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1、1/24,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,2/24,复习和总结,（1）定积分是用来解决哪一类问题？,（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？,定积分,答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题,被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间,答： “分割,取近似,求和, 取极限”,（3）如何计算定积分？,3/24,现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题,推广,所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关,被积函数,积分范围,二元函数,平面区域,二重积分,三元函数,空间区域,三重积分,一段曲线,曲线积分,一片曲面,曲面积分,
2、问题:,积分类型,4/24,【特点】平顶.,柱体体积=？,【特点】曲顶.,曲顶柱体,1曲顶柱体的体积,一、问题的提出引例,5/24,类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域D,顶: 连续曲面,侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面,求其体积.,“分割, 取近似, 求和, 取极限”,解法,6/24,步骤如下,取近似、 求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,得曲顶柱体的体积,取极限：,7/24,2求平面薄片的质量,分割：将薄片分割成若干小块，,近似：取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,求和：所
3、有小块质量之和 近似等于薄片总质量,分析, =常数时，质量= ，其中 为面积., 取极限：得薄片总质量,若 为非常数，仍可用“分割, 取近似, 求和, 取极限”解决.,8/24,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“分割, 取近似, 求和, 取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,9/24,二、二重积分的定义及可积性,1.定义,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,10/24,2.【对二重积分定义的说明】,(3) f (x,y)在D上有界是二重
4、积分存在的必要条件.,代替,？,不能,连续是二重积分存在的充分条件,用,(1)积分存在时，其值与区域的分法和点 的取法无关,(证明略),11/24,3.【二重积分的几何意义】,4.【物理意义】,表曲顶柱体的体积.,1)若,表曲顶柱体体积的负值.,2)若,3)若,表区域D的面积.,几个特殊结果,体积的代数和,12/24,注 1. 重积分与定积分的区别：,重积分中d 0,定积分中dx 可正可负.,2. 根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,故二重积分可写为,则直角坐标系下面积元素为,即,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,13/24,性
5、质1,性质2,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,逐项积分,线性性质可以推广至有限个函数的情形。,线性性质,14/24,性质3,对区域具有可加性,性质4,若 为D的面积，,性质5,若在D上,特殊地,则有,比较性质,15/24,性质6,性质7,二重积分中值定理,二重积分估值不等式,曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积,几何意义,16/24,证明,以下仅证性质7（中值定理）,由估值性质得,据有界闭域上的连续函数的介值定理,变形后 【得证】,17/24,比较下列积分的大小:,其中,积分域D 的边界为圆周,它与x 轴交于点(1,0) ,而区域D位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,
6、作业题、课后习题,见作业答案解法或有关习题解答,例1,解,解,18/24,例2,解,19/24,解,课后习题,例3,20/24,机动,被积函数相同, 且非负,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,练习,解,提示 被积函数相同，则比较区域D的大小.,21/24,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),因 0 y 1, 故,故在D上有,提示,区域D相同，则比较被积函数的大小,22/24,D 位于x 轴上方的部分为D1 ,在D上,则,则,补充在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性,当区域关于y轴对称, 函数关于变量x有奇偶性时有类
7、似结果.,2. 若D关于原点对称,(1),(2),D2为y轴右方的部分,23/24,例如,在第一象限部分, 则有,利用对称性简化运算时要特别考虑两方面 被积函数的奇偶性 积分区域的对称性,说明,24/24,二重积分的定义,二重积分的性质（7条）,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,二重积分的物理意义（平面薄片的质量）,二重积分的比较大小,1.若区域D相同，则比较被积函数的大小；,2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.,25/24,26/24,一 利用直角坐标计算二重积分,二 小结 思考题,10.2 二重积分的计算法（一）,27/24,复习与回顾,(2)回顾一
8、元函数定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点x处的平行截面的面积为:,(1)二重积分,28/24,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X型域,X型区域的特点 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1. 预备知识,29/24,(2)Y型域,Y型区域的特点穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,30/24,(3) 既非X型域也非Y型域,在分割后的三个区域上分别都是X型域(或Y型域),则必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,31/24,(1) 若积分区域为X型域：,2.【二重积分公式推
