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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年北京市通州区高一上学期期末质量检测数学试题 一、单选题 1sin120的值为 A12 B32 C12 D32【答案】B【分析】直接由特殊角的三角函数值得解.【详解】3sin1202 故选 B.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，属于基础题 2设12,2,2,222SkkSkkSkk ZZZ，则下列结论错误的是（）A1SS B2SS C12SSS D12SSS【答案】D【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解.【详解】因为,2Skk Z表示终边落在y轴上角的集合，12,2Skk Z表示终边落在y轴正半轴上角的集合，22,2Skk
2、Z表示终边落在y轴负半轴上角的集合，所以1SS，2SS，12SSS正确；12SSS ，故错误.故选：D 3已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点5,5Pm，则sin（）A55 B55 C2 55 D2 55【答案】C 第 2 页 共 15 页【分析】因为点5,5Pm在单位圆上，且终边在第三象限确定m唯一，根据三角函数求解.【详解】5,5Pm在单位圆上即2225142 5115555mmm 终边在第三象限所以0m，2 55m ，所以52 5,55P 所以2 5sin5m.故选：C 4下列函数中，是奇函数且在区间0,1上单调递增的是（）Asinyx B1yx
3、Ccosyx Dlnyx【答案】A【解析】根据解析式可直接判断出奇偶性和单调性.【详解】对于 A，sinyx为奇函数且在0,10,2上单调递增，故 A 正确；对于 B，1yx是奇函数在0,1上单调递减，故 B 错误；对于 C，cosyx是偶函数，故 C 错误；对于 D，lnyx是非奇非偶函数，故 D 错误.故选：A.5将函数sinyx的图像C向左平移6个单位长度得到曲线1C，然后再使曲线1C上各点的横坐标变为原来的13得到曲线2C，最后再把曲线2C上各点的纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线3C，则曲线3C对应的函数是（）A2sin 36yx B2sin36yx C2sin 36yx D2sin3
4、6yx【答案】C【分析】利用图像变换方式计算即可.【详解】由题得1C：sin6yx，所以2C：sin 36yx，得到3C：2sin 36yx 故选：C 6“tan0”是“角是第一象限的角”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第 3 页 共 15 页 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若“角是第一象限角”，则“tan0”，“若tan0”，则“角是第一象限角或第三象限角”，所以“tan0”是“角是第一象限角”的必要不充分条件故选B 点睛：充分、必要条件的三种判断方法 1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充
5、分条件 2等价法：利用pq与非q非p，qp与非p非q，pq与非q 非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 3集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件 7函数0.5logyx与2logyx的图象（）A关于x轴对称 B关于y轴对称 C关于原点对称 D关于直线yx对称【答案】A【分析】根据对数知识将0.5logyx化为2logyx，由此可得答案.【详解】由0.5logyx得12logyx2log x，所以函数0.5logyx与2logyx的图象关于x轴对称.故选：A 8函数 ln26f xxx的零点所在的区间是（）A0,1 B1,2 C2
6、,3 D3,4【答案】C【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.【详解】由于ln,26yx yx均为增函数，所以 ln26f xxx为定义域上的增函数，140,2ln220,3ln30,4ln420ffff ,根据零点存在定理,fx零点在区间2,3内.故选：C 第 4 页 共 15 页 9已知322323233,log322abc，则,a b c的大小关系是（）Aabc Bbac Ccba Dcab【答案】D【分析】构造指数函数，结合单调性分析即可.【详解】23xy在 R 上单调递减，30222333012a，01a；32xy在 R 上单调递增，2303
7、3222013b，1b；223332loglog123c cab 故选：D 10中国茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，有一种茶用 85的水泡制，再等到茶水温度降至 55时饮用，可以产生最佳口感某研究人员在室温下，每隔 1min测一次茶水温度，得到数据如下：放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度y与放置时间minx的关系，现有以下两种函数模型供选择：25R,01,0 xykakax，,R,0ykxb k bx 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放
8、置时间大约为（）（参考数据：lg20.301，lg30.477）A6min B6.5min C7min D7.5min【答案】B【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得k和a的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对第 5 页 共 15 页 数的运算性质求得x的值，即可做出判断.【详解】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为 6,5.4,4.86,4.37,3.94,呈现越来越小的变化趋势，故选用模型为更符合实际的模型.由0 x 时，85.00y，代入25xyka，得8525k,解得60k.6025xy
