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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年北京市海淀区高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合0,12Ax xBxx，若AB（）A2x x B 02xx C 12xx D12xx 【答案】B【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】因为 012Ax xBxx，则 02ABxx.故选：B.2下列函数中，是奇函数且在区间0,上单调递增的是（）A 12f xx B 2f xx C 1f xx D 3f xx【答案】D【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项分析即得.【详解】对于 A，函数 12f xx的定义域为0,)不关于原点对称，所以函数 f x为非奇非偶函数，不符合
2、题意；对于 B，函数 2f xx定义域为 R，又 22()fxxxf x，所以函数 f x为偶函数，不符合题意；对于 C，函数 1f xx在0,为单调递减函数，不符合题意；对于 D，函数 3f xx，由 33()fxxxf x ，所以函数 f x为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数 3f xx在区间0,上为单调递增函数，符合题意.故选：D.3 某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取 100 人进行问卷调查.已知高一年级有 270 名男生，从男生中抽取了 60 名，则该校高一年级共有学生（）A445 人 B450 人 C520 人 D540 人【答案】B 第 2 页
3、共 15 页【分析】由题可得10060270n，进而即得.【详解】设该校高一年级共有学生n人，由题可知10060270n，解得450n(人).故选：B.4下列结论正确的是（）A若,0ab c，则acbc B若ab，则ab C若ab，则22acbc D若22ab，则ab【答案】B【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】A 选项，若,0ab c，则acbc，所以 A 选项错误.B 选项，若ab，两边平方得ab，所以 B 选项正确.C 选项，若,0ab c，则22acbc，所以 C 选项错误.D 选项，若22ab，如1,0ab，则ab，所以 D 选项错误.故选：B 5某班分成了 ABCD四个学
4、习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则A组和B组恰有一个组被抽到的概率为（）A13 B12 C23 D56【答案】C【分析】利用列举法结合古典概型概率公式即得.【详解】从 ABCD四个学习小组中随机抽取两个小组有,AB AC AD BC BD CD共 6 种结果，其中A组和B组恰有一个组被抽到的结果有,AC AD BC BD共 4 种结果，所以A组和B组恰有一个组被抽到的概率为4263.故选：C.6已知0.10.644,2,log 0.6abc，则,a b c的大小关系为（）Acab Bcba Cabc Dbac 第 3 页 共 15 页【答案】A【分析】化
5、简a，通过讨论函数 2xf x 和 4logg xx的单调性和取值范围即可得出,a b c的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a，在 2xf x 中，函数单调递增，且 0f x，0.20.6022ba，在 4logg xx中，函数单调递增，且当01x时，0g x，4log 0.60c，cab，故选：A.7甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示：甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大；甲同学的平均分比乙同学高；甲同学的成绩比乙同学稳定；甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.上面说法正确的是（）A B C D【答案】B【分析】计算中位数，平均数，极差，估计方差，进而即得.【详解
6、】根据茎叶图数据知，甲同学成绩的中位数是899089.52，极差为 34，乙同学成绩的中位数是8587862，极差为 16，所以甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大，故正确；甲同学的平均分是61728990939550083.366x甲，乙同学的平均分是第 4 页 共 15 页 7782858792+935168666x乙，所以乙同学的平均分高，故错误；由茎叶图可知乙同学成绩数据比较集中，方差小，甲同学成绩数据比较分散，方差大，故错误，正确.所以说法正确的是 故选：B 8已知 14logf xx，则不等式 413f xx 的解集为（）A1,1,4 B11,42 C110,42 D10,1,4【