9、导】,根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.,方法,32/24,即得,公式1,33/24,几点小结,定限口诀,后积先定限(投影),限内划条线(穿线),先交下限写,后交上限见,a,b,x,(后积变量上下限必为常数),该线平行于坐标轴且同向,投影穿线法,34/24,3.【二重积分的计算步骤可归结为】,画出积分域的图形，标出边界线方程；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式2,35/24,(1) 使用公式1必须是X型域，,公式2必须是Y型域.,(2) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分次序,
10、 必要时还可交换积分次序. (见后续补充例题),(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域（或Y-型域）,说明,36/24,4. 【例题部分】,例1,解,看作X型域,解,看作Y型域,37/24,例2,解,D 既是X型域又是Y型域,法1,38/24,法2,注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便,注意两种积分次序的计算效果！,39/24,例3,解,D既是X型域 又是Y型域,先求交点,40/24,法1,法2,视为X型域,计算较繁,本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,41/24,小结,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域 D 的形状，又
11、要考虑被积函数的特性(易积),42/24,5.【简单应用】,例4,求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.,解,设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,43/24,例5,解,据二重积分的性质4（几何意义）,交点,与定积分元素法相同,44/24,6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题,补例1,解,45/24,随堂练习,1.计算,其中 D 是由直线 y = x 及抛物线 y2 = x 所围成.,解,积不出的积分，无法计算。,课本P154 第5题第6题,练习,46/24,解,当被积函数中有绝对值时，要考虑 积分域中不同范围脱去绝对值符号。
12、,分析,补例2,作业:1 x 1,47/24,计算,其中D 由,所围成.,令,(如图所示),显然,利用对称性与奇偶性,补例3,分析,解,课本P154 第3 题,与积分变量无关,补例4,与积分变量无关,与积分变量无关,48/24,分部积分法(略). (05/06学年第一学期考试题A卷),化为二次积分,交换积分次序,原式=,原式,补例5,解,解,49/24,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,课本P153 习题10-2,练习,50/24,51/24,一 利用直角坐标计算二重积分,二 小结 思考题,10.2 二重积分的计算法（一）,52/24,复习与
13、回顾,(2)回顾一元函数定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点x处的平行截面的面积为:,(1)二重积分,53/24,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X型域,X型区域的特点 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1. 预备知识,54/24,(2)Y型域,Y型区域的特点穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,55/24,(3) 既非X型域也非Y型域,在分割后的三个区域上分别都是X型域(或Y型域),则必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,56/24,(1) 若积分区域为X型域：,2
14、.【二重积分公式推导】,根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.,方法,57/24,即得,公式1,58/24,几点小结,定限口诀,后积先定限(投影),限内划条线(穿线),先交下限写,后交上限见,a,b,x,(后积变量上下限必为常数),该线平行于坐标轴且同向,投影穿线法,59/24,3.【二重积分的计算步骤可归结为】,画出积分域的图形，标出边界线方程；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式2,60/24,(1) 使用公式1必须是X型域，,公式2必须是Y型域.,(2) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便
15、,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序. (见后续补充例题),(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域（或Y-型域）,说明,61/24,4. 【例题部分】,例1,解,看作X型域,解,看作Y型域,62/24,例2,解,D 既是X型域又是Y型域,法1,63/24,法2,注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便,注意两种积分次序的计算效果！,64/24,例3,解,D既是X型域 又是Y型域,先求交点,65/24,法1,法2,视为X型域,计算较繁,本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,66/24,小结,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区
16、域 D 的形状，又要考虑被积函数的特性(易积),67/24,5.【简单应用】,例4,求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.,解,设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,68/24,例5,解,据二重积分的性质4（几何意义）,交点,与定积分元素法相同,69/24,6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题,补例1,解,70/24,随堂练习,1.计算,其中 D 是由直线 y = x 及抛物线 y2 = x 所围成.,解,积不出的积分，无法计算。,课本P154 第5题第6题,练习,71/24,解,当被积函数中有绝对值时，要考虑 积分域中不同范围脱去绝对值符号。,分析,补例2,作业:1 x 1,72/24,计算,其中D 由,所围成.,令,(如图所示),显然,利用对称性与奇偶性,补例3,分析,解,课本P154 第3 题,与积分变量无关,补例4,与积分变量无关,与积分变量无关,73/24,分部积分法(略). (05/06学年第一学期考试题A卷),化为二次积分,交换积分次序,原式=,原式,补例5,解,解,74/24,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,课本P153 习题10-2,练习,