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1、设有一立体.其底面是 xy 面上的区域(qy)D,其侧面为母线平行于 z 轴的柱面,其顶是曲面 z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于 xy 面的平面.则平顶(pn dn)柱体的体积=底面积高.0yzxz=f(x,y)D如图 一、引例一、引例(yn l)1.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积V.V.第1页/共21页第一页，共22页。步骤(bzhu)如下：（1）分割（化整为零(hu zhng wi lng)）：先分割曲顶柱体的底，把有界闭区域任意分割成n个小闭区域z=f(x,y)0yzxD第2页/共21页第二页，共22页。（2）近似代替：由于 很小,z=f(x,y)连续(lin
2、x),小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.小平顶(pn dn)柱体的高=f(i,i).若记 i=Di的面积(min j).则小平顶柱体的体积=f(i,i)i 小曲顶柱体体积 f(i,i)(i,i)z=f(x,y)第3页/共21页第三页，共22页。（4）取极限（无限(wxin)趋近）：（3）求和（积零为整）：将n个小平顶(pn dn)柱体的体积加起来，就得到整个曲顶柱体的体积近似值域则曲顶柱体的体积(tj)为第4页/共21页第四页，共22页。求平面(pngmin)薄片的质量（1）分割(fng)（化整为零）：将薄片分割(fng)成n个小块，（2）近似(jn s)代替：任取一小块，将其近似(jn s)看
3、作均匀薄片，则其质量近似(jn s)为 第5页/共21页第五页，共22页。（3）求和(qi h)（积零为整）：则薄片(bo pin)总质量为将所有小块质量近似值相加，便得到整个平面(pngmin)薄片的近似值（4）取极限（无限趋近）：第6页/共21页第六页，共22页。二、二重积分的定义(dngy)第7页/共21页第七页，共22页。积分(jfn)区域积分(jfn)和被积函数(hnsh)积分变量被积表达式面积元素第8页/共21页第八页，共22页。对二重积分定义对二重积分定义(dngy)的说明：的说明：二重积分的几何二重积分的几何(j h)意义意义当被积函数(hnsh)大于零时，二重积分是柱体的体积
4、当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第9页/共21页第九页，共22页。在直角坐标系下用平行(pngxng)于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积(min j)元素为第10页/共21页第十页，共22页。性质性质(xngzh)当当 为常数时为常数时，性质性质(xngzh)（二重积分(jfn)与定积分(jfn)有类似的性质）三、二重积分的性质第11页/共21页第十一页，共22页。性质性质(xngzh)对区域对区域(qy)具有可具有可加性加性性质性质(xngzh)若若 为为D的面积，的面积，性质性质若在若在D上上特殊地特殊地则有则有第12页/共21页第十二页，共22页。性质性
5、质(xngzh)性质性质(xngzh)（二重积分中值定理（二重积分中值定理(dngl)）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第13页/共21页第十三页，共22页。解解第14页/共21页第十四页，共22页。解解第15页/共21页第十五页，共22页。解解第16页/共21页第十六页，共22页。解解第17页/共21页第十七页，共22页。二重积分的定义二重积分的定义(dngy)二重积分的性质二重积分的性质(xngzh)二重积分的几何二重积分的几何(j h)意义意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结第18页/共21页第十八页，共22页。思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较(bji
6、o)，找出它们的相同之处与不同之处.第19页/共21页第十九页，共22页。定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关(yugun)不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数思考题解答思考题解答(jid)第20页/共21页第二十页，共22页。感谢您的观看(gunkn)！第21页/共21页第二十一页，共22页。内容(nirng)总结设有一立体.其底面是 xy 面上的区域D,其侧面为母线平行(pngxng)于 z 轴的柱面,其顶是曲面 z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.。z=f(x,y)。1.求曲顶柱体的体积V.。（2）近似代替：由于 很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看。小平顶柱体的高=f(i,i).。若记 i=Di的面积.。f(i,i)第二十二页，共22页。