7、答案】D【分析】化简不等式 413f xx，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.【详解】f x的定义域是0,，AB 选项错误.144444loglog1,log133fxxxxxx ，由4log413yxyx解得11141xy 或2210 xy，画出44log,13yx yx的图象如下图所示，由图可知，不等式的解集为10,1,4.故选：D 9函数 f x在区间1,2上的图像是连续不断的，则“120ff”是“函数 f x在区间(1,2)上没有零点”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 5 页 共 15 页【答案】B【分析】由零点存在性定理，及充分必
8、要条件的判定即可得解.【详解】因为函数 f x在区间1,2上的图像是连续不断的，由零点存在性定理，可知由 120ff可得函数 f x在区间(1,2)上有零点，即由函数 f x在区间(1,2)上没有零点，可得 120ff，而由 120ff推不出函数 f x在区间(1,2)上没有零点，如 232f xx，120ff，函数 f x在区间(1,2)上有零点32，所以“120ff”是“函数 f x在区间(1,2)上没有零点”的必要不充分条件.故选：B.10已知 22f xxx.若对于12,1x xm m，均有 121f xf x成立，则实数m的取值范围是（）A,0 B1,2 C1,2 D1,【答案】C【
9、分析】将 121f xf x成立转化成 minmax1f xf x恒成立的问题，构造函数 1h xf x，然后分类讨论，即可求出m的取值范围.【详解】解：由题意 在 22f xxx中，对称轴212 1x 函数在,1上单调减，在1,上单调增 2211211f xxxx，对于12,1x xm m，均有 121f xf x成立 即对于12,1x xm m，均有 22minmaxminmax112f xxf xxx恒成立 在 211h xf xx中，对称轴002 1x ，函数在,0上单调减，在0,上单调增 当10m 即1m 时，第 6 页 共 15 页 函数 h x在,1m m上单调减 函数 f x在
10、,1m m上单调减 22min112h xmmm 2max2f xmm 22221mmmmm 解得m 当100mm，即10m 时，函数 h x在,0m上单调减，在0,1m上单调增 函数 f x在,1m m上单调减 2min011h x 2max2f xmm 21210mmm 解得m 当01 1mm，即0m 时，,10,1m m 函数 h x在 0,1上单调增 函数 f x在 0,1上单调减 2min011h x 2max0000f xf minmax10h xf x 故不符题意，舍去.当1120mmm即102m时 第 7 页 共 15 页 函数 h x在,1m m上单调增，2min1h xm
11、函数 f x在,1m上单调减，在1,1m上单调增，2max2f xf mmm 2212102mmmm 解得m 当1121mmm即112m时 函数 h x在,1m m上单调增，2min1h xm 函数 f x在,1m上单调减，在1,1m上单调增，2max11f xf mm 此时，2minmax1h xmf x 112m符合题意 当m1时，函数 h x在,1m m上单调增 函数 f x在,1m m上单调增 2min1h xm 22max11211f xf mmmm 此时 2minmax1h xmf x m1符合题意 综上，实数m的取值范围是1,2 故选：C.【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同
12、区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.二、填空题 11函数()ln 1f xx的定义域是_.【答案】|1x x 第 8 页 共 15 页【分析】直接令真数大于 0 可得定义域.【详解】函数()ln 1f xx，由10 x，得1x，所以定义域为|1x x.故答案为：|1x x.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，属于基础题.12已知12,x x是关于x的方程2260 xmxm的两个实根，且12111xx，则m _.【答案】2【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.【详解】因为12,x x是关于x的方程2260 xmxm的两个实根，则12212226460 xxmx xmmm，
13、又12111xx，所以12122121161xxmxxxxm，解得3m 或2m，经判别式检验知2m.故答案为：2.13请阅读以下材料，并回答后面的问题：材料 1：人体成分主要由骨骼肌肉脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为F%）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量.材料 2：体重指数 BMI（BodyMassIndex 的缩写）计算公式为：体重指数 BMI2(GGh为体重，单位：千克；h为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997 年，世界卫