9、a.由1x 时79.00y,可得796025a，解得910a,9602510 xy,由955602510 x,得19210 x,199lglglg21010 xx,1lglg2lg20.30126.592lg3 11 2lg31 2 0.477lg10 x,刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为 6.5min,故选:B.二、填空题 11半径为 1，圆心角为 1 弧度的扇形的面积为_【答案】12#0.5【分析】根据扇形面积公式即可得到答案.【详解】半径为 1，圆心角为 1 弧度的扇形的面积为 221111 1222Sr.故答案为：12.12计算：22log sinlog cos1212_【答
10、案】2【分析】根据给定条件利用对数运算法则，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值计算作答.【详解】222222log sinlog coslogsincos)logsin)log12121211222(26.第 6 页 共 15 页 故答案为：2 13 若函数sinyAx(0,0)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为_ 【答案】3sin 23yx【分析】根据图象，可得3332A，T，图象过点,03，且在3x 附近单调递减.进而可求出2，22,3kkZ，根据的范围即可解出，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为 3，最小值为-3，所以3332A.又由图象知，52632T，所以T.因为
11、0，所以2T，所以2，所以3sin 2yx.又由图象可推得，图象过点,03，且在3x 附近单调递减，所以有22,3kkZ，解得2,3kkZ.又0，所以3.所以，函数的解析式为3sin 23yx.故答案为：3sin 23yx.14函数223,0()2ln,0 xxxf xx x，方程()f xk有 3 个实数解，则 k 的取值范围为_.【答案】(4,3【分析】根据给定条件将方程()f xk的实数解问题转化为函数()yf x的图象与直线yk的交点问题，再利用数形结合思想即可作答.【详解】方程()f xk有 3 个实数解，等价于函数()yf x的图象与直线yk有 3 个公共点，因当0 x 时，()f
12、 x在(,1 上单调递减，在 1,0上单调递增，(1)4,(0)3ff ，当0 x 时，()f x单调递增，()f x取一切实数，第 7 页 共 15 页 在同一坐标系内作出函数()yf x的图象及直线yk，如图：由图象可知，当43k 时，函数()yf x的图象及直线yk有 3 个公共点，方程()f xk有 3个解，所以 k 的取值范围为(4,3.故答案为：(4,3 三、双空题 15已知221xy，则xy的最大值为_，最小值为_【答案】2 2【分析】由222xyxy可推出22xy，即得22xy，即可得到最值.【详解】因为222xyxy成立，当且仅当xy时，等号成立.所以22222222xyxy
13、xyxy，即22xy，解得22xy.所以，当且仅当22xy时，xy有最大值2；当且仅当22xy 时，xy有最小值2.故答案为：2；2.四、解答题 16已知3tan,4 是第四象限角(1)求cossin的值；(2)求cos,tan44的值【答案】(1)75；第 8 页 共 15 页(2)7 2cos410，1tan47 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系列方程组求解sin,cos即可；（2）由两角和的余弦、正切公式化简求解即可.【详解】（1）因为22sincos1sin3tancos4，是第四象限角，所以解得34sin,cos55，所以437cossin555.（2）24237 2cosc
14、oscossinsin444252510；3tantan1tan1144tan341tan71tantan144.17已知函数()tan23f xx.（1）求函数()f x的定义域，最小正周期；（2）求函数()f x的单调区间.【答案】（1）定义域：1|2,3x xkkZ，最小正周期：T=2（2）单调递增区间是：51(2,2),.33kk kZ【分析】（1）根据正切函数的定义域满足：232xk即可求解，周期22T.（2）根据正切函数的图像以及性质整体代入求解即可.【详解】函数()tan23f xx，（1）正切函数的定义域满足：232xkkZ，解得：132,xkkZ，函数()f x的定义域为1|
15、2,3x xkkZ，最小正周期22T.第 9 页 共 15 页 故函数的最小正周期为 2（2）由2232kxkkZ，可得：512233kxk kZ.函数()f x的单调增区间51(2,2),.33kk kZ【点睛】本题考查了正切函数的定义域、最小正周期以及正切型函数的单调性，考查了整体代入法求三角函数的性质，属于基础题.18已知函数 sin0,0,2f xAxA的最小正周期为(1)求的值；(2)从下面四个条件中选择两个作为已知，求 f x的解析式，并求其在区间,4 3 上的最大值和最小值 条件：f x的值域是2 2,；条件：f x在区间,62 上单调递增；条件：f x的图象经过点0,1；条件：
16、f x的图象关于直线3x 对称 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分【答案】(1)2(2)答案见解析 【分析】（1）由周期可得；（2）由中确定A，由得出,A的关系式，由可确定，条件不能得出确定的值，f x在区间,62 上单调递增，没有说,62 就是单调增区间，由它可能确定参数的范围因此考虑方案：；分别求解【详解】（1）因为2T，所以2（2）（2）方案一：选择，因为 f x的值域是2 2,，所以2A 第 10 页 共 15 页 所以 2sin 2f xx 因为 f x的图象经过点0,1，所以2sin1，即1sin2 又2，所以6 所以 f x的解析式为 2sin 26fxx
