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1、高等数学 (2)(2)1 9.1 9.1 二重积分的定义与性质二重积分的定义与性质二重积分的定义与性质二重积分的定义与性质引例二重积分的定义2二重积分的性质3一、引例一、引例1.1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底底：xOy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.特例：平顶柱体的体积特例：平顶柱体的体积特点：特点：平顶平顶.柱体体积柱体体积=底面积底面积高高 特点：特点：曲顶曲顶.柱体体积柱体体积=？解法解法:无限分割的思想无限分割的思想“分割，近似，
2、求和，取极限分割，近似，求和，取极限”分割：分割：求和：求和：取极限取极限:以它们为底相应地曲顶柱体分为以它们为底相应地曲顶柱体分为n个细曲顶柱个细曲顶柱体体.在代表区域在代表区域 中中任取一点任取一点 近似：近似：用任意曲线网分用任意曲线网分D为为n 个区域个区域 二、二重积分的定义二、二重积分的定义 分割分割：求和求和：取极限取极限:则称此极限值为则称此极限值为 1 1、定义、定义 设设是是有界闭区域有界闭区域上的上的有界函数有界函数,作乘积作乘积任取任取 近似近似：用用任意曲线网任意曲线网分分D 为为n个区域个区域如果极限值如果极限值存在，存在，在区域在区域 D 上的二重积分，上的二重积
3、分，记为记为个小区域，也表示该区域的面积，个小区域，也表示该区域的面积，表示第表示第 即即被积函数被积函数被积函数被积函数被积表达式被积表达式被积表达式被积表达式面积元素面积元素面积元素面积元素积分和积分和积分和积分和积分区域积分区域积分区域积分区域如果如果 在在D上可积上可积,元素元素 d 也常记作也常记作二重积分记作二重积分记作这时这时分区域分区域 D,因此面积因此面积 可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 2 2、几何意义几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积
4、分是柱体的体积的负值负值当当 被积函数在被积函数在 D 上有正有负时上有正有负时,二重积分是二重积分是xOy面面上方上方上方上方的柱体的柱体体积体积 减去减去 xOy 面面下方下方的柱体体积的柱体体积.若函数若函数定理定理在在D上上可积可积.在在有界闭区域有界闭区域 D上连续上连续,则则3、二重积分存在定理二重积分存在定理 三、二重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数为常数)为为D 的面积的面积,则则 特别地特别地,则则5.若在若在D上上6.设设D 的面积为的面积为 ,则有则有7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)设函数设函数f(x,y)在在闭区域闭区域D上连续，上连续，为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使例例 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中D由坐标轴和直线由坐标轴和直线 围成围成.解解:从而从而在在 D内，内，内容内容小结小结1.二重积分的定义二重积分的定义2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)Thanks!