14、生组织经过大范围的调查研究后公布：BMI 值在18.524.9为正常；BMI25为超重；BMI30为肥胖.由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于 2000 年提出了亚洲成年人 BMI 值在18.522.9为正常.中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于 2003 年提出中国成年人 BMI 值在18.523.9为正常；BMI24为超重；BMI28为肥胖.30 岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数 BMI 值为24.8，依照标准属于超重.因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约 2 小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自
15、己超重感觉很困惑.第 9 页 共 15 页 请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）：_.【答案】答案见解析【分析】根据材料结合条件分析即得.【详解】因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI 值与密度成正比（或者说，体重更大），所以他的 BMI 值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），就不必担心.故答案为：如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），他的 BMI 值就会偏高，就不必担心，因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI
16、值与密度成正比（或者说，体重更大）.三、双空题 1420338_，23lg6lglne5_.【答案】5 3【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得.【详解】22033338121 45 ，2355lg6lglnelg6lg2lg 623533.故答案为：5；3.15已知 221,0,0 xxf xxax x，当2a 时，f x的单调减区间为_；若 f x存在最小值，则实数a的取值范围是_.【答案】0,1 2,【分析】空一：分开求解单调性；空二：分02a和02a两种情况讨论.【详解】当2a 时，221,02,0 xxf xxx x 当0 x 时函数 21xf x 单调递增，当0 x 时函
17、数 22211f xxxx，所以函数 f x在0,1上单调递减，在1,单调递增，第 10 页 共 15 页 所以函数 f x的单调减区间为0,1 因为函数 22221,021,0,0,024xxxxfxaaxax xxx 002aa并且 00f，所以函数 f x在R上单调递增，没有最小值；002aa，要想函数 f x有最小值则满足214a 即2a 故答案为：0,1，2,四、解答题 16已知集合12,23Ax xBx mxm(1)求集合A中的所有整数；(2)若AB R，求实数m的取值范围.【答案】(1)0,1,2(2),31,0 【分析】（1）解绝对值不等式求得集合A，从而确定正确答案.（2）对
18、集合B是否为空集进行分类讨论，结合AB R求得m的取值范围.【详解】（1）12,212,13xxx ，所以|13Axx，所以集合A中的所有整数为0,1,2.（2）由（1）得：13Axx，所以R1Ax x 或3x B 时，即23mm，所以3m，符合RAB；B 时，即23mm，所以3m ，由于RAB，所以1233mm ，第 11 页 共 15 页 所以10m.综上，实数m的取值范围是,31,0.17高考英语考试分为两部分，一部分为听说考试，满分 50 分，一部分为英语笔试，满分 100 分.英语听说考试共进行两次，若两次都参加，则取两次考试的最高成绩作为听说考试的最终得分，如果第一次考试取得满分，
19、就不再参加第二次考试.为备考英语听说考试，李明每周都进行英语听说模拟考试训练，下表是他在第一次听说考试前的 20 次英语听说模拟考试成绩.假设：模拟考试和高考难度相当；高考的两次听说考试难度相当；若李明在第一次考试未取得满分后能持续保持听说训练，到第二次考试时，听说考试取得满分的概率可以达到12.46 50 47 48 49 50 50 47 48 47 48 49 50 49 50 50 48 50 49 50 (1)设事件A为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件A的概率；(2)基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.【答案】(1)25；(2)710.【分
20、析】（1）根据古典概型公式计算，即可求解；（2）计算出李明第二次英语听说考试取得满分的概率，然后根据题意，由独立事件的乘法公式计算李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.【详解】（1）依题意，李明在 20 次英语听说模拟考试中有 8 次取得满分，取得满分的频率为82205，所以用频率估计事件A的概率为 25P A.（2）设事件B为“李明第二次英语听说考试取得满分”，事件C为“李明高考英语听说考试取得满分”.依题意，12P B，所以 231755210P CP AP ABP AP A P B，所以如果李明在第一次未取得满分时，坚持训练参加第二次考试，那么他英语高考听说考试最终成绩为满分的概率的