17、因为,4 3x ，所以52,636x 当263x，即4x 时，f x取得最小值2sin343f；当262x，即6x时，f x取得最大值2sin262f 方案二：选择条件，因为 f x的值域是2 2,，所以2A 所以 2sin 2f xx 因为 f x的图象关于直线3x 对称，所以232kkZ，所以76k 又2，所以6 所以 f x的解析式为 2sin 26fxx 以下同方案一 方案三：第 11 页 共 15 页 选择条件，因为 f x的图象关于直线3x 对称，所以232kkZ，所以76k 又2，所以6 因为 f x的图象经过点0,1，所以sin16A，即2A 所以 f x的解析式为 2sin
18、26fxx 以下同方案一 19已知函数 ln 1 cos2cos,0,2f xxx(1)求函数 f x的定义域；(2)若函数 f x为偶函数，求的值；(3)是否存在，使得函数 f x是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)|,Zxxkk;(2)0；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据解析式建立不等式求三角不等式的解即可；（2）根据偶函数的定义，化简后利用三角函数2sinsin0 x恒成立即可得解；（3）根据奇函数的定义化简，转化为ln(1cos 2)coscos0 xx恒成立，可分析此式不恒成立得解.【详解】（1）ln 1 cos2cos,0,2f xxx要有意义
19、，则1 cos20 x，即cos21x，解得22 xk，即,Zxk k，所以函数的定义域为|,Zxxkk.（2）因为 ln 1 cos2cosf xxx为偶函数，第 12 页 共 15 页 则()ln(1cos(2)cos()ln(1cos 2)cos()()fxxxxxf x 即cos()cos()xx 恒成立，化简可得2sinsin0 x恒成立，所以sin0，因为0,2，所以0.（3）若函数 ln 1 cos2cosf xxx为奇函数，则有()()0fxf x，即ln(1cos 2)cos()ln(1cos 2)cos()0 xxxx，即2ln(1cos 2)coscossinsincos
20、cossinsin0 xxxxx，化简得，ln(1cos 2)coscos0 xx恒成立.因为当42x时，22x，1cos20 x，1 1 cos22x，ln(1cos 2)0 x，而cos cos0 x，所以ln(1cos 2)coscos0 xx不恒成立，即()()fxf x 不恒成立，所以不存在，使函数 f x是奇函数.20某一扇形铁皮，半径长为 1，圆心角为4工人师傅想从中剪下一个矩形ABCD，如图所示 (1)若矩形ABCD为正方形，求正方形ABCD的面积；(2)求矩形ABCD面积的最大值【答案】(1)15(2)212 【分析】（1）连OC，则1OC，设COP，则04，sinBC，co
21、ssinAB，根据ABBC求出21sin5，进而可得答案；（2）设矩形ABCD面积为S，则cossinsinSAB BC21sin 2242，利用正弦函第 13 页 共 15 页 数的性质可得答案.【详解】（1）连OC，因为扇形半径长为 1，则1OC，设COP，则04，coscosOBOC，sinsinBCOC，sinADBC，4QOP，sinOAAD，cossinABOBOA 矩形ABCD为正方形，ABBC，即cossinsin，2sincos，22sincos1，22sin4sin1，21sin5，50,sin45，2 5cos5，正方形ABCD的面积为2 55515555AB BC；（2
22、）设矩形ABCD面积为S，则cossinsinSAB BC 211 cos2sincossinsin222 111sin2cos2222 222121sin2cos2sin2 coscos2 sin22222442 21sin 2242，当242，即8时，sin 214，此时，S最大值为212，即矩形ABCD面积的最大值为212 21已知函数 lg3f xax的零点是2x 第 14 页 共 15 页(1)求实数a的值；(2)判断函数 f x的单调性，并说明理由；(3)设0k，若不等式 22lgf xkx在区间4,3上有解，求k的取值范围【答案】(1)1a (2)()f x在(3),上是单调递减
23、函数，理由见解析(3)04k 【分析】（1）根据(2)0f可求出结果；（2）根据对数函数的单调性和单调性的定义可得结果；（3）转化为2961kxx在区间4,3上有解，换元后化为2961ktt在区间11,34上有解，令2()961g ttt，1134t ，化为max()kg t，根据二次函数知识求出()g t的最大值可得答案.【详解】（1）因为函数 lg3f xax的零点是2x，所以(2)0f，即lg(23)0a，所以231a，解得1a.（2）由（1）知，()lg(3)f xx，()f x在(3),上是单调递减函数，理由如下：设123xx，则12()()f xf x12lg(3)lg(3)xx，
24、因为123xx，所以1233xx 0，因为lgyx为增函数，所以12lg(3)lg(3)xx，所以12()()f xf x，所以()f x在(3),上是单调递减函数.（3）因为不等式 22lgf xkx在区间4,3上有解，所以22lg(3)lg()xkx 在区间4,3上有解，所以22lg(3)lg()xkx 在区间4,3上有解，因为lgyx为增函数，所以22(3)(0)xkxk 在区间4,3上有解，第 15 页 共 15 页 所以2961kxx在区间4,3上有解，令1tx，因为43x，所以1134t ，所以2961ktt在区间11,34上有解，令2()961g ttt，1134t ，则max()kg t，因为221()9619()3g tttt 在11,34上单调递减，所以当13t 时，max1()()3g tg4.所以04k.