440【分析】（1）先在除去开始和结尾的位置选 3 个位置排舞蹈节目,再排 5 个演唱节目即可；（2）将 8 个节目全排,再减去前四个节目没有舞蹈节目的排法，即可得解.【详解】(1)先排 5 个演唱节目有55A种方法种数，再把 3 个舞蹈节目用插空法排在演唱节目的首尾或之间，由36A种方法种数，所以一共有5356AA120 12014400种.(2)前四个节目要有舞蹈节目，有853854AAA4032
19、024 12037440 18已知函数 sinf xxax+b(a，bR)的图象在点 00f，处的切线方程为 y1.(1)实数 a 的值；(2)求函数 f x在区间0 1，上的最大值和最小值.【答案】(1)1；(2)最大值为 b，最小值为sin1 1 b.【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出 a；（2）先利用导数判断单调性，求出最值.【详解】(1)因为函数 sinf xxax+b，则 cosfxxa.所以 0cos01faa.又函数 f x的图象在点(0，f(0)处的切线方程为 y1，所以 010fa，解得：1a.(2)由（1）知，sinf xxx+b，cos1fxx.在 10 x，时，有
20、 cos10fxx，所以函数 f(x)在区间0 1，上单减，所以 max0f xfb，minsin111fbxf.19已知1+22nx的展开式中前三项的二项式系数之和等于79.(1)求正整数 n 的值；第 10 页 共 14 页(2)求展开式中系数最大的项.【答案】(1)12(2)1016896x【分析】（1）根据题意得到012(1)CCC1792nnnn nn 且nN，即可求得n的值.（2）化简二项式为12121()(14)2x，得到12(14)x展开式的通项为112C4rrrrTx，设展开式的第1k 项的系数最大，列出不等式组，求得10k，进而求得展开式中系数最大的项.【详解】(1)解：由
21、题意，1+22nx的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，可得012(1)CCC1792nnnn nn 且nN，解得12n.(2)解：由（1）知，二项式12121211+2()(14)22xx 则12(14)x展开式的通项为11212C(4)C4rrrrrrTxx，设展开式的第1k 项的系数最大，则111212111212C4C4C4C4kkkkkkkk，解得9.410.4k，所以10k，所以展开式中系数最大的项为121010101011121()C4168962Txx，所以其展开式中系数最大的项为1016896x.20将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下
22、落的过程中，小球将遇到黑色障碍物 3 次，最后落入 A 袋或 B 袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是23，13.设小球向左的次数为随机变量 X.(1)求随机变量 X 的概率分布列；(2)分别求出小球落入 A 袋和 B 袋中的概率.第 11 页 共 14 页【答案】(1)分布列见解析(2)小球落入 A袋和 B袋中的概率分别为13和23【分析】（1）易得23,3XB，根据二项分布可得出答案；（2）小球落入 A袋则小球一直向左或一直向右，从而可求出小球落入 A袋的概率，再利用对立事件的概率公式可求得小球落入 B 袋的概率.【详解】(1)解：由题意可知，23,3XB，其中将向
23、左的概率看成成功概率，则3321C0,1,2,333kkkP Xkk，列表如下：P 0 1 2 3 X 127 29 49 827 (2)解：小球落入 A袋的概率 1813027273P AP XP X，小球落入 B袋中的概率 12133P B ，所以小球落入 A袋和 B袋中的概率分别为13和23.212022 年，受新冠疫情的影响，苏州学生基本上进行了居家线上学习，以保证安全与健康；然而随着居家时间越来越长，学生焦虑程度越强.经有关机构调查，得出居家周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：周数 x 1 2 3 4 5 6 正常值 y 55 63 72 80 90 99 (1)作出散点图；第
24、 12 页 共 14 页(2)根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x的线性回归方程ybxa；(精确到 0.01)(3)根据经验观测值为正常值的 0.851.06 为正常，1.061.12 为轻度焦虑，1.121.20 为中度焦虑，1.20 及其以上为重度焦虑.小明同学在第 7 周时观测值为 110，试预测小明同学的焦虑程度，并给小明同学一些建议.参考数据与公式：其中1221niiiniix ynxybxnx，611761iiix y，2191niix，aybx.【答案】(1)见解析(2)8.8345.60yx(3)小明的焦虑程度在正常范围内，小明在家应保持正常的生活和学习习惯【分析】（1）
25、根据已知的数据直接描点即可，（2）先求出,x y，然后根据已知的数据和公式求解即可，（3）将7x 代入回归方程中，求出y的值，然后计算110y的值，再进行判断【详解】(1)散点图如图 (2)因为1(123456)3.56x ，1(556372809099)76.56x，611761iiix y，2191niix，所以616222161761 6 3.5 76.58.8391 6 3.56iiiiix yxybxx ，所以76.58.83 3.545.60aybx，第 13 页 共 14 页 所以 y 关于 x的线性回归方程8.8345.60yx；(3)当7x 时，8.83745.60107.4
26、1y，所以1101.02107.41 因为0.851.021.06，所以小明的焦虑程度在正常范围内，小明在家应保持正常的生活和学习习惯 22已知 x2 是三次函数 f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)的极值点，且直线 3xy50 与曲线 yf(x)相切与点(1，f（1）).(1)求实数 a，b，c 的值；(2)若 f(t)1，f(s)5，求 f(ts)的值；(3)若对于任意实数 x，都有 f(x22x4)f(x2x)4 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1)3,0,4abc；(2)0(3)26 【分析】（1）求出导函数()fx，由(2)0f，(1)3f ，(1)2f可求得,a b c；
27、（2）由导函数确定()f x的单调性，极值，得出(,1)s 和(,5)t都是()yf x图象上唯一的点，证明()f x的图象关于点(1,2)对称，由对称可得2st，从而得函数值；（3）由对称性，把不等式化为22(24)(2)f xxfxx，再利用2243xx，(3)4f，结合单调性、极值，即可转化为22242xxxx恒成立，由二次不等式知识可得参数范围【详解】(1)2()32fxxaxb，在350 xy中令1x 得2y，即(1)2f，所以(2)1240(1)323(1)12fabfabfabc ，解得304abc；(2)由（1）32()34f xxx，2()363(2)fxxxx x，0 x
28、或2x 时，()0fx，02x时，()0fx，()f x在(,0)和(2,)上递增，在(0,2)上递减，极大值为(0)4f，极小值为(2)0f，()10f s ，()54f t，因此,s t都是唯一的实数(1)(1)fxfx3232(1)3(1)4(1)3(1)4xxxx 第 14 页 共 14 页 2322321333(12)41 333(12)4xxxxxxxxxx 4，所以()f x的图象关于(1,2)对称，而()()4f sf t，又(,1)s 和(,5)t都是()yf x图象上唯一的点，所以2st，()(2)0f stf；(3)2224(1)33xxx，当且仅当1x 时，2243xx，所以 224340f xxff，且3x 时，()4f x，由 f(x22x4)f(x2x)4 恒成立，得22(24)4()f xxf xx（）,又()yf x的图象关于点(1,2)对称，所以(2)4()fxf x，所以不等式（）为22(24)(2)f xxfxx，所以22242xxxx，所以22(2)20 xx恒成立，2(2)160，所以26