21、最大值可以达到710.第 12 页 共 15 页 18已知0a 且1a，函数 xxxxaafxbaa在 R 上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个.函数 f x为奇函数；315f；315f .(1)从中选择的两个条件的序号为_，依所选择的条件求得b _，a_；(2)利用单调性定义证明函数 2g ttt在0,上单调递减；(3)在（1）的情况下，若方程 4xf xm在 0,1上有且只有一个实根，求实数m的取值范围.【答案】(1)；0；12(2)证明见解析(3)23,15 【分析】（1）通过分析可知一定满足，从而列出方程组，求出0b，12a；（2）定义法判断函数的单调性步骤：取值，作差，变形，判
22、号；（3）参变分离得到24141xxm，0,1x，换元后转化为2mtt在2,5上有唯一解，结合（2）中函数单调性，求出 2g ttt的值域，从而得到m的取值范围.【详解】（1）因为函数 xxxxaafxbaa在 R 上是单调减函数，故 315f；315f 不会同时成立，两者选一个，故函数一定满足函数 f x为奇函数，由于函数定义域为 R，所以有 00f，则 10f，10f，故一定满足，选择；0 xxxxxxxxaaaafxf xbbaaaa，11315aafbaa，解得：0b，12a；（2）任取12,0,x x，且12xx，则 21211221122221g xg xxxxxxxx x，第 1
23、3 页 共 15 页 由于120 xx，所以121220,10 xxx x，所以 210g xg x，即 21g xg x，所以函数 2g ttt在0,上单调递减.（3）由（1）可得 1414xxfx，所以方程为14414xxxm，即1424411441xxxxxm，令41xt，由于 0,1x，所以2,5t，则问题转化为2mtt在2,5上有唯一解.由（2）知，函数 2g ttt在2,5上单调递减，所以 minmax2232()55,()221552g tgg tg ，所以，实数m的取值范围是23,15.19设函数 yf x的定义域为M，且区间IM，对任意12,x xI且12xx，记21xxx，
24、21yf xf x.若0yx，则称 f x在I上具有性质A；若0yx，则称 f x在I上具有性质B；若0yx，则称 f x在I上具有性质C；若0yx，则称 f x在I上具有性质D.(1)记：充分而不必要条件；必要而不充分条件；充要条件；既不充分也不必要条件 则 f x在I上具有性质A是 f x在I上单调递增的_（填正确选项的序号）；f x在I上具有性质B是 f x在I上单调递增的_（填正确选项的序号）；f x在I上具有性质C是 f x在I上单调递增的_（填正确选项的序号）；(2)若 21f xax在1,满足性质B，求实数a的取值范围；(3)若函数 1g xx在区间,m n上恰满足性质A性质B性
25、质C性质D中的一个，直接写出实数m的最小值.【答案】(1)；第 14 页 共 15 页(2)1,2(3)1 【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案.（2）根据性质B，利用分离常数法，结合不等式的性质求得a的取值范围.（3）将问题转化为10yx 恒成立，对,m n的范围进行分类讨论，由此求得m的最小值.【详解】（1）由于12xx，所以210 xxx.对于性质A，当0yx时，无法判断y的符号，故无法判断单调性；当 f x在I上单调递增时，00yyx ，所以 f x在I上具有性质A是 f x在I上单调递增的必要而不充分条件.对于性质B，当0yx时，0yx，所以 f x在I上
26、单调递增；当 f x在I上单调递增时，0y，yx的符合无法判断，所以 f x在I上具有性质B是 f x在I上单调递增的充分而不必要条件.对于性质C，若0yx，则0y，所以 f x在I上单调递增；当 f x在I上单调递增时，0y，0yx，所以 f x在I上具有性质C是 f x在I上单调递增的充要条件.（2）对于任意的12,1,x x，且12xx，有 222121210,xxxyf xf xaxax，由于 f x在1,满足性质B，即0yx，所以2221210axaxxx，所以122110axaxxx，因为210 xx，所以121a xx，所以121axx，由于任意的12,1,x x，且12xx，所
27、以122xx，所以12112xx，所以实数a的取值范围是1,2.（3）实数m的最小值为 1.第 15 页 共 15 页 理由如下：因为 1g xx在,m n上恰满足性质A性质B性质C性质D中的一个，所以对任意12,x xm n且12xx，有10yx 恒成立.因为 1g xx的定义域为,00,，所以0,m n.当0mn时，1yx，所以2121121211xxxyxxx xx x ，从而1210yxx x，不合题意；当0mn时，1yx，所以1221121211xxxyxxx xx x，从而1210yxx x，要使10yx 恒成立，只需使1211yxx x ，即121x x 恒成立，若1m，则12,1xm x，使121x x，这与121x x 矛盾，当1m 时，121xx，121x x 恒成立，所以m的最小值为 1.【点睛】对于新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，不熟悉的问题，转化为学过的知识、熟悉的问题来进行求解.求解函数问题，首先要研究函数的定义域，这个步骤必不可少.